— Визначення оптимальної ціни товару

Визначення оптимальної ціни продажу при експонентному попиті

Визначено величину оптимальної ціни продажу при експонентному попиті. На прикладі побудовано функцію експоненційного попиту. Показано, що при визначенні оптимальної ціни на товар попит на нього можна вважати експоненціальним.

Нехай
— Частка покупців, які мають для купівлі даного товару протягом деякого проміжку часу суму грошей
. Припустимо, що кожен з
покупців купує одну одиницю цього товару, коли його сума грошей
, і не купить цей товар у разі
. Тоді за ціною
за той же час буде продано
одиниць цього товару.

Зауваження. При іншій поведінці покупців співвідношення між
і
інше. Наприклад, якщо покупець при
купить рівно
одиниць товару, тоді

(1)

Визначимо, що прибуток
від продажу
одиниць товару протягом даного проміжку часу пропорційна добутку кількості проданого товару на різницю між ціною
та собівартістю
:

(2)

де
не залежить від
і враховує можливі витрати, скажімо прибуток.

Вважаємо
, так як
– можливі постійні витрати, що впливають величину прибутку, але з оптимальну ціну
, При якій прибуток максимальний. Вважатимемо, що для всіх
точно відома функція
— крива попиту. Величина
у загальному випадку невід’ємна і не зростає зі зростанням
, а при зазначеній поведінці покупців пропорційна
.

Значення
задає інтенсивність (швидкість) у часі числа продажів за даною ціною
. Якщо інтенсивність постійна, то період, вдвічі більший природно очікувати і подвоєння числа продажів.

Інтенсивність може залежати від пори року, доби та інших факторів. Зауважимо, що
задає швидкість збільшення прибутку та оптимальна ціна забезпечує її максимально можливу величину
, необхідно знайти максимум
. Наведемо без підтвердження наступну теорему.

Теорема: Нехай є дві функції дійсної змінної
: лінійна
і невід’ємна
такі, що 1)
, де
,
— довільні постійні; 2)
набуває негативних значень при
, а при
задовольняє співвідношення

(3)

з деякими постійними
,
,
.

Тоді функція
досягає суворого глобального максимуму на безлічі всіх дійсних чисел у точці
і справедлива рівність

Якщо кількість одиниць товару
яке споживачі бажають та мають можливість купити за ціною
, підпорядковується експоненційному закону, тобто зменшується в
раз при збільшенні ціни
на
, де
і
не залежать від
, а саму ціну продавець може встановлювати довільно, то теорема дає вираз ціни, коли він прибуток максимальна. За такої ціни обсяг продажів
складає
або 36.8% від
– можливого обсягу продажу за нульового прибутку за ціною рівної собівартості (рис. 1).

Рисунок 1 Оптимальна ціна продажу при експонентному попиті.

Оцінимо
– хвіст функції розподілу доходів, що дорівнює відношенню кількості людей, які мають дохід не менше
грн., до всіх аналізованих індивідів. Для кожного
з таблиці 1 величина
дорівнює сумі всіх відсотків доходів, для яких
, наприклад при
= 150 грн.
.

На рис. 2 зображено графік з точками, що зображає
— функцію та експоненційний тренд, що апроксимує ці точки.

Використання МНК для логарифмів від
дало в класі багаточленів від
не вище третього ступеня наступне безперервне наближення, що не зростає, для спостережуваних значень
грн.

Таблиця 1 – Розподіл доходу на місяць мешканців міста Київ

Отже для хвоста
функції розподілу населення за величиною середньодушового прибутку справедливий закон (3). А якщо величина попиту
, то для
також справедлива рівність (3).

Рисунок 2 G(x) — хвіст функції розподілу доходів мешканців міста Київ восени 1997 р.

Також за оптимальної ціни продажу товару понад 150 грн. попит нього можна вважати строго експоненціальним.

Література

1. Брискін В.В. Математичні моделі маркетингу. — Новосибірськ: ВО «Наука», 1992. — 156 с.
2. Цацулін О.М. Ціноутворення у системі маркетингу – М.: Інформаційно-видавничий будинок «Филинъ», 1997. – 296 з.

© Реферат плюс