Бінарна алгебраїчна операція
Химия

Реферат — Зенон Елейський його парадокси та поняття нескінченності


Реферат - Зенон Елейський його парадокси та поняття нескінченності

Завантажити реферат: Зенон Елейський його парадокси та поняття нескінченності

Піфагорійська школа. Піфагор заснував братерство релігійного, філософського та наукового характеру з політичним ухилом. Праці, приписувані зазвичай Піфагору, ставляться як до легендарного Піфагору, а взагалі до праць цієї школи між 585 і 400 р. до зв. е. .

У своїй космологічній концепції Піфагор відмовився від моністичної ідеї первинної субстанції, що породила весь Всесвіт. Його концепція дуалістична, і в напрузі між двома протилежними принципами – обмежене – необмежене, непарне – парне, єдине – множинне, пряме – криве, квадратне – довгасте – він бачив причину будь-якого розвитку. Мало цікавлячись матеріальними елементами, які б дати уявлення про генезу різних складових частин Всесвіту, Піфагор, захоплений глибоким релігійним течією, що охопила Грецію на той час, прагнув дати глобальну картину космосу загалом. Основу всього він бачив у числі, про що свідчить його девіз: «Все є число».

Найважливішим серед приписуваних піфагорійцям відкриттів було відкриття ірраціонального у вигляді несумірних відрізків прямої лінії. Можливо, що було зроблено у зв’язку з дослідженням геометричного середнього а:в = в:с, величиною, яка цікавила піфагорійців і служила символом аристократії. Чому одно геометричне середнє одиниці та двійки, двох священних символів? Це вело до вивчення відношення сторін і діагоналі квадрата, і було виявлено, що таке відношення не виражається числом, тобто тим, що ми тепер називаємо раціональним числом (цілим числом або дробом), а лише такі числа допускалися піфагорійською арифметикою. Іншими словами, ірраціональні числа були відкриті, коли стало ясно, що деякі відносини не можна висловити за допомогою цілих чисел. Це відкриття ознаменувало аварію піфагорійської точки зору про представність світу за допомогою цілих чисел і викликало першу кризу в історії математики.

Елеати. Вплив Елейської школи (V ст. е.) формування абстрактної наукової думки величезне. Засновник цієї школи, Парменід, був першим, хто суворо розрізняв чуттєве і умопостигаеме, що призвело до неминучої конфронтації між досвідом та вимогами розуму. саме тому елеати не прийняли піфагорійську доктрину, що ставить у відповідність будь-якої речі число. якщо дискретні об’єкти можна уявити цілими числами. то інакше справа у разі безперервних величин, таких, як довжини, площі, обсяги і т.д., які в загальному випадку можна інтерпретувати як дискретні набори одиниць, лише якщо допускати існування нескінченного числа дуже малих елементів, з яких ці об’єкти складаються . Як реакцію цю останню концепцію Зенон Елейський (нар. між 495 і 480 рр. е.) сформулював чотири феномена, які ілюструють неможливість нескінченної ділимості і будь-якого руху, якщо мислити простір і час що з неподільних частин. Загальна мета його аргументів показати ті нісенітниці, до яких приходять, коли намагаються отримати безперервні величини з нескінченно малих частинок, взятих у нескінченній множині.

Обчислення нескінченно малих веде свій початок від інтуїтивного уявлення греків про безперервність, математичну нескінченність і межу, а також від тих труднощів, з якими вони зіткнулися при спробах явно визначити ці поняття. Ці три поняття були коректно визначені лише у ХІХ ст., коли математики захотіли систематизувати досягнення своєї науки, і їм довелося переглянути підстави, щоб підвести під математичну будівлю міцний фундамент.

Числа та геометричні величини. Ми бачили, що піфагорійці уподібнювали до числа геометричних точок: одиницю — одній точці, деяке інше число — групі точок, що утворюють деяку геометричну фігуру. Кожне число вони були дискретним набором одиниць; таким чином, піфагорійська арифметика обмежувалася вивченням позитивних цілих чисел і стосунків цілих чисел, які не вважалися числами.

Будь-яка безперервна величина — лінія, поверхня, тіло — могла бути ототожнена з деяким відповідним їй числом — «кількістю» (довжина, площа, об’єм). Подібно до того, як одиниця була загальною мірою цілих чисел, величини повинні були мати загальну одиницю виміру — бути зо зміром і — і кожна величина ототожнювалася з цілим числом складових її одиниць. Ця спроба ототожнити цілі числа з безперервними величинами, інтерпретувати безперервне у термінах дискретного ні до чого не призвела та швидко провалилася. Вирішальну роль, як говорилося, у цьому зіграло відкриття ірраціональних чисел.В квадраті зі стороною 1 відношення діагоналі до сторони одно; воно не виявляється у вигляді відносин цілих чисел і, отже, взагалі не має статусу піфагорійської арифметики. Сторона і діагональ не мають загальної одиниці виміру і називаються несо з і з м е р і м ими. Взаємна відповідність між величиною та числом, знайома піфагорійцям, виявилася порушеною. Якщо кожному числу відповідає певна довжина, то які числа необхідно порівняти несумірним величинам?

Парадокси Зенона та поняття нескінченності. Саме у зв’язку з відкриттям непорівнянних величин у грецьку математику проникло поняття нескінченності. У своїх пошуках загальної одиниці виміру всім величин грецькі геометри могли б розглянути нескінченно поділені величини, але ідея нескінченності приводила їх у глибоке сум’яття. Якщо навіть міркування про нескінченне проходили успішно, греки у своїх математичних теоріях завжди намагалися його обійти та виключити. Їхні труднощі перед явним виразом абстрактних понять нескінченного та безперервного, протилежних поняттям кінцевого та дискретного, яскраво проявились у парадоксах Зенона Елейського.

Доказами Зенона були «апорії» (глухий кут); вони повинні були продемонструвати, що обидва припущення заводять у глухий кут. Ці парадокси відомі під назвою А х і л е с, С т е л а, Д і х о т о м і я (розподіл на два) і С т а д і о н. Вони сформульовані так, щоб підкреслити суперечності у поняттях руху та часу, але це зовсім не спроба вирішити такі суперечності.

Апорія «Ахілл і черепаха» протистоїть ідеї нескінченної подільності простору та часу. Бистроногий Ахілл змагається у бігу з черепахою та благородно надає їй фору. Поки він пробіжить відстань, що відокремлює його від точки відправлення черепахи, остання проповзе далі; відстань між Ахіллом та черепахою скоротилася, але черепаха зберігає перевагу. Поки Ахілл пробіжить відстань, що відокремлює його від черепахи, черепаха знову проповзе ще трохи вперед, і т. д. Якщо простір нескінченно ділимо, Ахілл ніколи не зможе наздогнати черепаху. Цей феномен побудований на труднощі підсумовування нескінченного числа дедалі менших величин і неможливості інтуїтивно уявити, що це сума дорівнює кінцевої величині.

Ще більш явним цей момент стає в апорії «Дихотомія»: перш ніж пройти деякий відрізок, тіло, що рухається, спочатку має пройти половину цього відрізка, потім половину половини, і так далі до нескінченності. Зенон подумки будує ряд 1/2 + (1/2)2 + (1/2)3 + …, сума якого дорівнює 1, але йому не вдається інтуїтивно осягнути зміст цього поняття. Сучасні уявлення про межу і збіжність ряду дозволяють стверджувати, що починаючи з деякого моменту відстань між Ахіллом і черепахою стане менше будь-якого заданого числа, обраного як завгодно малим.

Парадокс «Стріла» заснований на припущенні, що простір і час складені з неподільних елементів, скажімо «точок» та «моментів». У якийсь “момент” свого польоту стріла перебуває у певній “точці” простору у нерухомому стані. Оскільки це вірно у кожний момент її польоту, стріла взагалі не може перебувати у русі.

Тут порушено питання про миттєву швидкість. Якого значення слід надати відношенню x/t пройденої відстані x до інтервалу часу t, коли величина t стає дуже малою? Нездатні уявити собі мінімум, відмінний від нуля, давні надали йому значення нуль. Нині за допомогою поняття межі правильна відповідь негайно : миттєва швидкість є межа відношення x/t при t, що прагне до нуля

Отже, всі ці феномена пов’язані з поняттям межі; воно стало центральним поняттям числення нескінченно малих.

Парадокси Зенона відомі нам завдяки Аристотелю, який привів їх у своїй «Фізиці», щоб критикувати. Він розрізняє нескінченність щодо складання і нескінченність щодо розподілу та встановлює, що континуум нескінченно ділимо. Час теж нескінченно ділимо, і в кінцевий інтервал часу можна пройти нескінченно подільну відстань. Парадокс «Стріла», який «є наслідком припущення, що час складено з моментів», стає безглуздим, якщо прийняти, що час ділимо нескінченно.

Список літератури

1. Цейтен Г.Г. Історія математики в давнину та в середні віки. М.-Л., 1932

2. Будок Д.Я. Короткий нарис історії математики. М., Наука, 1978

3. Богомолов С.А. Актуальна нескінченність. М.-Л., 1934

<Орлов Святослав Григорович, РДГУ, 1 курс, предмет: "Історія матаматики", 1996 р.>

© Реферат плюс



Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *