Ряд Фур'є - завантажити безкоштовно
Химия

Ряд Фур’є — завантажити безкоштовно


Завантажити реферат: Ряд Фур’є

У попередніх лабораторних роботах було викладено теорію багаточленної апроксимації. Спробуємо викласти подібну теорію для апроксимації періодичних функцій рядами Фур’є. Ряд Фур’є на інтервалі -N?t?N можна записати так:
Ряд Фур'є - завантажити безкоштовно
де
Ряд Фур'є - завантажити безкоштовно(k = 0, 1, 2, …)
Ряд Фур'є - завантажити безкоштовно (k = 0, 1, 2, …)

Ряд Фур'є - завантажити безкоштовно 1

-p 0 p

-1

Як приклад розглянемо розкладання прямокутного коливання до ряду Фур’є. Подібне коливання, яке називається меандром, знаходить широке застосування в техніці. Отже,
Ряд Фур'є - завантажити безкоштовно
Оскільки практично ми можемо обчислити нескінченну суму, проаналізуємо, як збільшення кількості доданків впливає наближення. При цьому ми стикаємося із явищем Гіббса.

H

Ряд Фур'є - завантажити безкоштовно

0 p 2p 3p t
Прямокутна

Розглянемо це явище з прикладу прямокутної хвилі H

Якщо обчислити суму перших 2n членів, то всі члени з косинусами дорівнюватимуть нулю і отримуємо:

Ряд Фур'є - завантажити безкоштовно ?

H2n

1

ЅРяд Фур'є - завантажити безкоштовно

явище Гіббса p t

Гіббс зазначив, що часткова сума H2n перевищує функцію деяку величину. Більш точно
H2nРяд Фур'є - завантажити безкоштовно1,08949…, за n®?
Справді, H2n

Ряд Фур'є - завантажити безкоштовно ?
де використано формулу
Ряд Фур'є - завантажити безкоштовно
З виведеної формули? ясно, що максимум і мінімум для 0?t?p досягаються в точках
Ряд Фур'є - завантажити безкоштовно ,
тобто при t=Ряд Фур'є - завантажити безкоштовно m=1, 2, …, 2n-1, і що вони чергуються.
Те, що правильне цієї спеціальної функції, зрозуміло, вірно й у більш загальних функцій, оскільки розрив можна як виникаючий з прямокутної хвилі, доданої до головної функції.
Справді, явище Гіббса ми можемо спостерігати і при наближенні пилкоподібного сигналу за допомогою рядів Фур’є. p align=»justify»> З пилкоподібними коливаннями часто доводиться стикатися в пристроях для розгортки зображення в осцилографах.
Зауважимо, що зі збільшенням числа доданків у лавах Фур’є, наближення поліпшується (зменшується глибина коливань). Це показують графіки, наведені в кінці.
Завдання наступного етапу роботи — фільтрація зашумленного сигналу з допомогою швидких перетворень Фур’є (БПФ).
Розглянемо довільний сигнал. В даному випадку він заданий як
Ряд Фур'є - завантажити безкоштовно
На практиці майже завжди мають справу із зашумленим сигналом. Тому накладемо на сигнал якийсь шум. Тепер спробуємо очистити сигнал від шумів. Для цього застосуємо БПФ, а потім цифровий фільтр.
Отже, якщо використовувати комплексне уявлення тригонометричних функцій
Ряд Фур'є - завантажити безкоштовно
то отримаємо
Ряд Фур'є - завантажити безкоштовно ,
де
Ряд Фур'є - завантажити безкоштовно
Легко бачити, що
Ряд Фур'є - завантажити безкоштовно
(ak і bk -коефіцієнти розкладання до ряду Фур’є)
Комплексна форма ряду Фур’є зручніше у використанні при теоретичних дослідженнях, але обчислення проводяться з дійсною формою. У комплексній формі існують і позитивні і негативні частоти: для кожної позитивної частоти замінили дві функції, синус і косинус, єдиної експоненціальної, але має як позитивну, і негативну частоту.
Покажемо, що відповідно до подання рядів Фур’є періодичної функції є уявлення інтегралом Фур’є будь-якої функції
Ряд Фур'є - завантажити безкоштовно , де
Ряд Фур'є - завантажити безкоштовно.
Функція F(s), грубо кажучи, відповідає коефіцієнтам cл у ряді Фур’є. Це — спектральна функція (спектральна площина); F(s) описує амплітуду частоти (s) функції f

Фур’є-аналіз.

Як у чистій, і у прикладної математиці, зазвичай шукають інваріанти уявлення — інваріанти стосовно класу перетворень. У класі періодичних функцій перенесення осей t=t’+b нічого не винні змінювати у поданні функції те, що залежить від системи координат. Безпосередньо видно, що коефіцієнти Фур’є ak і bk не мають цих властивостей і змінюються при зсуві осі, тобто коли змінюється початок відліку часу. Вважаючи t=t’+b і використовуючи періодичність f

Ряд Фур'є - завантажити безкоштовно

Аналогічно
Ряд Фур'є - завантажити безкоштовно
Хоча ak та bk не інваріантні, величина
Ряд Фур'є - завантажити безкоштовно
очевидно, інваріантна. Величину
Ряд Фур'є - завантажити безкоштовно називають потужністю частоти k та зображують у вигляді дискретного спектру потужності.
Наприкінці роботи ми можемо бачити у графіках двох найбільш важливих характеристик імпульсу: графік огинального спектру прямокутного імпульсу та графік фазового зсуву гармонік.

© Реферат плюс



Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *