Зображення просторових фігур на площині
История,  Математика

Зображення просторових фігур на площині


Міністерство освіти і науки Красноярського краю

КГБОУУПО Красноярський педагогічний коледж No1

їх. М. Горького

абстрактний

математика

Зображення просторових фігур на площині

Виконала: Сотнікова Ольга Олександрівна

Учень 13 гр.

кафедра «Викладання в початковій школі»

Перевірено:

Оцінка: _________________________

Красноярськ, 2013

Зміст

Вступ………………………………………………………………………………….…

Головна частина…………………………………………………………………………….

1.1. Основні аксіоми стереометрії………………………………………………..

1.2. Тривимірна система координат…………………………………………

Висновок…………………………………………………………………………………………….

Бібліографія……………………………………………………………………

один

один

2

4

5

Вступ

У своїй діяльності людині всюди доводиться стикатися з необхідністю вивчення форми, розмірів і взаємного розташування фігур у просторі. Подібні проблеми вирішують астрономи, які мають справу з найбільшими масштабами, і фізики, які вивчають будову атомів і молекул. Розділ геометрії, в якому вивчаються такі задачі, називається стереометрією (від грец. «стереос» — об’ємний, просторовий).

1.1. Основні аксіоми стереометрії

У стереометрії до понять планіметрії додається ще одне — площина, а разом з нею — аксіоми, що регулюють «відносини» площин з іншими об’єктами геометрії. Таких аксіом є три.

один) Аксіома 1Через будь-які три точки простору, які не лежать на одній прямій, проходить лише одна площина. (рис.1)

clip_image002

Малюнок 1.

2) Аксіома 2 — через будь-які дві точки простору проходить лише одна пряма. (рис.2)

clip_image004

Малюнок 2.

3) Аксіома 3 — якщо дві площини мають спільну точку, то вони мають спільну пряму, на якій лежать усі спільні точки цих площин. (рис.3)

clip_image006

Малюнок 3. 1

Третя аксіома відіграє дуже важливу роль у стереометрії: вона робить простір точно тривимірним, оскільки в просторах чотирьох вимірів і вище площини можуть перетинатися в одній точці. До трьох зазначених, переосмислених з урахуванням того, що зараз ми маємо справу не з однією, а з кількома площинами, також додаються планіметричні аксіоми. Наприклад, аксіома прямої — через дві різні точки можна провести одну і лише одну пряму — переноситься в стереометрію буквально, але тільки вона вже поширюється на дві точки простору.

Як наслідок, ми виводимо один корисний наслідок безпосередньо з аксіом: пряма, яка має принаймні дві спільні точки з площиною, повністю лежить у цій площині.

Ці аксіоми широко використовуються при побудові фігур у стереометрії.

1.2. Координатна площина в стереометрії.

На відміну від планіметрії, в якій площину визначають лише 2 осі — вісь x (абсцис) і у (ордината), до стереометрії додається 3-я вісь – вісь z (аплікація). Ця вісь йде вперед, як показано на рис.4. Але для зручності побудови осі координат почали зображувати так, як показано на рис.5.

clip_image008 clip_image010

Малюнок 4. Малюнок 5.

У стереометрії координат точки в просторі 3: абсциса точки, ордината точки, аплікація точки.

Давайте розглянемо це на конкретному прикладі. Відрізки OB, OS, OD на рис. 6 дорівнюють 1. Тоді абсцис точки А дорівнює 1, ордината точки А дорівнює 1 і аплікату точки А дорівнює 1. Символічно це записують так:

A(1,1,1)

або

A=(1,1,1)

або прив’язати запис координат до певної точки за допомогою індексу:

1А, 1А, 1А

тощо

2

clip_image012

Малюнок 6

Кожна вісь розглядається як числова пряма, тобто має позитивний напрямок, а точкам, що лежать на негативному промені, приписуються негативні значення координати відстані (відстань береться зі знаком мінус). Тобто якщо, наприклад, точка В лежала не, як на малюнку, на промені ОХ, а на його продовженні в протилежному від точки О напрямку (на від’ємній частині осі ОХ), то абсцис X точка A буде від’ємною (мінус відстань OB). Аналогічно для двох інших осей.

Усі прямокутні системи координат у тривимірному просторі поділяються на два класи — праву (вживаються також позитивні, стандартні терміни) і ліву. Зазвичай за замовчуванням вони намагаються використовувати правосторонні системи координат, а коли вони відображаються графічно, то також розміщують їх, якщо можливо, в одну з кількох звичайних (традиційних) позицій. (На малюнку 6 зображена права система координат). Праву і ліву системи координат не можна об’єднати обертаннями так, щоб відповідні осі (та їх напрямки) збігалися. Визначити, до якого класу належить та чи інша система координат, можна за допомогою правила правого боку, гвинтового правила тощо (позитивний напрямок осей вибирається таким чином, щоб при повороті осі OX проти годинникової стрілки на 90° її позитивний напрямок збігався з позитивним напрямком осі OY, якщо це обертання спостерігається з боку позитивного напрямку осі OZ).

Щоб зобразити, наприклад, куб у тривимірній системі координат, потрібно знати довжини сторін цього квадрата. Наприклад, побудуємо куб зі стороною 1 і вершинами O, C, T, B, D, R, A, S (рис. 7). Тоді координати вершин цього куба:

O(0,0,0)

C (0,1,0)

T (1,1,0)

На (1,0,0)

D(0,0,1)

R(0,1,1) 3

A(1,1,1)

S(1,0,1)

clip_image014

Малюнок 7

Висновок

Завдяки існуванню тривимірної системи координат можна побудувати будь-яку тривимірну фігуру, наприклад, паралелепіпед, піраміду, призму і т. д. Ця система координат використовується у фізиці, астрономії та інших науках, які потребують точності побудови.

4

Бібліографія:

А. В. Погорєлов, Геометрія для 7-11 класів, Підручник для навчальних закладів.

Стереометрія А. Л. Вернера. 7-9 клас, Підручник для вчителів геометрії.

Атанасян Л. Геометрія 10-11 кл. Підручник для навчальних закладів.

Потоскуєв Є.В., Звавич Л.І. Геометрія 11 кл. Підручник для навчальних закладів.

clip_image015

5

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *