Реферат — Сфера та куля

Сфера це фігура, що складається з усіх точок простору, віддалених від даної точки на даній відстані.

Точка О називається центром сфери, R-радіус сфери.

Будь-який відрізок, що з’єднує центр і якусь точку сфери, називається радіусом сфери. Відрізок, що з’єднує дві точки сфери і проходить через центр, називається діаметром сфери.

Куля-це фігура, що складається з усіх точок простору, що знаходяться на відстані не більшій за дану від даної точки

(або постать, обмежена сферою).

Рівняння сфери.

M(x;y;z)-довільна точка, що належить сфері.

слід. MC= т.к. MC=R, то

якщо т.м не лежить на сфері, то MCR, тобто. координати точки М

отже, у прямокутній системі координат рівняння сфери радіуса R з центром C(x0;y0;z0;) має вигляд :

Взаємне розташування сфери та площини.

d – відстань від центру сфери до площини.

слід. C(0;0;d), тому сфера має рівняння

площина збігається з Оxy, тому її рівняння має вигляд z=0

Якщо т.м(x;y;z) задовольняє обох рівнянь, вона лежить й у площині й у сфері, тобто. є загальною точкою площини та сфери.

слід. можливі 3 рішення системи:

1) d 0

рівняння має б.м. рішень, перетин сфери та площини — коло C(0;0;0) та r^2=R^2 — d^2

2) d = R, x ^ 2 + y ^ 2 = 0, x = y = 0 слід. сфера перетинається площиною у точці О(0;0;0)

3) d>R, d^2>R^2 R^2 — d^2 < 0

x^2 + y^2 >=0 , x^2+y^2=R^2 — d^2 немає рішень

Дотична площина до сфери.

Площина, що має зі сферою лише одну загальну точку, називається дотичною площиною до сфери, а їх загальна точка називається точкою торкання площини та сфери.

Теорема:

Радіус сфери, проведений у точку торкання сфери та площини, перпендикулярний до дотичної площини.

Доказ:

Припустимо, що ОА не перпендикулярний площині, слід. ОА-похила до площини, слід. ОА > R , але т.а належить сфері, отримуємо протиріччя, слід. ОА перпендикулярний площині.

ч.т.д.

Теорема:

Якщо радіус сфери перпендикулярний до площини, що проходить через його кінець, що лежить на сфері, ця площина є дотичною до сфери.

Доказ:

З умови теореми випливає, що цей радіус є перпендикуляром, проведеним із центру сфери до цієї площини. Тому відстань від центру сфери до площини дорівнює радіусу сфери, і, отже, сфера та площина мають лише одну загальну точку. Це означає, що ця площина є дотичною до сфери.

ч.т.д.

Площа сфери:

Для визначення площі сфери скористаємося поняттям багатогранника. Багатогранник називається описаним біля сфери (кулі), якщо сфера стосується всіх його граней. При цьому сфера називається вписаною в багатогранник.

Нехай описаний біля сфери багатогранник має n-грані. Необмежено збільшуватимемо n таким чином, щоб найбільший розмір кожної грані прагнув до нуля. За площу сфери приймемо межу послідовності площ поверхонь, описаних біля сфери багатогранників при прагненні до нуля найбільшого розміру кожної грані. Можна довести, що ця межа існує, і отримати формулу для вичіснення площі сфери радіусу R :

S=4ПR^2

© Реферат плюс