Реферат — Теорія ймовірності — завантажити безкоштовно

Математичний апарат сучасної економіки часто використовується на основі традиційної теорії ймовірності, проте сама теорія ймовірності ґрунтується на системі аксіом. Для цієї теорії характерна частотна інтерпретація ймовірності події: ми не знаємо, яким буде результат даного конкретного експерименту, але знаємо, яка частка того чи іншого результату в багатьох всіх можливих результатів експерименту, багаторазово поставленого за незмінних початкових умов. Теоретично ймовірності передбачається, що випадкові величини розподілені за деяким розподілом. І тут розрахунки значно спрощуються. Таке припущення не позбавлене підстав, скажімо, при плануванні інвестицій, при моделюванні фізичних процесів (є теорема про те, що середнє від незалежних випадкових величин, розподілених за довільними законами, розподілено за Гаусом). Отже, у своєму есе я розгляну випадкові величини та функції розподілу.

Випадкові величини

Визначення. Нехай
— Довільний імовірнісний простір.

Випадковою величиною
називається вимірна функція
, що відображає
у безліч дійсних чисел
, тобто. функція, для якої прообраз
будь-якої борелівської множини
є безліч з
-алгебри
.

Приклади довільних величин. 1) Число, що випало на межі гральної кістки.

2) Розмір деталі, що випускається. 3) Відстань від початку координат до випадково кинутої у квадрат точки
.

Безліч значень випадкової величини
будемо позначати
, а образ елементарної події
—
. Безліч значень
може бути кінцевим, рахунковим чи незліченним.

Визначимо
-алгебру на безлічі
. У загальному випадку
-алгебра числової множини
може бути утворена застосуванням кінцевого числа операцій об’єднання та перетину інтервалів
або напівінтервалів виду
(), у яких одне з чисел
або
може бути одно
або
.

В окремому випадку, коли
— дискретна (не більш ніж рахункова) безліч,
-алгебру утворюють будь-які підмножини множини
, у тому числі одноточкові.

Таким чином
-алгебру множини
можна побудувати з множин
або
, або
.

Будемо називати подією
будь-яке підмножина значень
випадкової величини
:
. Прообраз цієї події позначимо
. Зрозуміло, що
;
;
. Всі множини
, які можуть бути отримані як підмножини
з множини
,
, Застосуванням кінцевого числа операцій об’єднання та перетину, утворюють систему подій. Визначивши безліч можливих значень випадкової величини
—
та виділивши систему подій
, побудуємо вимірний простір
. Визначимо можливість на підмножинах (подіях)
з
таким чином, щоб вона дорівнювала ймовірності настання події, що є його прообразом:
.

Тоді трійка
назвемо імовірнісним простором випадкової величини
, де

— безліч значень випадкової величини
;
—
-алгебра числової множини
;
— функція ймовірності випадкової величини
.

Якщо кожній події
поставлено у відповідність
, то кажуть, що встановлено розподіл випадкової величини
. Функція
задається на таких подіях (базових), знаючи ймовірності яких можна обчислити ймовірність довільної події
. Тоді подіями можуть бути події
.

Функція розподілу та її властивості

Розглянемо імовірнісний простір
, утворене випадковою величиною
.

Визначення. Функцією розподілу випадкової величини
називається функція
дійсного змінного
, Що визначає ймовірність того, що випадкова величина
прийме в результаті реалізації експерименту значення, менше деякого фіксованого числа
:

(1)

Там де відомо, про яку випадкову величину
,
або
йдеться, замість
будемо писати
. Якщо розглядати випадкову величину
як випадкову точку на осі
, то функція розподілу
з геометричної точки зору це ймовірність того, що випадкова точка
в результаті реалізації експерименту потрапить лівіше точки
.

Очевидно, що функція
за будь-якого
задовольняє нерівності
. Функція розподілу випадкової величини
має такі властивості:

2) Функція розподілу — незменшна функція
, тобто. для будь-яких
і
, таких що
, має місце нерівність
.

Доказ. Нехай
і
і
. Подія, яка полягає в тому, що
прийме значення, менше, ніж
,
представимо у вигляді об’єднання двох несумісних подій
і
:
.

Тоді згідно з аксіомою 3 Колмогорова,
або за формулою (1)

, (2)

звідки
, так як
. Властивість доведено.

Теорема. Для будь-яких
і
ймовірність нерівності
обчислюється за формулою

(3)

Доказ. Справедливість формули (3) випливає із співвідношення (2). Таким чином, ймовірність попадання випадкової величини
у напівінтервал
дорівнює різниці значень функції розподілу обчислених на кінцях напівінтервалу
і
.

2)
;
.

Доказ. Нехай
і
— Дві монотонні числові послідовності, причому
,
при
. Подія
полягає в тому що
. Достовірна подія
еквівалентне об’єднанню подій
:

;
.

Так як
, то за якістю ймовірностей
, тобто.
.

Зважаючи на визначення межі, отримуємо
;

3) Функція
безперервна зліва в будь-якій точці
,

Доказ. Нехай
— будь-яка зростаюча послідовність чисел, що сходить до
. Тоді можна записати:

На підставі аксіоми 3

Оскільки ряд справа складається з позитивних чисел і сходить до
, то залишок ряду, починаючи з деякого номера
, буде менше
,
(теорема про залишок ряду)

.

Використовуючи формулу (3), виразимо ймовірність подій через функцію розподілу. Отримаємо

,

звідки
або
, а це означає, що
.

З розглянутих властивостей випливає, що кожна функція розподілу
є 1) незабутньою, 2) безперервною зліва і 3) задовольняє умові
і
. І, навпаки, кожна функція, що має властивості 1), 2), 3), може розглядатися як функція розподілу деякої випадкової величини.

Теорема. Імовірність того, що значення випадкової величини більше дійсного числа
, обчислюється за формулою
.

Доказ. Достовірна подія
представимо у вигляді об’єднання двох несумісних подій
і
. Тоді по 3-1 аксіомі Колмогорова
або
, Звідки слідує шукана формула.

Визначення. Говоритимемо, що функція розподілу
має при
стрибок
, якщо
, де
і
межі зліва та справа функції розподілу
у точці
.

Теорема. Для кожного
з простору
випадкової величини
має місце формула

Доказ. Прийнявши у формулі (3)
,
і перейшовши до межі при
,
, згідно з властивістю 3), отримаємо шуканий результат.

Можна показати, що функція
може мати не більше ніж лічильне число стрибків. Дійсно функція розподілу може мати не більше одного стрибка
, стрибків
— не більше 3-х, стрибків
не більше чим
.

Іноді поведінка випадкової величини
характеризується не завданням її функції розподілу, а будь-яким іншим законом розподілу, але так, щоб можна було отримати з цього закону розподілу функцію розподілу
.

© Реферат плюс