Реферат - Складання коливань - завантажити безкоштовно
Химия

Реферат — Складання коливань — завантажити безкоштовно


Завантажити реферат: Складання коливань

Коливаннями називаються рухи або процеси, що мають ту чи іншу повторюваність у часі.

Додавання кількох гармонійних коливань одного напрямку та однакової частоти стає наочним, якщо зображати коливання графічно у вигляді векторів на площині. Отримана у такий спосіб схема називається векторної діаграмою.

Реферат - Складання коливань - завантажити безкоштовноВізьмемо вісь, уздовж якої відкладатимемо величину x, що коливається. З взятої на осі точки Про відкладемо вектор довжини A, що утворює з віссю кут α. Якщо привести цей вектор у обертання з кутовою швидкістю ω0, то проекція кінця вектора переміщатиметься по осі x в межах від -А до +A, причому координата цієї проекції змінюватиметься згодом згідно із законом

Реферат - Складання коливань - завантажити безкоштовно

Отже, проекція кінця вектора на вісь здійснюватиме гармонійні коливання з амплітудою, що дорівнює довжині вектора, з круговою частотою, що дорівнює кутової швидкості обертання вектора, і з початковою фазою, що дорівнює куту, утвореному вектором з віссю в початковий момент часу.

Таким чином, гармонійне коливання може бути задане за допомогою вектора, довжина якого дорівнює амплітуді коливання, а напрямок утворює з віссю x кут, рівний початковій фазі коливань.

Розглянемо додавання двох гармонійних коливань одного напрямку та однакової частоти. Результуюче коливання буде сумою коливань х1 та x2, які визначаються функціями

Реферат - Складання коливань - завантажити безкоштовно,
Реферат - Складання коливань - завантажити безкоштовно (1)

Представимо обидва коливання за допомогою векторів A1 і А2. Побудуємо за правилами складання векторів результуючий вектор А. На малюнку видно, що проекція цього вектора на вісь x дорівнює сумі проекцій векторів, що складаються:

Реферат - Складання коливань - завантажити безкоштовно

Реферат - Складання коливань - завантажити безкоштовноТому вектор A є результуючим коливанням. Цей вектор обертається з тією ж кутовою швидкістю ω0, як і вектори А1 і А2, так що сума x1 і х2 є гармонічним коливанням із частотою (ω0, амплітудою A та початковою фазою α. Використовуючи теорему косінусів, отримуємо, що

Реферат - Складання коливань - завантажити безкоштовно (2)

Також з малюнка видно, що

Реферат - Складання коливань - завантажити безкоштовно (3)

Подання гармонійних коливань за допомогою векторів дозволяє замінити складання функцій додаванням векторів, що значно простіше.

Складання коливань у взаємно перпендикулярних напрямках.

Представимо дві взаємно перпендикулярні векторні величини x і y, що змінюються з часом з однаковою частотою за гармонійним законом, то

Реферат - Складання коливань - завантажити безкоштовно
Реферат - Складання коливань - завантажити безкоштовно (1)

Де ex і eу — орти координатних осей x і y, А і B — амплітуди коливань. Величинами x і у може бути, наприклад, усунення матеріальної точки (частки) із положення рівноваги.

У разі коливальної частки величини

Реферат - Складання коливань - завантажити безкоштовно,
Реферат - Складання коливань - завантажити безкоштовно (2)

визначають координати частки на площині xy. Частка буде рухатися деякою траєкторією, вигляд якої залежить від різниці фаз обох коливань. Вирази (2) є задане в параметричній формі рівняння цієї траєкторії. Щоб отримати рівняння траєкторії у звичайному вигляді, потрібно виключити із рівнянь (2) параметр t. З першого рівняння випливає, що

Реферат - Складання коливань - завантажити безкоштовно (3) Відповідно
Реферат - Складання коливань - завантажити безкоштовно (4)

Розгорнемо косинус у другому з рівнянь (2) за формулою для косинуса суми:

Реферат - Складання коливань - завантажити безкоштовно

Підставимо замість cos ωt і sinωt їх значення (3) та (4):

Реферат - Складання коливань - завантажити безкоштовно

Реферат - Складання коливань - завантажити безкоштовно

Перетворимо це рівняння

Реферат - Складання коливань - завантажити безкоштовно

Реферат - Складання коливань - завантажити безкоштовно

Реферат - Складання коливань - завантажити безкоштовно

Реферат - Складання коливань - завантажити безкоштовно (5)

Це рівняння еліпса, осі якого повернуті щодо координатних осей х і у. Орієнтація еліпса та його півосі залежать досить складним чином від амплітуд A і В та різниці фаз α.

Спробуємо знайти форму траєкторії для кількох окремих випадків.

1. Різниця фаз α дорівнює нулю. У цьому випадку рівняння (5) спрощується так:

Реферат - Складання коливань - завантажити безкоштовно

Звідси виходить рівняння прямої:

Реферат - Складання коливань - завантажити безкоштовно

Результуючий рух є гармонічним коливанням вздовж цієї прямої з частотою і амплітудою, що дорівнює
Реферат - Складання коливань - завантажити безкоштовно (Рис. 1 а).

2. Різниця фаз α дорівнює ±π. З рівняння (5) має вигляд

Реферат - Складання коливань - завантажити безкоштовно

Отже, результуючий рух є гармонійним коливанням вздовж прямої

Реферат - Складання коливань - завантажити безкоштовно (Рис. 1 б)

Реферат - Складання коливань - завантажити безкоштовно

Рис.1

Реферат - Складання коливань - завантажити безкоштовно

3. При
Реферат - Складання коливань - завантажити безкоштовно рівняння (5) переходить у рівняння еліпса, наведеного до координатних осей:

Реферат - Складання коливань - завантажити безкоштовно

Півосі еліпса дорівнюють відповідним амплітудам коливань. При рівності амплітуд А і В еліпс перетворюється на коло.

Випадки
Реферат - Складання коливань - завантажити безкоштовноі
Реферат - Складання коливань - завантажити безкоштовно відрізняються напрямком руху еліпсом або колом.

Отже, рівномірний рух по колу радіуса R з кутовою швидкістю може бути представлений як сума двох взаємно перпендикулярних коливань:

Реферат - Складання коливань - завантажити безкоштовно,
Реферат - Складання коливань - завантажити безкоштовно

(Знак плюс у виразі для у відповідає руху проти годинникової стрілки, знак мінус — руху за годинниковою стрілкою).

Якщо частоти взаємно перпендикулярних коливань не однакові, то траєкторії результуючого руху мають вигляд складних кривих, які називають фігурами Ліссажу.

Реферат - Складання коливань - завантажити безкоштовноРеферат - Складання коливань - завантажити безкоштовно

Фігура Лісажу для

відносини частот 1:2 та

різниці фаз π/2

Фігура Лісажу для відношення частот 3:4 та різниці фаз π/2

© Реферат плюс



Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *