Рух у центральному симетричному полі
Химия

Рух у центральному симетричному полі


Скачати реферат: Рух у центральному симетричному полі

Трохи теорії

Центральним називають таке силове поле, в якому потенційна енергія частки є функцією лише від відстані r до певної точки — центру поля: U = U (r). Сила, що діє на частинку в такому полі, теж залежить лише від відстані r і спрямована в кожній точці простору вздовж радіусу, проведеного в цю точку з центру поля

Хоча частка, що рухається в такому полі, і не є замкнутою системою, проте для неї виконується закон збереження моменту імпульсу, якщо визначати момент по відношенню до центру поля. Дійсно, оскільки напрямок чинної на частинку сили проходить через центр поля, то дорівнює нулю плече сили щодо цієї точки, а тому дорівнює нулю та момент сили. Відповідно до рівняння звідси випливає, що L = const (де L – вектор моменту імпульсу, а K момент сили K = [ rF ]. Рівняння
Рух у центральному симетричному полівиходить із рівняння L = [ p ]. Визначимо похідну часу від моменту імпульсу частки. Відповідно до правила диференціювання твору маємо

Рух у центральному симетричному полі

Так як
Рух у центральному симетричному полі— є швидкість v частинки, а p = mv то перший член є m [ vv ] і дорівнює нулю, оскільки дорівнює нулю векторний добуток будь-якого вектора на себе. У другому члені похідна
Рух у центральному симетричному полі— є сила F, що діє на частинку. Таким чином,
Рух у центральному симетричному полі.)

Оскільки момент L = m [ rv ] перпендикулярний напряму радіуса-вектора r , то з сталості напрямку L випливає, що при русі частинки її радіус-вектор повинен залишатися весь час в одній площині — площині перпендикулярної напрямку L . Таким чином, у центральному полі частинки рухаються плоскими орбітами — орбітами, що лежать у площинах, що проходять через центр поля

Дане рівняння можна записати у вигляді:

Рух у центральному симетричному полі

де ds – вектор переміщення матеріальної точки за час dt. Величина векторного відтворення двох векторів геометрично являє собою кінь побудованого на них паралелограма. Площа ж паралелограма, побудованого на векторах ds і r , є подвоєна площа нескінченно вузького сектора , описаного радіусом-вектором дв і крапки, що жужиться за час dt . Позначивши цю площу через dS, можна записати велич ну моменту у вигляді

Рух у центральному симетричному полі

Величина
Рух у центральному симетричному поліназивається секторіальною швидкістю

Завдання про рух у центральному полі особливо важливе тому, що до неї зводиться завдання про відносний рух двох взаємодіючих один з одним матеріальних точок — так зване завдання двох тіл

Якщо розглянути цей рух у системі центру інерції обох частинок. У цій системі відліку сумарний імпульс частинок дорівнює нулю:

m 1 v 1 +m 2 v 2 =0,

де v 1 , v 2 — швидкості част і ц. Введемо також відносну швидкість частинок

v = v 1 — v 2

З цих двох рівностей виходять такі формули формули

Рух у центральному симетричному поліРух у центральному симетричному полі

виражають швидкості кожної з частинок через їх відносну швидкість

Підставивши ці формули у вираз повної енергії частинок отримаємо

Рух у центральному симетричному полі

де U(r) — взаємна потенційна енергія частинок як функція їхньої відносної відстані r . Після простого приведення членів отримаємо

Рух у центральному симетричному полі,

де m означає величину

Рух у центральному симетричному полі

звану наведеною масою частинок

Ми бачимо, що енергія відносного руху двох частинок така ж, як якби одна частка з масою m рухалася зі швидкістю
Рух у центральному симетричному поліу центральному зовнішньому полі з потенційною енергією U(r). Іншими словами, завдання про рух двох частинок зводиться до завдання про рух однієї «наведеної» частинки у зовнішньому полі

Постановка задачі

Розглянемо енергію матеріальної точки у центральному полі сил

Рух у центральному симетричному полі, уявимо
Рух у центральному симетричному полі(швидкість) у полярних координатах

Рух у центральному симетричному полі

Розглянемо трикутник ABD:

ds~AB, отже

Рух у центральному симетричному полі

Рух у центральному симетричному полі,

звідки отримуємо

Рух у центральному симетричному полі

Висловимо
Рух у центральному симетричному полі

Рух у центральному симетричному полі

Залишилось висловити характер траєкторії
Рух у центральному симетричному полі

Рух у центральному симетричному поліРух у центральному симетричному полі

Рух у центральному симетричному полі

(**)

Підставимо вираз
Рух у центральному симетричному полі

в (**)

Рух у центральному симетричному полі

Проінтегруємо
Рух у центральному симетричному полі

Ця формула є траєкторією руху частинки в центральному симетричному полі
Рух у центральному симетричному поліРозглянемо рівняння руху для випадку кулонівського поля
Рух у центральному симетричному полі

Рух у центральному симетричному полі

, де
Рух у центральному симетричному полі

Рух у центральному симетричному полі

Спробуємо знайти цей інтеграл попередньо зробивши заміну
Рух у центральному симетричному полі

Зробимо заміну

,
Рух у центральному симетричному полі

тоді
Рух у центральному симетричному полі

Рух у центральному симетричному полі

Далі застосуємо формулу

Рух у центральному симетричному поліУ результаті отримуємо

Рух у центральному симетричному полі,
Рух у центральному симетричному полі

де
Рух у центральному симетричному полі

;
Рух у центральному симетричному полі

Це рівняння конічного перерізу з фокусом у центрі поля

При e> 1 – гіпербола;

e = 1 – парабола;

0< e <1 – еліпс;

e = 0 – коло;

Література:

1. Л. Д. Ландау, А. І. Ахієзер, Е. М. Ліфшиц “Курс загальної фізики. Механіка та молекулярна фізика” Москва 1965 р



2. Конспект із механіки за перший триместр. Лектор Гурачевський В. Л.

© Реферат плюс

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *