Бінарна алгебраїчна операція
Химия

— Рішення тригонометричних нерівностей


- Рішення тригонометричних нерівностей

Завантажити реферат: Розв’язання тригонометричних нерівностей

Вирішення тригонометричних нерівностей стоїть в одному ряду з такими важливими темами, як розв’язання числових нерівностей та розв’язання систем нерівностей з однією змінною. Історично склалося, що тригонометричним рівнянням та нерівностям приділялося особливе місце у шкільному курсі. Ще греки, на зорі людства, вважали тригонометрію найважливішою з наук, бо геометрія – цариця математики, а тригонометрія – цариця геометрії. Тому і ми, не заперечуючи стародавніх греків, вважатимемо тригонометрію одним із найважливіших розділів шкільного курсу, та й усієї математичної науки загалом.

З чого починається навчання розв’язання тригонометричних нерівностей у школі? Звичайно, з самих тригонометричних функцій. Спочатку даються самі відношення sin x, cos x, tg x та ctg x. Робиться це на конкретних прикладах розглянутих трикутників. Потім робиться важливий перехід від синуса і косинуса в прямокутному трикутнику до цих відносин, але вже в довільному куті. Sin та cos звільняються від конкретної геометричної прив’язки і ці поняття стають ширшими.

Наступним етапом введення понять sin x, cos x, tg x і ctg x є розгляд функціональних залежностей або функцій y = sin x, y = cos x, y = tg x і y = ctg x відповідно. На цьому етапі даються всі основні властивості цих функцій, розглядаються області визначення та значень, проміжки знакопостійності, і головне – графіки цих функцій. Аналіз функції не можна вважати повним, тому що ще не засвоєний і не застосовувався апарат диференціювання, але для розв’язання тригонометричних нерівностей грунт вже підготовлений і хлопці добре «озброєні» теоретичними знаннями.

Нарешті останній підготовчий етап «великого шляху» — розв’язання тригонометричних рівнянь. Тут відпрацьовуються останні нюанси, дитина вчиться оперувати складними тригонометричними конструкціями, але головне, саме зараз даються основні тригонометричні тотожності та похідні від них. Допомогу цього тригонометричного апарату важко переоцінити. Знаннями здобутими тут і зараз учні зможуть користуватися все життя. Потужність блоку тригонометричних тотожностей воістину вражає, тому що з його допомогою керуватися з громіздкими, «триповерховими» тригонометричними виразами стає так само просто, як і з алюмінієвою вилкою.

І тільки тепер, добре освоївши всі попередні розділи, учні підходять до нашої теми, а саме розв’язання тригонометричних нерівностей. Природно починають розв’язання таких нерівностей із найпростіших: sin x > a, sin x < a; cos x > a, cos x < a; tg x > a, tg x < a. Потім, освоївши дані нерівності, поступово переходять до складніших нерівностей, що містять кілька функцій одночасно, що містять різні функції в різних ступенях і всіляких їх комбінацій. Звичайно, для хлопчиків і дівчаток 13-14 років цей матеріал простим і легким не назвеш, він вимагає аналітичного складу розуму, вміння мислити абстрактно, а головне швидко. Тому вивчення цього матеріалу без будь-якого додаткового інструментарію було б вельми скрутним. Але, на щастя, це не так: був знайдений простий і зручний, а головне наочний інструментарій, що дозволяє легко вирішувати такі найпростіші тригонометричні нерівності. Насправді, їх навіть два.

У уважного читача може виникнути резонне питання, заради чого було город городити, якщо за допомогою вашого “дивовижного” інструментарію можна вирішувати лише найпростіші нерівності, які й так, якось можна вирішити. На це можна відповісти, що будь-яка тригонометрична нерівність, якою б великою і заплутаною вона не здавалася спочатку, можна за допомогою тотожних перетворень звести до найпростішої (кільком найпростіших) тригонометричних нерівностей. Потім можемо вирішити їх або використовуючи тригонометричний коло, або сам графік отриманої функції.

Насправді у шкільному курсі немає жорсткої регламентації яким із зазначених двох способів користуватися під час вирішення тригонометричних нерівностей. Тут вибір повністю за даним конкретним викладачем. Вчителі вільні використовувати як один, так і інший способи, але мені здається, що тригонометричний коло все ж таки наочніше і зрозумівши один раз його принцип починаєш користуватися ним також вільно як і дихати, до того ж він просто компактніший і займає в зошити менше місця. Ідеальним варіантом є спільне, взаємодоповнююче використання обох вище перерахованих методів вирішення найпростіших тригонометричних нерівностей.

Отже, тригонометричне коло одиничного радіусу (ви можете бачити його зображення поряд). Чому його радіус узятий за одиницю, а не скажемо за двійку чи п’ятірку? Відповідь очевидна: кут тут зображується радіусом і відрізком осі ОХ, і якщо ми опустимо перпендикуляр з точки перетину радіуса з колом на вісь ОХ, отримаємо прямокутний трикутник. У тригонометричному колі довжина відрізка ОУ прийнята за sin x, a довжина відрізка ОХ за cos x. За теоремою Піфагора ОХ2 + ОУ2 = R2. Таким чином, підставивши синус та косинус отримаємо: sin2x + cos2x = 1. Ось так ми і вийшли на основне тригонометричне тотожність. Саме тому тригонометричне коло одиничного радіусу.

Як я вже сказав, ми, за допомогою тригонометричних тотожностей, наводимо нерівність до найпростішого вигляду, а потім вирішуємо його використовуючи тригонометричне коло або графік. Для успішного вирішення необхідно знати таке:

- Рішення тригонометричних нерівностей

Про косінус можна сказати наступне:

- Рішення тригонометричних нерівностей

І нарешті тангенс, що увібрав у себе все найкраще із синуса та косинуса:

- Рішення тригонометричних нерівностей

Озброєний такими знаннями, не тільки школяр, а й проста людина, яка ніколи не навчалася в школі, зможе швидко освоїти і легко вирішувати ці «загадкові» тригонометричні нерівності.

Список використаної литературы:

1. В. С. Крамор, Повторюємо і систематизуємо шкільний курс алгебри та почав аналізу, Москва, Просвітництво, 1990

2. С. А. Теляковський, Алгебра, підручник для 8 класу середньої школи, Москва, Просвітництво, 1987

3. Особисті нотатки та спостереження автора.

© Реферат плюс



Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *