Бінарна алгебраїчна операція
Химия

Використання певного інтеграла для визначення площі тіла обертання


Використання певного інтеграла для визначення площі тіла обертання

Використання певного інтеграла для визначення площі тіла обертання

Одне з найважливіших понять математики, що дозволяє, з одного боку, відшукувати функції за їх похідними (наприклад, знаходити функцію, що виражає шлях, пройдений точкою, що рухається, за швидкістю цієї точки), а з іншого — вимірювати площі, обсяги, довжини дуг, роботу сил за певний проміжок часу називається інтегралом (від лат. Integer – цілий)

Історія походження термінів та позначень

У 1675 р. Лейбніц ввів символ, що позначає інтеграл. Цей знак є зміною латинської літери S (перша літера слова сума). Саме слово інтеграл придумав Я. Бернуллі (1690). Ймовірно, воно походить від латинського integero, яке перекладається як приводити до колишнього стану, відновлювати. Справді, операція інтегрування “відновлює” функцію, диференціюванням якої отримано підінтегральну функцію. Можливе походження слова інтеграл інше: слово integer означає цілий

У той же час з’явилася і назва нової гілки математики — інтегральне числення (calculus integralis), яке запровадив І. Бернуллі

Завдання інтегрального обчислення виникли у зв’язку зі знаходженням площ та обсягів. Ряд завдань такого роду було вирішено математиками стародавньої Греції. Антична математика передбачила ідеї інтегрального обчислення значно більшою мірою, ніж диференціального обчислення. Велику роль при вирішенні таких завдань грав вичерпний метод, створений Євдоксом Кнідським (бл. 408 — бл. 355 до н. е.) і широко застосовувався Архімедом (бл. 287 — 212 до н. е.)

В той же час, Архімед не виділив загального змісту інтеграційних прийомів і понять про інтеграл, а тим більше не створив алгоритм інтегрального обчислення. Вчені Середнього і Близького Сходу в IX — XV століттях вивчали і перекладали праці Архімеда на загальнодоступну в їхньому середовищі арабську мову, але істотно нових результатів в інтегральному обчисленні вони не отримали

Ще скромнішою у цей час була діяльність європейських учених. Лише у XVI і XVII століттях розвиток природничих наук поставило перед математикою Європи низку нових завдань, зокрема завдання на знаходження квадратур (завдання на обчислення площ фігур), кубатур (завдання на обчислення обсягів тіл) та визначення центрів тяжіння

Вперше видані в 1544 праці Архімеда (латинською та грецькою мовами), стали привертати широку увагу, і їх вивчення стало одним з найважливіших відправних пунктів розвитку інтегрального обчислення. Архімед передбачив багато ідей інтегрального обчислення. Але знадобилося понад півтори тисячі років, перш ніж ці ідеї знайшли чітке вираження і були доведені до рівня обчислення

На його працях навчалися математики XVII століття, що отримали багато нових результатів. Активно застосовувався інший метод — метод неподільних, який також зародився у Стародавній Греції. Наприклад, криволінійну трапецію вони уявляли складеною з вертикальних відрізків довжиною f ( x ), яким, тим щонайменше, приписували площу, рівну нескінченно малої величині f ( x ) dx . Відповідно до такого розуміння шукана площа вважалася рівною сумі нескінченно великої кількості нескінченно малих площ.

Іноді навіть підкреслювалося, що окремі доданки у цій сумі — нулі, але нулі особливого роду, які складені в нескінченній кількості, дають цілком певну позитивну суму

На такій основі, яка тепер здається сумнівною, І. Кеплер (1571 — 1630 рр.) у своїх творах «Нова астрономія» (1609) і «Стереометрія винних бочок» (1615) правильно обчислив ряд площ (наприклад, площа фігури, обмеженої еліпсом) та обсягів (тіло різалося на нескінченно тонкі платівки)

Ці дослідження продовжили італійські математики Б. Кавальєрі (1598 – 1647 роки) та Е. Торрічеллі (1608 –1647 роки)

Багато відкриття, що стосуються інтегрального обчислення, було зроблено XVII столітті. Так, П. Ферма вже в 1629 вирішив завдання квадратури будь-якої кривої y = , де N — ціле (тобто вивів формулу ), і на цій основі вирішив ряд завдань на знаходження центрів тяжіння. І. Кеплер при виведенні своїх знаменитих законів руху планет фактично спирався на ідею наближеного інтегрування. І. Барроу (1603-1677 року), вчитель Ньютона, близько підійшов до розуміння зв’язку інтегрування та диференціювання. Велике значення мали роботи з представлення функції у вигляді статечних рядів

Проте за всієї значущості результатів, отриманих математиками XVII століття, обчислення ще був. Необхідно було виділити загальні ідеї, що лежать в основі вирішення багатьох приватних завдань, а також встановити зв’язок операцій диференціювання та інтегрування, що дає досить точний алгоритм. Це зробили Ньютон і Лейбніц, які відкрили незалежно один від одного факт, відомий вам під назвою формули Ньютона — Лейбніца. Тим самим було остаточно оформився загальний метод. Належало ще навчитися знаходити першорядні багато функцій, дати логічні основи нового обчислення і т. п. Але головне вже було зроблено: диференціальне та інтегральне обчислення створено

Методи математичного аналізу активно розвивалися у наступному столітті (насамперед слід назвати імена Л. Ейлера, який завершив систематичне дослідження інтегрування елементарних функцій, та І. Бернуллі). У розвитку інтегрального обчислення взяли участь російські математики М.В. Принципове значення мали, зокрема, результати Чебишева, який доказав, що є інтеграли, не виразні через елементарні функції

Суворий виклад теорії інтеграла виник лише минулого століття. Вирішення цього завдання пов’язане з іменами О. Коші, одного з найбільших математиків німецького вченого Б. Рімана (1826 – 1866 рр.), французького математика Г. Дарбу (1842 – 1917)

Відповіді на багато питань, пов’язаних із існуванням площ та обсягів фігур, були отримані зі створенням К. Жорданом (1826 – 1922 рр.) теорії міри

Різні узагальнення поняття інтеграла вже на початку нашого століття були запропоновані французькими математиками А. Лебегом (1875 – 1941 рр.) та А. Данжуа (1884 – 1974) радянським математиком А. Я. Хічіним (1894 –1959 рр.)

Поверхня тіла обертання

Нехай дана поверхня, утворена обертанням кривої y = f (x) навколо осі Ох

Визначимо площу цієї поверхні на ділянці а ≤ х ≤ b . Функцію f ( x ) припустимо безперервну і має безперервну похідну у всіх точках відрізка [ a ; b ]. Проведемо хорди АМ 1 , М 1 М 2 ,….М n -1 B довжини яких позначимо через S 1 , S 2 …

Кожна хорда довжини Δ S i ( i =1,2,…. n ) при обертанні опише усічений конус, поверхня якого Δ P i дорівнює:

Поверхня, описана ламаною, дорівнюватиме сумі , або сумі поширеної на всі ланки ламаної

Межа цієї суми, коли найбільша ланка ламаної ΔS i прагне до нуля, називається площею поверхні обертання, що розглядається. Сума (1) не є інтегральною сумою для функції так як у доданку, що відповідає відрізку [ x i -1 , x i ], фігурує кілька точок цього відрізка xi -1 , xi , ξ i .. Але можна довести, що межа суми (1) дорівнює межі інтегральної суми для функції (2), тобто

Формула (3) визначає площу Р поверхні теля обертання, що виникає в результаті обертання навколо осі x кривої, заданої на відрізку а ≤ x ≤ b невід’ємною, безперервно диференційованою функцією f ( x )

Якщо крива, що обертається, задана параметрично: x = φ ( t ), y = ψ ( t ) ( t 0 ≤ t ≤ t 1 ), то формула (3) має вигляд

© Реферат плюс



Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *