Бінарна алгебраїчна операція
Химия

Теорема Штольца — Завантажити безкоштовно


Теорема Штольца - Завантажити безкоштовно

Завантажити реферат: Теорема Штольца

Формулювання та доказ теореми Штольца

Застосування теореми Штольца: знаходження межі «середнього арифметичного» перших n значень варіанти;

Застосування теореми Штольца до знаходження деяких меж відношення послідовностей

Знаходження деяких меж відношення функцій за допомогою теореми Штольца

Для визначення меж невизначених виразів типу часто буває корисною наступна теорема, що належить Штольцу

Нехай варіанти , причому – хоча починаючи з деякого аркуша – зі зростанням n і зростає: . Тоді = ,

Якщо існує межа справа (кінцева або навіть нескінченна)

Припустимо, що ця межа дорівнює кінцевому числу:

Тоді за будь-яким заданим знайдеться такий номер N, що для n > N буде або

Отже, яке б n > N взяти, все дроби , , …, , лежать між цими межами. Оскільки знаменники їх, зважаючи на зростання yn разом із номером n , позитивні, між тими самими межами міститься і дріб , чисельник якої є сума всіх чисельників, написаних вище дробів, а знаменник – сума всіх знаменників. Отже, за n > N

Друге доданок праворуч за n > N стає < ; перше ж доданок, зважаючи на те, що , також буде < , скажімо, для n > N ‘ . Якщо при цьому взяти N ‘ > N , то для n > N ‘ очевидно, що і доводить наше твердження

Приклади:

Нехай, наприклад, . Звідси, перш за все випливає, що (для досить великих n), отже, разом з yn і xn, причому варіанти xn зростає зі зростанням номера n. У такому разі, доведену теорему можна застосувати до зворотного відношення (бо тут межа вже скінченна), звідки і слідує, що , Що і потрібно довести

При а > 1

Цей результат за допомогою теореми Штольца виходить одразу:

Застосуємо теорему Штольца до підтвердження наступної цікавої пропозиції:

Якщо варіанта an має межу (кінцевий або нескінченний), то ця сама межа має і варіанти

(«Середнє арифметичне» перших n значень варіанти а n )

Справді, вважаючи теорему Штольца

X n = a 1 + a 2 + … + an, yn = n,

Розглянемо тепер варіанта (вважаючи k-натуральним) яка є невизначеністю виду

Вважаючи в теоремі Штольца

xn =1 k +2 k +…+nk , yn =n k+1 ,

будемо мати

Але

(n -1) k +1 = nk +1 — (k +1) nk + … ,

так що

nk +1 — (n -1) k +1 = (k +1) nk + …

Визначимо межу варіанти представляє у першій формі невизначеність виду, тоді як у другий – виду. Зробивши віднімання дробів, отримаємо цього разу невизначене вираз виду:

Вважаючи xn рівним чисельнику цього дробу, а yn – знаменнику, застосуємо ще раз ту саму теорему. Отримаємо

Теорема Штольца слушна для послідовностей, але т.к. послідовності є окремий випадок функцій, то цю теорему можна узагальнити для функцій

Теорема.

Нехай функція , причому, починаючи з деякої xk g ( xk +1) > g ( xk ), тобто. функція зростаюча

Тоді ,

якщо тільки існує межа справа кінцева або нескінченна

Доказ:

Припустимо, що ця межа дорівнює кінцевому числу k

Тоді, за визначенням межі або

Значить, який би не взяти всі дроби

лежать між цими кордонами. Оскільки знаменники їх, зважаючи на зростання g ( xn ) разом із x ( n ), позитивні, між тими самими межами міститься і дріб , чисельник якої є сума всіх чисельників, написаних вище дробів, а знаменник – сума всіх знаменників. Отже, за

Напишемо тотожність (яке легко перевірити):

Звідки

Друге доданок справа стає; перше ж доданок, зважаючи на те, що , так само буде , скажімо, для . Якщо при цьому взяти, то для, очевидно, що і доводить теорему

Література:

  1. «Завдання та вправи з математичного аналізу» за редакцією Б.П.Демидовича. Видавництво «Наука», Москва 1996р
  2. Г.М.Фихтенгольц «Курс диференціального та інтегрального обчислення» Фізматгіз 1962р. Москва

© Реферат плюс



Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *