Теорема Гауса для електростатичного поля у вакуумі

Відповідно (7), потік вектора напруженості крізь сферичну поверхню радіуса R, що охоплює сферичний заряд q, що знаходився в її центрі:

(Малюнок)

(10)

Цей результат справедливий для замкнутої поверхні будь-якої форми. Розглянемо загальний випадок довільної поверхні, що оточує n зарядів.

Відповідно до принципу суперпозиції
. Тому

,

(11)

(11) – висловлює теорему Гауса для електростатичного поля:

Потік вектора напруженості електростатичного поля у вакуумі через довільну замкнуту поверхню дорівнює сумі алгебри укладених усередині цієї поверхні зарядів, поділених на електричну постійну.

Якщо заряд розподілено з об’ємною щільністю
, то

(12)

або
(13)

Застосування теореми Гауса до розрахунку поля.

Поле рівномірно зарядженої нескінченної площини з поверхневою щільністю заряду
.

(Малюнок)

Як замкнута поверхня візьмемо циліндр, вісь якого перпендикулярна площині. Потік через бічні стінки циліндра дорівнює нулю, так як лінії напруженості перпендикулярні до осі циліндра і його утворює. Повний потік крізь циліндр дорівнює сумі потоків через його підстави
.

Заряд усередині циліндра відповідно до теореми Гауса:

, звідки
.

Поле рівномірно зарядженої сферичної поверхні.

(Малюнок)

Якщо r >R, то по теоремі Гауса отримаємо:

, де, звідки
.

Якщо
< R то замкнута поверхня не містить електричного заряду. Отже E = 0.

Дивергенція та ротор електростатичного поля.

Замінюючи по теоремі Гауса поверхневий інтеграл об’ємним, отримаємо:

Підставивши замість
його значення з (13), отримаємо:

Інтеграли рівні, отже рівні та підінтегральні вирази. Так отримаємо теорему Гауса для вектора напруженості електростатичного поля:

(14)

(14) – перше фундаментальне рівняння електростатики. Так як
, то

(15)

(15) – друге основне рівняння електростатики.

Обидва основні рівняння електростатики еквівалентні закону Кулона, оскільки сила поля змінюється згідно із законом
.

Для будь-якої радіальної сили
виконувана робота залежить від шляху і існує потенціал.

Потенціал електростатичного поля.

З механіки відомо, що
.

У нашому випадку заряд
переміщається в поле заряду q з точки А до точки В.

(Малюнок).

Тоді можна записати

Криволінійний шлях ab можна уявити так.

(Малюнок)

На ділянці
робота дорівнює нулю, тому що вектор сили перпендикулярний вектору переміщення.

На ділянці
елементарна робота дорівнює:

(16)

Звідки випливає, що потенційна енергія заряду
у полі заряду q дорівнює:

(17)

Потенційна енергія, як й у механіці, визначається однозначно, і з точністю до похідної константи C . Якщо прийняти, що за
,
, то
. Тоді

(18)

Для однойменних зарядів
потенційна енергія U позитивна (відштовхування).

Для різноіменних зарядів потенційна енергія U є негативною (тяжіння).

Якщо поле створюється системою точкових зарядів, то внаслідок принципу суперпозиції:

(19)

З формул (18) і (19) випливає, що ставлення U до
не залежить від
тому і є енергетичною характеристикою поля – потенціал.

(20)

З формул (19) і (20) випливає принцип суперпозиції для потенціалу:

(21)

З формул (18) і (20) випливає, що потенціал поля, створюваного точковим зарядами q:

(22)

Робота, що здійснюється силами електростатичного поля при переміщенні заряду з точки А до точки В, може бути представлена ​​як

Якщо
, то, отже можна записати
, звідки
(23)

Таким чином, потенціал є фізична величина, яка визначається роботою по переміщенню одиничного позитивного заряду з даної точки поля в нескінченність.

[1 В] — потенціал такої точки поля, в якій заряд в 1Кл має енергію в 1Дж.

Напруженість як градієнт потенціалу. Еквівалент потенційної поверхні.

Знайдемо взаємозв’язок між напруженістю електростатичного поля (його силова характеристика) та потенціалом (енергетична характеристика).

(Малюнок)

Робота з переміщення одиничного позитивного заряду з точки 1 до точки 2.

(24)

(25)

Для тривимірного випадку отримаємо:

(26)

де
— Поодинокі вектори координат x, y, z.

Вираз (26) можна подати у вигляді:

(27)

Знак мінус показує, що вектор напруги спрямований у бік меншого потенціалу.

Найчастіше знайти потенціал поля, а потім розрахувати вектор напруженості.

Для графічного зображення розподілу потенціалу електростатичного поля користуються еквіпотенційними поверхнями, здебільшого точок яких потенціал постійний.

(Малюнок)

Вектор напруженості завжди перпендикулярний до еквіпотенційних поверхонь у точках їх перетину.

(Малюнок)

Чим частіше розподілені еквіпотенційні поверхні, тим більша величина напруженості електростатичного поля.

У вістря напруженість більша, тому заряди стікають з вістря.

Приклади розрахунку потоку у вакуумі.

Поле двох нескінченно паралельних пластин, заряджених різноіменно, визначається за формулою:

, де
— Поверхнева щільність заряду.

(Малюнок)

— Різниця потенціалів між площинами.

Поле рівномірно заряджене сферичними поверхнями радіуса R заряду q обчислюється за формулою:

при
.

Різниця потенціалів між довільною точкою поля та поверхнею сфери дорівнюватиме:

Типи діелектриків. Поляризація діелектриків.

Електричний диполь – система двох рівних за модулем різноіменних точкових зарядів, відстань між якими менша за відстань до розглянутих точок поля.

(Малюнок)

, де
— Електричний момент диполя (дипольний момент)

— плече диполя.

Поляризацією діелектриків називається явище поляризації диполя чи поява під впливом електричного поля орієнтованих по полю диполів.

Розрізняють три види поляризації діелектриків:

електронна (деформаційна) поляризація діелектриків із неполярними молекулами (N2, H2, O2).

(Малюнок)

Виникає рахунок деформації електричних полів.

орієнтаційна (дипольна) поляризація. Полягає в орієнтації наявних дипольних моментів молекул (H2O, NH3, CO).

(Малюнок)

іонна поляризація діелектриків з іонними кристалами – у тому, що відбувається зміщення від кристалічної решітки позитивних іонів уздовж поля, а негативних проти поля, які призводять до виникнення дипольного моменту (NaCl, KCl).

(Малюнок)

Рідкі кристали.

Речовина є текучим, тобто є рідиною і в той же час її властивості анізотронні — подібні до кристалів.

Рідкокристалічні властивості притаманні діелектрикам, що характеризуються другим типом поляризації.

Провідники у електростатичному полі.

Вектор напруженості електростатичного поля в провіднику дорівнює нулю (). Якби поле не дорівнювало нулю, то у провіднику виник би впорядкований рух зарядів без витрати енергії від зовнішнього джерела, що суперечить закону збереження енергії.

(Малюнок)

На одному кінці провідника надлишок позитивний, на іншому – негативний. Це індукує заряди.

Явище перерозподілу поверхневих зарядів на провіднику у зовнішньому електростатичному полі називається електростатичною індукцією.

Електричні заряди розташовуються на поверхневому шарі товщиною 1-2 атомних шари. На цьому явищі заснований електростатичний захист від впливу зовнішніх електростатичних полів.

© Реферат плюс