Бінарна алгебраїчна операція
Химия

Структура афінного простору над тілом.


Структура афінного простору над тілом.

Завантажити реферат: Структура афінного простору над тілом

Щоб краще розуміти афінну структуру і не губитися від її складності, можна звернутися до більш загального поняття однорідного простору. Це також привід пригадати, що поняття групи виникло шляхом абстракції з поняття групи перетворень, і, більше того, воно повністю проявляє себе, коли ми розглядаємо дію групи на деякій множині.

Вважаючи добре відомим поняття абстрактної групи, введемо

Визначення 1.1. Нехай
Структура афінного простору над тілом.— деяка група (з мультиплікативним позначенням операції) та
Структура афінного простору над тілом.– її нейтральний елемент.

Кажуть що
Структура афінного простору над тілом. діє зліва на безлічі
Структура афінного простору над тілом.якщо визначено відображення
Структура афінного простору над тілом.,
Структура афінного простору над тілом., таке, що набір відображень
Структура афінного простору над тілом.,
Структура афінного простору над тілом. задовольняє умовам

Структура афінного простору над тілом. і
Структура афінного простору над тілом. Структура афінного простору над тілом.. (1)

Аналогічно кажуть, що
Структура афінного простору над тілом. діє на
Структура афінного простору над тілом. праворуч, якщо визначено відображення
Структура афінного простору над тілом.,
Структура афінного простору над тілом., таке, що набір відображень
Структура афінного простору над тілом.,
Структура афінного простору над тілом. задовольняє умовам

Структура афінного простору над тілом. і
Структура афінного простору над тілом. Структура афінного простору над тілом.. (1/)

Співвідношення (1) (відповідно (1/)) показують, що
Структура афінного простору над тілом.(відповідно
Структура афінного простору над тілом.)- це бієкції
Структура афінного простору над тілом. на
Структура афінного простору над тілом.і що
Структура афінного простору над тілом. (відповідно
Структура афінного простору над тілом.).

Наприклад, будь-яка група
Структура афінного простору над тілом. діє сама на собі зліва лівими зрушеннями:
Структура афінного простору над тілом. і праворуч правими зрушеннями:
Структура афінного простору над тілом..

Група
Структура афінного простору над тілом. діє на собі зліва також внутрішніми автоморфізмами:
Структура афінного простору над тілом..

Умовимося вважати, якщо інше не обумовлено, що дія групи на множині розуміється як дія зліва.

Зрозуміло, що для комутативної групи
Структура афінного простору над тілом.обидві дії збігаються; слід, однак, відзначити, що та сама група може діяти на безлічі, в тому числі і на собі, різними способами.

Визначення 1.2. Нехай гурт
Структура афінного простору над тілом. діє зліва на безлічі
Структура афінного простору над тілом. із законом дії
Структура афінного простору над тілом.. Кажуть що
Структура афінного простору над тілом. діє на
Структура афінного простору над тілом. транзитивно, якщо для будь-якої пари
Структура афінного простору над тілом. елементів
Структура афінного простору над тілом. існує хоча б один елемент
Структура афінного простору над тілом., такий, що
Структура афінного простору над тілом.; далі, кажуть, що дія
Структура афінного простору над тілом. просто транзитивно, якщо цей елемент
Структура афінного простору над тілом. завжди єдиний.

приклад. Лінійна група
Структура афінного простору над тілом. автоморфізмів
Структура афінного простору над тілом. діє транзитивно на
Структура афінного простору над тілом., але ця дія не є просто транзитивною, крім випадку
Структура афінного простору над тілом..

Визначення 1.3. Нехай гурт
Структура афінного простору над тілом. діє зліва на безлічі
Структура афінного простору над тілом.. Стабілізатором підмножини
Структура афінного простору над тілом. множини
Структура афінного простору над тілом. називається безліч
Структура афінного простору над тілом..

Безпосередньо ясно, що
Структура афінного простору над тілом.— підгрупа групиСтруктура афінного простору над тілом.. Якщо безліч
Структура афінного простору над тілом. складається з одного елемента
Структура афінного простору над тілом., то ця підгрупа називається групою ізотропії елемента
Структура афінного простору над тілом..

Зауваження. Стабілізатор
Структура афінного простору над тілом. є перетином двох множин
Структура афінного простору над тілом. і
Структура афінного простору над тілом., які мають бути підгрупами
Структура афінного простору над тілом.. Наприклад, якщо
Структура афінного простору над тілом. діє на собі трансляціями та
Структура афінного простору над тілом.— позитивна піввісь, то
Структура афінного простору над тілом. не є підгрупою, а
Структура афінного простору над тілом..

Визначення 1.4. Нехай
Структура афінного простору над тілом.— група, що діє зліва на
Структура афінного простору над тілом.; орбітою елемента
Структура афінного простору над тілом. називається образ
Структура афінного простору над тілом. при відображенні
Структура афінного простору над тілом..

Якщо
Структура афінного простору над тілом. діє на
Структура афінного простору над тілом. транзитивно, то орбіти всіх елементів збігаються з
Структура афінного простору над тілом..

Зауваження. На
Структура афінного простору над тілом.можна визначити відношення еквівалентності, вважаючи
Структура афінного простору над тілом.якщо існує елемент
Структура афінного простору над тілом., такий, що
Структура афінного простору над тілом.; класи еквівалентності є орбітами елементів.
Структура афінного простору над тілом.; фактор безліч за цим відношенням назвемо простором орбіт.

Однорідні простори

Визначення 1.5. Однорідним простором, асоційованим з групою
Структура афінного простору над тілом., називається безліч
Структура афінного простору над тілом., на якому визначено транзитивну дію групи
Структура афінного простору над тілом..

Приклад (типовий). Простір суміжних класів групи за її підгрупою.

Нехай
Структура афінного простору над тілом.— Група,
Структура афінного простору над тілом.— її підгрупа,
Структура афінного простору над тілом.— фактор безліч, утворена лівими суміжними класами щодо
Структура афінного простору над тілом.: елементи
Структура афінного простору над тілом. з
Структура афінного простору над тілом. оголошуються еквівалентними, якщо існує елемент
Структура афінного простору над тілом., такий, що
Структура афінного простору над тілом.; клас еквівалентності елемента
Структура афінного простору над тілом. є безліч
Структура афінного простору над тілом. елементів виду
Структура афінного простору над тілом., де
Структура афінного простору над тілом..

Дія зліва групи
Структура афінного простору над тілом. на
Структура афінного простору над тілом. визначається за допомогою
Структура афінного простору над тілом.; ця дія, очевидно, транзитивна. Фактормножина
Структура афінного простору над тілом. є однорідним простором щодо цієї дії.

Ми побачимо, що будь-який однорідний простір наводиться (за допомогою бієкції) до простору такого виду.

Теорема 1.1. Нехай
Структура афінного простору над тілом.— однорідний простір, асоційований з групою
Структура афінного простору над тілом., і для будь-якого
Структура афінного простору над тілом. нехай
Структура афінного простору над тілом.— Група ізотропії
Структура афінного простору над тілом.. Тоді існує єдина бієкція
Структура афінного простору над тілом. факторпростору
Структура афінного простору над тілом. на
Структура афінного простору над тілом., така, що для всіх
Структура афінного простору над тілом. виконано
Структура афінного простору над тілом., де
Структура афінного простору над тілом.— канонічна проекція та
Структура афінного простору над тілом.— дія
Структура афінного простору над тілом. на
Структура афінного простору над тілом..

Доказ. Співвідношення
Структура афінного простору над тілом. рівносильно
Структура афінного простору над тілом. і, отже,
Структура афінного простору над тілом. або
Структура афінного простору над тілом.; отже, відображення
Структура афінного простору над тілом.,
Структура афінного простору над тілом. переноситься на фактор безліч і представляється у вигляді
Структура афінного простору над тілом., де
Структура афінного простору над тілом.— Біекція.

Спеціальний випадок

Якщо група
Структура афінного простору над тілом. діє на
Структура афінного простору над тілом. просто транзитивно, то групи ізотропії
Структура афінного простору над тілом. тривіальні; для кожної точки
Структура афінного простору над тілом. відображення
Структура афінного простору над тілом.,
Структура афінного простору над тілом. є бієкцією, яка задовольняє умові
Структура афінного простору над тілом..

Ця бієкція
Структура афінного простору над тілом. дозволяє перенести на
Структура афінного простору над тілом.структуру групи
Структура афінного простору над тілом.яка, однак, буде залежати від вибору точки
Структура афінного простору над тілом., тобто образ нейтрального елемента. Говорячи нестрого,
Структура афінного простору над тілом. допускає структуру групи, ізоморфної
Структура афінного простору над тілом.при довільному виборі нейтрального елемента.

Так і буде справа у разі ”афінної структури”.

Продовження в архіві

© Реферат плюс



Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *