Бінарна алгебраїчна операція
Химия

Реферат — Теорія ймовірності — завантажити безкоштовно


Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовно

Завантажити реферат: Теорія ймовірності

Математичний апарат сучасної економіки часто використовується на основі традиційної теорії ймовірності, проте сама теорія ймовірності ґрунтується на системі аксіом. Для цієї теорії характерна частотна інтерпретація ймовірності події: ми не знаємо, яким буде результат даного конкретного експерименту, але знаємо, яка частка того чи іншого результату в багатьох всіх можливих результатів експерименту, багаторазово поставленого за незмінних початкових умов. Теоретично ймовірності передбачається, що випадкові величини розподілені за деяким розподілом. І тут розрахунки значно спрощуються. Таке припущення не позбавлене підстав, скажімо, при плануванні інвестицій, при моделюванні фізичних процесів (є теорема про те, що середнє від незалежних випадкових величин, розподілених за довільними законами, розподілено за Гаусом). Отже, у своєму есе я розгляну випадкові величини та функції розподілу.

Випадкові величини

Визначення. Нехай
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовно— Довільний імовірнісний простір.

Випадковою величиною
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовноназивається вимірна функція
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовно, що відображає
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовноу безліч дійсних чисел
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовно, тобто. функція, для якої прообраз
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовнобудь-якої борелівської множини
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовноє безліч з
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовно-алгебри
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовно.

Приклади довільних величин. 1) Число, що випало на межі гральної кістки.

2) Розмір деталі, що випускається. 3) Відстань від початку координат до випадково кинутої у квадрат точки
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовно.

Безліч значень випадкової величини
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовнобудемо позначати
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовно, а образ елементарної події
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовно
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовно. Безліч значень
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовноможе бути кінцевим, рахунковим чи незліченним.

Визначимо
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовно-алгебру на безлічі
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовно. У загальному випадку
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовно-алгебра числової множини
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовноможе бути утворена застосуванням кінцевого числа операцій об’єднання та перетину інтервалів
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовноабо напівінтервалів виду
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовно(Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовно), у яких одне з чисел
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовноабо
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовноможе бути одно
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовноабо
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовно.

В окремому випадку, коли
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовно— дискретна (не більш ніж рахункова) безліч,
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовно-алгебру утворюють будь-які підмножини множини
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовно, у тому числі одноточкові.

Таким чином
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовно-алгебру множини
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовноможна побудувати з множин
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовноабо
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовно, або
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовно.

Будемо називати подією
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовнобудь-яке підмножина значень
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовновипадкової величини
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовно:
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовно. Прообраз цієї події позначимо
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовно. Зрозуміло, що
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовно;
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовно;
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовно. Всі множини
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовно, які можуть бути отримані як підмножини
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовноз множини
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовно,
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовно, Застосуванням кінцевого числа операцій об’єднання та перетину, утворюють систему подій. Визначивши безліч можливих значень випадкової величини
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовно
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовнота виділивши систему подій
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовно, побудуємо вимірний простір
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовно. Визначимо можливість на підмножинах (подіях)
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовноз
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовнотаким чином, щоб вона дорівнювала ймовірності настання події, що є його прообразом:
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовно.

Тоді трійка
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовноназвемо імовірнісним простором випадкової величини
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовно, де
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовно

— безліч значень випадкової величини
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовно;
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовно
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовно-алгебра числової множини
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовно;
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовно— функція ймовірності випадкової величини
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовно.

Якщо кожній події
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовнопоставлено у відповідність
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовно, то кажуть, що встановлено розподіл випадкової величини
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовно. Функція
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовнозадається на таких подіях (базових), знаючи ймовірності яких можна обчислити ймовірність довільної події
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовно. Тоді подіями можуть бути події
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовно.

Функція розподілу та її властивості

Розглянемо імовірнісний простір
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовно, утворене випадковою величиною
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовно.

Визначення. Функцією розподілу випадкової величини
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовноназивається функція
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовнодійсного змінного
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовно, Що визначає ймовірність того, що випадкова величина
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовноприйме в результаті реалізації експерименту значення, менше деякого фіксованого числа
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовно:

Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовно(1)

Там де відомо, про яку випадкову величину
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовно,
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовноабо
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовнойдеться, замість
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовнобудемо писати
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовно. Якщо розглядати випадкову величину
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовнояк випадкову точку на осі
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовно, то функція розподілу
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовноз геометричної точки зору це ймовірність того, що випадкова точка
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовнов результаті реалізації експерименту потрапить лівіше точки
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовно.

Очевидно, що функція
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовноза будь-якого
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовнозадовольняє нерівності
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовно. Функція розподілу випадкової величини
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовномає такі властивості:

2) Функція розподілу — незменшна функція
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовно, тобто. для будь-яких
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовноі
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовно, таких що
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовно, має місце нерівність
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовно.

Доказ. Нехай
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовноі
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовноі
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовно. Подія, яка полягає в тому, що
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовноприйме значення, менше, ніж
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовно,
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовнопредставимо у вигляді об’єднання двох несумісних подій
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовноі
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовно:
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовно.

Тоді згідно з аксіомою 3 Колмогорова,
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовноабо за формулою (1)

Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовно, (2)

звідки
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовно, так як
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовно. Властивість доведено.

Теорема. Для будь-яких
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовноі
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовноймовірність нерівності
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовнообчислюється за формулою

Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовно(3)

Доказ. Справедливість формули (3) випливає із співвідношення (2). Таким чином, ймовірність попадання випадкової величини
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовноу напівінтервал
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовнодорівнює різниці значень функції розподілу обчислених на кінцях напівінтервалу
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовноі
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовно.

2)
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовно;
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовно.

Доказ. Нехай
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовноі
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовно— Дві монотонні числові послідовності, причому
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовно,
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовнопри
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовно. Подія
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовнополягає в тому що
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовно. Достовірна подія
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовноеквівалентне об’єднанню подій
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовно:

Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовно;
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовно.

Так як
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовно, то за якістю ймовірностей
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовно, тобто.
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовно.

Зважаючи на визначення межі, отримуємо
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовно;
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовно

3) Функція
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовнобезперервна зліва в будь-якій точці
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовно,
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовно

Доказ. Нехай
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовно— будь-яка зростаюча послідовність чисел, що сходить до
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовно. Тоді можна записати:
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовно

На підставі аксіоми 3
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовно

Оскільки ряд справа складається з позитивних чисел і сходить до
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовно, то залишок ряду, починаючи з деякого номера
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовно, буде менше
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовно,
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовно(теорема про залишок ряду)

Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовно.

Використовуючи формулу (3), виразимо ймовірність подій через функцію розподілу. Отримаємо

Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовно,

звідки
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовноабо
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовно, а це означає, що
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовно.

З розглянутих властивостей випливає, що кожна функція розподілу
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовноє 1) незабутньою, 2) безперервною зліва і 3) задовольняє умові
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовноі
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовно. І, навпаки, кожна функція, що має властивості 1), 2), 3), може розглядатися як функція розподілу деякої випадкової величини.

Теорема. Імовірність того, що значення випадкової величини більше дійсного числа
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовно, обчислюється за формулою
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовно.

Доказ. Достовірна подія
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовнопредставимо у вигляді об’єднання двох несумісних подій
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовноі
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовно. Тоді по 3-1 аксіомі Колмогорова
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовноабо
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовно, Звідки слідує шукана формула.

Визначення. Говоритимемо, що функція розподілу
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовномає при
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовнострибок
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовно, якщо
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовно, де
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовноі
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовномежі зліва та справа функції розподілу
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовноу точці
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовно.

Теорема. Для кожного
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовноз простору
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовновипадкової величини
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовномає місце формула
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовно

Доказ. Прийнявши у формулі (3)
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовно,
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовноі перейшовши до межі при
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовно,
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовно, згідно з властивістю 3), отримаємо шуканий результат.

Можна показати, що функція
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовноможе мати не більше ніж лічильне число стрибків. Дійсно функція розподілу може мати не більше одного стрибка
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовно, стрибків
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовно— не більше 3-х, стрибків
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовноне більше чим
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовно.

Іноді поведінка випадкової величини
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовнохарактеризується не завданням її функції розподілу, а будь-яким іншим законом розподілу, але так, щоб можна було отримати з цього закону розподілу функцію розподілу
Реферат - Теорія ймовірності - завантажити безкоштовно.

© Реферат плюс



Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *