Рух у центральному симетричному полі

Трохи теорії

Центральним називають таке силове поле, в якому потенційна енергія частки є функцією лише від відстані r до певної точки — центру поля: U = U (r). Сила, що діє на частинку в такому полі, теж залежить лише від відстані r і спрямована в кожній точці простору вздовж радіусу, проведеного в цю точку з центру поля

Хоча частка, що рухається в такому полі, і не є замкнутою системою, проте для неї виконується закон збереження моменту імпульсу, якщо визначати момент по відношенню до центру поля. Дійсно, оскільки напрямок чинної на частинку сили проходить через центр поля, то дорівнює нулю плече сили щодо цієї точки, а тому дорівнює нулю та момент сили. Відповідно до рівняння звідси випливає, що L = const (де L – вектор моменту імпульсу, а K момент сили K = [ rF ]. Рівняння
виходить із рівняння L = [ p ]. Визначимо похідну часу від моменту імпульсу частки. Відповідно до правила диференціювання твору маємо

Так як
— є швидкість v частинки, а p = mv то перший член є m [ vv ] і дорівнює нулю, оскільки дорівнює нулю векторний добуток будь-якого вектора на себе. У другому члені похідна
— є сила F, що діє на частинку. Таким чином,
.)

Оскільки момент L = m [ rv ] перпендикулярний напряму радіуса-вектора r , то з сталості напрямку L випливає, що при русі частинки її радіус-вектор повинен залишатися весь час в одній площині — площині перпендикулярної напрямку L . Таким чином, у центральному полі частинки рухаються плоскими орбітами — орбітами, що лежать у площинах, що проходять через центр поля

Дане рівняння можна записати у вигляді:

де ds – вектор переміщення матеріальної точки за час dt. Величина векторного відтворення двох векторів геометрично являє собою кінь побудованого на них паралелограма. Площа ж паралелограма, побудованого на векторах ds і r , є подвоєна площа нескінченно вузького сектора , описаного радіусом-вектором дв і крапки, що жужиться за час dt . Позначивши цю площу через dS, можна записати велич ну моменту у вигляді

Величина
називається секторіальною швидкістю

Завдання про рух у центральному полі особливо важливе тому, що до неї зводиться завдання про відносний рух двох взаємодіючих один з одним матеріальних точок — так зване завдання двох тіл

Якщо розглянути цей рух у системі центру інерції обох частинок. У цій системі відліку сумарний імпульс частинок дорівнює нулю:

m 1 v 1 +m 2 v 2 =0,

де v 1 , v 2 — швидкості част і ц. Введемо також відносну швидкість частинок

v = v 1 — v 2

З цих двох рівностей виходять такі формули формули

виражають швидкості кожної з частинок через їх відносну швидкість

Підставивши ці формули у вираз повної енергії частинок отримаємо

де U(r) — взаємна потенційна енергія частинок як функція їхньої відносної відстані r . Після простого приведення членів отримаємо

,

де m означає величину

звану наведеною масою частинок

Ми бачимо, що енергія відносного руху двох частинок така ж, як якби одна частка з масою m рухалася зі швидкістю
у центральному зовнішньому полі з потенційною енергією U(r). Іншими словами, завдання про рух двох частинок зводиться до завдання про рух однієї «наведеної» частинки у зовнішньому полі

Постановка задачі

Розглянемо енергію матеріальної точки у центральному полі сил

, уявимо
(швидкість) у полярних координатах

Розглянемо трикутник ABD:

ds~AB, отже

,

звідки отримуємо

Висловимо

Залишилось висловити характер траєкторії

(**)

Підставимо вираз

в (**)

Проінтегруємо

Ця формула є траєкторією руху частинки в центральному симетричному полі
Розглянемо рівняння руху для випадку кулонівського поля

, де

Спробуємо знайти цей інтеграл попередньо зробивши заміну

Зробимо заміну

,

тоді

Далі застосуємо формулу

У результаті отримуємо

,

де

;

Це рівняння конічного перерізу з фокусом у центрі поля

При e> 1 – гіпербола;

e = 1 – парабола;

0< e <1 – еліпс;

e = 0 – коло;

Література:

1. Л. Д. Ландау, А. І. Ахієзер, Е. М. Ліфшиц “Курс загальної фізики. Механіка та молекулярна фізика” Москва 1965 р