Бінарна алгебраїчна операція
Химия

Застосування квадратурної формули Чебишева для обчислення певного інтегралу


Застосування квадратурної формули Чебишева для обчислення певного інтегралу

Завантажити реферат: Застосування квадратурної формули Чебишева для обчислення певного інтегралу

Зміст реферату

Вступ
1. Рішення контрольного прикладу
2. Опис алгоритму програми
Висновки
Список літератури

Вступ

Це завдання полягає у вирішенні певного інтеграла за квадратурною формулою Чебишева.

Як відомо, обчислення певного ітегралу зводиться до обчислення площі криволінійної трапеції, обмеженої кривими x=0 , y=a , y=b та y=f(x)

При обчисленні певного інтеграла можна скористатися відомою всім формулі Ньютона – Лейбніца, за умови f(x) безперервна на відрізку [a, b], а також визначено її первинну F(x). Але у багатьох випадках первісна виходить дуже складною для обчислення, та й функція часто задається таблично. Тому велике значення набуває наближеного і насамперед чисельного інтегрування, завдання якого полягає у знаходженні наближеного значення інтеграла за заданими або обчисленими значеннями підінтегральної функції f(x) у деяких точках (вузлах) відрізка [ a, b]

Механічна квадратура — чисельне значення одноразового інтеграла, і формули чисельного інтегрування відповідно називають квадратурними

Змінюючи підінтегральну функцію будь-яким інтерполяційним багаточленом, отримуємо квадратурні формули, де xk — вибрані вузли інтерполяції; A k — коефіцієнти, що залежать тільки від вибору вузлів, але не від виду функції (k = 0,1,2,…….., n); R — залишковий член або похибка квадратурної формули, відкинувши який отримаємо похибку усічення. Далі, при розрахунку до похибки усічення додаються інші похибки заокруглення

Розбивши відрізок інтегрування [a, b] на n рівних частин отримаємо таке: xi = xo + i. h; (i = 0,1,2,……,n) xo = a; xn = b; h=(ba)/n. Обчислимо підінтегральну функцію в отриманих вузлах: yi = f (xi); (i = 0,1,2,……,n)

Для виведення формул чисельного інтегрування скористаємося інтерполяційним поліномом Лагранжа

Нехай функції y=f(x) відомі в n+1 точках X0,X1,X2..Xn проміжку [a,b] відповідні визначення f(xi)=yi (i=0,1,2..n). За заданими значеннями Yi будуємо поліном Лагранжа, замінюючи f(x) на поліном Ln(x), де Rn(f) – помилка квадратурної формули. Скориставшись виразом для Ln(x), отримаємо наближену квадратурну формулу

Проте, зауважимо, таке:

коефіцієнти Ai при даному розташуванні вузлів залежить від вибору функції f(x);

для полінома ступеня n остання точна формула.

Вважаючи, що y=xK (k=0,1,2..,n), отримаємо лінійну систему з n+1 рівнянь, де (k=0,1,..,n), з якої можна визначити коефіцієнти А0, А1,..,АN. Визначник системи є визначником Вандермонда

Але також слід зазначити, що з застосуванні даного методу фактично побудова полінома Лагранжа Ln(x) є зайвим. Простий спосіб підрахунку похибки квадратурних формул розроблений С.М. Микільським

Застосовуючи метод трапецій і середніх прямокутників інтеграл чисельно дорівнює сумі площ прямокутних трапецій, де основа трапеції яка-небудь мала величина (точність), і сумі площ прямокутників, де основа прямокутника яка-небудь мала величина (точність), а висота визначається за точкою перетину верхньої основи прямокутника, графік функції повинен перетинати в середині

Визначимо загальну формулу Симпсона (параболічна формула) за такими умовами: нехай n=2m є парне число та yi=f(xi) (i=0,1,2…n) — значення функції y=f(x) для рівновіддалених точок а = x0, x1, …, xn = b з кроком h. Застосувавши формулу Сімпсона до кожного подвоєного проміжку [x0,x2], [x2,x4] …
[x2m-2,x2m] довжини 2h і ввівши позначення s 1 =y 1 +y 2 + … +y 2m-1 s 2 =y 2 +y 4 + … +y 2m отримаємо узагальнену формулу Сімпсона та залишковий член формули Сімпсона у загальному вигляді, де xk I (x 2к-2, x 2к)

Розглянемо квадратурну формулу Чебишева: нехай дана функція f(x) як многочлена f(x)=ao +a 1 x+…+anxn . Проінтегрувавши, перетворивши і підставивши значення многочлена у вузлах

f(x 1 )=a 0 +a 1 x 1 +a 2 x 12 +a 3 x 13 +…+anx 1n

f(x 2 )=a 0 +a 1 x 2 +a 2 x 22 +a 3 x 23 +…+anx 2n

f(x 3 )=a 0 +a 1 x 3 +a 2 x 32 +a 3 x 33 +…+anx 3n

. . . . . . . . . . . .

f(xn )=a 0 +a 1 xn +a 2 x n2 +a 3 x n3 +…+anx nn

отримаємо формулу Чебишева

Значення х1,х2,..,хn для різних n наведені нижче у таблиці

n

I

ti

n

i

ti

2

1;2

± 0,577350

6

1; 6

± 0,866247

3

1;3

± 0,707107

2; 5

± 0,422519

2

0

3;4

± 0,266635

4

1; 4

± 0,794654

7

1; 7

± 0,883862

2;3

± 0,187592

2;6

± 0,529657

5

1; 5

± 0,832498

3;5

± 0,321912

2;4

± 0,374541

4

0

3

0

1. Рішення контрольного прикладу

f(x) = sin(x); де a = 0; при n=5

i

xi

yi

1

0,131489

0,131118

2

0,490985

0,471494

3

0,785

0,706825

4

0,509015

0,487317

5

0,868511

0,763367

x 1 = p /4+ p /4*t 1 = p /4+ p /4(-0,832498)=0,131489

x 2 = p /4+ p /4*t 2 = p /4+ p /4(-0,374341)=0,490985

x 3 = p /4+ p /4*t 3 = p /4+ p /4*0=0,785

x 4 = 1- x 2 = 1-0,490985 = 0,509015

x 5 = 1- x 1 = 1-0,131489 = 0,868511

y 1 = sin (x 1) = sin (0,131489) = 0,131118

y 2 = sin (x 2) = sin (0,490985) = 0,471494

y 3 = sin (x 3) = sin (0,785) = 0,706825

y 4 = sin (x 4) = sin (0,509015) = 0,487317

y 5 = sin (x 5) = sin (0,868511) = 0,763367

I = p /10 (0,131118 + 0,471494 +0,706825 +0,487317 +0,763367) =

= p / 10 * 2,560121 = 0,8038779

2. Опис алгоритму програми

Процедура TABL – це підпрограма, що здійснює виведення таблиці вузлів (аргумент – функція)

Процедура CHEB — використовуючи масиви xi і yi, вираховує за квадратурною формулою Чебишева наближене значення інтеграла

Процедура FORM — використовуючи масив, що містить аргументи xi, заповнює масив yi

Процедура VVOD — заповнює масив, що містить аргументи xi

Під час запуску програми необхідно ввести межі інтегрування. Після введення меж інтегрування використовується процедура VVOD, а потім вираховується та виводитись на екран крок табулювання функції h. Після цього використовуємо процедури FORM та CHEB. Отримавши результат, виводимо таблицю ( процедура TABL ) та інтеграл

Висновки

Роблячи висновок щодо дослідження нашої роботи можна побачити, що обчислення певних інтегралів з допомогою квадратурних формул, зокрема за формулою Чебишева це не дає нам точного значення, лише наближене. Щоб обчислити інтеграл більш точно потрібно вміти правильно вибрати метод і формулу, за якою буде вестися розрахунок і важливо, який буде взятий крок інтегрування. На практиці не завжди можна вирішити задачу інтегрування аналітичним способом, тому необхідно знати чисельні методи, хоча вони не можуть дати точного значення інтеграла

Список літератури

1. Ракітін Т.А., Первушин В.А. “Практичний посібник з чисельних методів з програмою мов Basic“

2. Крилов В.І. «Наближені обчислення інтегралів» — М.: Фізмат

3. Демидович та Марон “Основи обчислювальної математики“

4. Копченова та Марон “Обчислювальна математика на прикладах і завданнях”

5. Вольвачов А.М., Крісевич В.С. Програмування мовою Паскаль для ПЕОМ ЄС. Мінськ.: 1989 р

6. Зуєв Є.А. Мова програмування Turbo Pascal. М.1992 р

7. Скляров В.А. Знайомтесь: Паскаль. М. 1988 р

© Реферат плюс



Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *