Бінарна алгебраїчна операція
Химия

Визначення площі тіла обертання за допомогою певного інтеграла


Визначення площі тіла обертання за допомогою певного інтеграла

Завантажити реферат: Визначення площі тіла обертання за допомогою певного інтегралу

Визначення площі тіла обертання за допомогою певного інтеграла

ІНТЕГРАЛ (від лат. Integer – цілий) — одне з найважливіших понять математики, що виникло у зв’язку з потребою, з одного боку відшукувати функції за їх похідними (наприклад, знаходити функцію, що виражає шлях, пройдений точкою, що рухається, за швидкістю цієї точки), а з іншого — вимірювати площі, обсяги, довжини дуг, роботу зусиль за певний проміжок часу тощо.

Відомості з історії про походження термінів та позначень

Символ запроваджений Лейбніцем (1675 р.). Цей знак є зміною латинської літери S (перша літера слова сума). Саме слово інтеграл придумав Я. Бернуллі (1690). Ймовірно, воно походить від латинського integero, яке перекладається як наводити в колишній стан, відновлювати. (Справді, операція інтегрування «відновлює» функцію, диференціюванням якої отримана підінтегральна функція.) Можливе походження слова інтеграл інше: слово integer означає цілий.

У ході листування І. Бернуллі та Г. Лейбніц погодилися з пропозицією Я. Бернуллі. Тоді ж, в 1696 р., з’явилася і назва нової гілки математики — інтегральне числення (calculus integralis), яке запровадив І. Бернуллі.

Найважливіше з історії інтегрального числення!

Виникнення завдань інтегрального обчислення пов’язане зі знаходженням площ та обсягів. Ряд завдань такого роду було вирішено математиками стародавньої Греції. Антична математика передбачила ідеї інтегрального обчислення значно більшою мірою, ніж диференціального обчислення. Велику роль під час вирішення таких завдань грав вичерпний метод, створений Евдоксом Книдским (бл. 408 — бл. 355 до зв. е.) і широко застосовувався Архімедом (бл. 287 — 212 до зв. е.).

Однак Архімед не виділив загального змісту інтеграційних прийомів та понять про інтеграл, а тим більше не створив алгоритму інтегрального обчислення. Вчені Середнього та Близького Сходу в IX — XV століттях вивчали і перекладали праці Архімеда на загальнодоступну в їхньому середовищі арабську мову, але істотно нових результатів в інтегральному обчисленні вони не отримали.

Діяльність європейських учених у цей час була ще скромнішою. Лише XVI і XVII століттях розвиток природничих наук поставило перед математикою Європи низку нових завдань, зокрема завдання перебування квадратур (завдання на обчислення площ постатей), кубатур (завдання на обчислення обсягів тіл) і визначення центрів тяжкості .

Визначення площі тіла обертання за допомогою певного інтеграла

Праці Архімеда, вперше видані в 1544 (латинською та грецькою мовами), стали привертати широку увагу, і їх вивчення стало одним з найважливіших відправних пунктів розвитку інтегрального обчислення. Архімед передбачив багато ідей інтегрального обчислення. Але знадобилося понад півтори тисячі років, перш ніж ці ідеї знайшли чітке вираження і були доведені до рівня обчислення.

Визначення площі тіла обертання за допомогою певного інтеграла

Математики XVII століття, отримали багато нових результатів, навчалися на працях Архімеда. Активно застосовувався інший метод — метод неподільних, який також зародився у Стародавній Греції. Наприклад, криволінійну трапецію вони уявляли складеною з вертикальних відрізків довжиною f(x) , яким тим не менше приписували площу, рівну нескінченно малій величині f(x)dx. Відповідно до такого розуміння шукана площа вважалася рівною сумі S =
Визначення площі тіла обертання за допомогою певного інтеграла нескінченно великої кількості нескінченно малих площ. Іноді навіть підкреслювалося, що окремі доданки у цій сумі — нулі, але нулі особливого роду, які складені у нескінченному числі, дають цілком певну позитивну суму.

На такій здається тепер щонайменше сумнівній основі І. Кеплер (1571 — 1630 рр.) у своїх творах «Нова астрономія» (1609) і «Стереометрія винних бочок» (1615) правильно обчислив ряд площ (наприклад площа фігури , обмеженою еліпсом) та обсягами (тіло різалося на нескінченно тонкі платівки).

Ці дослідження були продовжені італійськими математиками Б. Кавальєрі (1598 – 1647 роки) та Е. Торрічеллі (1608 –1647 роки).

У XVII столітті було зроблено багато відкриття, що стосуються інтегрального числення. Так, П. Ферма вже в 1629 вирішив завдання квадратури будь-якої кривої y =Визначення площі тіла обертання за допомогою певного інтеграла, де N — ціле (тобто вивів формулу
Визначення площі тіла обертання за допомогою певного інтеграла), і цій основі вирішив низку завдань перебування центрів тяжкості. І. Кеплер при виведенні своїх знаменитих законів руху планет фактично спирався на ідею наближеного інтегрування. І. Барроу (1603-1677 року), вчитель Ньютона, близько підійшов до розуміння зв’язку інтегрування та диференціювання. Велике значення мали роботи з представлення функції у вигляді статечних рядів.

Визначення площі тіла обертання за допомогою певного інтеграла

Проте за всієї значущості результатів, отриманих математиками XVII століття, обчислення ще був. Необхідно було виділити спільні ідеї, що лежать в основі вирішення багатьох приватних завдань, а також встановити зв’язок операцій диференціювання та інтегрування, що дає досить точний алгоритм. Це зробили Ньютон і Лейбніц, які відкрили незалежно один від одного факт, відомий вам під назвою формули Ньютона — Лейбніца. Тим самим було остаточно оформився загальний метод. Треба було ще навчитися знаходити первісні багатьох функцій, дати логічні основи нового обчислення тощо. Але головне вже було зроблено: диференціальне та інтегральне обчислення створено.

Методи математичного аналізу активно розвивалися у наступному столітті (насамперед слід назвати імена Л. Ейлера, який завершив систематичне дослідження інтегрування елементарних функцій, та І. Бернуллі). У розвитку інтегрального обчислення взяли участь російські математики М.В. Принципове значення мали, зокрема, результати Чебишева, який доказав, що є інтеграли, не виразні через елементарні функції.

Суворий виклад теорії інтеграла з’явилося лише у минулому столітті, Розв’язання цього завдання пов’язане з іменами О. Коші, одного з найбільших математиків німецького вченого Б. Рімана (1826 – 1866 рр.), французького математика Г. Дарбу (1842 – 1917).

Відповіді на багато питань, пов’язаних із існуванням площ та обсягів фігур, були отримані зі створенням К. Жорданом (1826 – 1922 рр.) теорії міри.

Визначення площі тіла обертання за допомогою певного інтеграла

Різні узагальнення поняття інтеграла вже на початку нашого століття були запропоновані французькими математиками А. Лебегом (1875 – 1941 рр.) та А. Данжуа (1884 – 1974) радянським математиком А. Я. Хічіним (1894 –1959 рр.)

Поверхня тіла обертання.

Нехай дана поверхня, утворена обертанням кривої y=f(x) навколо осі Ох.

Визначення площі тіла обертання за допомогою певного інтеграла

Визначимо площу цієї поверхні на ділянці а ≤ х ≤ b. Функцію f(x) припустимо безперервну і має безперервну похідну у всіх точках відрізка [a;b]. Проведемо хорди АМ1, М1М2, …. Мn-1B довжини яких позначимо через S1, S2 … Sn (рис. 1). Кожна хорда довжини ΔSi (i=1,2,….n) при обертанні опише усічений конус, поверхня якого ΔPi дорівнює:

Застосовуючи теорему Лагранжа отримаємо:

Визначення площі тіла обертання за допомогою певного інтегралаВизначення площі тіла обертання за допомогою певного інтеграла,де

Отже

Визначення площі тіла обертання за допомогою певного інтегралаВизначення площі тіла обертання за допомогою певного інтеграла

Поверхня, описана ламаною, дорівнюватиме сумі

Визначення площі тіла обертання за допомогою певного інтеграла

, або сумі

Визначення площі тіла обертання за допомогою певного інтеграла
, (1)

поширеною на всі ланки ламаною.

Межа цієї суми, коли найбільша ланка ламаної Si прагне до нуля, називається площею, що розглядається поверхні обертання. Сума (1) не є інтегральною сумою для функції

Визначення площі тіла обертання за допомогою певного інтеграла(2)
, так як у доданку, що відповідає відрізку [xi-1, xi ], фігурує кілька точок цього відрізка xi-1, xi ,ξi.. Але можна довести, що межа суми (1) дорівнює межі інтегральної суми функції (2), тобто.

Визначення площі тіла обертання за допомогою певного інтеграла

або

Визначення площі тіла обертання за допомогою певного інтеграла

(3)

Формула (3) визначає площу Р поверхні теля обертання, що виникає в результаті обертання навколо осі x кривої, заданої на відрізку а ≤ x ≤ b невід’ємною, безперервно диференційованою функцією f(x).

Якщо крива, що обертається, задана параметрично: x=φ

Визначення площі тіла обертання за допомогою певного інтеграла(3/)

© Реферат плюс



Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *