Реферат — Розв’язання рівнянь, систем рівнянь, нерівностей графічно

Застосування графіків у розв’язанні рівнянь.

I)Графічне рішення квадратного рівняння:

Розглянемо наведене квадратне рівняння: x2+px+q=0;

Перепишемо так:x2=-px-q.(1)

Побудуємо графіки залежностей: y=x2 та y=-px-q.

Графік першої залежності нам відомий, це парабола; друга залежність-лінійна; її графік є прямою лінією. З рівняння (1) видно, що у тому випадку, коли х є його розв’язком, рдинати точок обох графіків рівні між собою. Значить, даному значенню х відповідає та сама точка як у параболі, і на прямий, тобто парабола і пряма перетинаються у точці з абцисою х.

Звідси наступний графічний спосіб розв’язання квадратного рівняння: креслимо параболу у = х2, креслимо (по точках) пряму у = -рх-q.

Якщо пряма та парабола перетинаються, то абциси точок перетину є корінням квадратного рівняння. Цей спосіб зручний, якщо не потрібна велика точність.

Приклади:

1.Вирішити рівняння:4×2-12x+7=0

Представимо його як x2=3x-7/4.

Побудуємо параболу y=x2 та пряму y=3x-7/4.

Малюнок 1.

Для побудови прямої можна взяти, наприклад, точки (0; -7 / 4) і (2; 17 / 4).

2. Розв’язати рівняння: x2-x+1=0.

Запишемо рівняння як: x2=x-1.

Побудувавши параболу у = х2 і пряму у = х-1, побачимо, що вони не перетинаються (рисунок 2), отже рівняння немає коріння.

Рисунок 2.

Перевіримо це. Обчислимо дискримінант:

D=(-1)2-4=-3<0,

А тому рівняння не має коріння.

3. Розв’язати рівняння: x2-2x+1=0

Рисунок 3.

Якщо акуратно накреслити параболу у = х2 і пряму у = 2х-1, то побачимо, що вони мають одну загальну точку (пряма стосується параболи, див. малюнок 3), х = 1, у = 1; рівняння має один корінь х = 1 (обов’язково перевірити це обчисленням).

II) Системи рівнянь.

Графіком рівняння з двома змінними називається безліч точок координатної площини, координати яких звертають рівняння у правильну рівність. Графіки рівнянь із двома змінними дуже різноманітні. Наприклад, графіком рівняння 2х+3у=15 є пряма, рівняння у=0.5х2 –2 –парабола, рівняння х2 +у2=4 – коло, тощо.

Ступінь цілого рівняння із двома змінними визначається так само, як і ступінь цілого рівняння з однією змінною. Якщо ліва частина рівняння з двома змінними є багаточленом стандартного виду, а права число 0, то ступінь рівняння вважають рівною мірою багаточлена. Для того щоб з’ясувати, який ступінь якогось рівняння з двома змінними, його замінюють рівносильним рівнянням, ліва частина якого – багаточлен стандартного виду, а права – нуль. Розглянемо графічний спосіб розв’язання.

Приклад1: розв’язати систему ⌠ x2 + y2 =25 (1)

⌠y=-x2+2x+5 (2)

Побудуємо в одній системі координат графіки рівнянь (Малюнок4):

Побудуємо в одній системі координат графи)

х2 +у2=25 і у=-х2+2х+5

Координати будь-якої точки побудованого кола є рішенням рівняння 1, а координати будь-якої точки параболи є рішенням рівняння 2. Отже, координати кожної з точок перетину кола та параболи задовольняють як першому рівнянню системи, так і другому, тобто. є рішенням аналізованої системи. Використовуючи малюнок, знаходимо наближені значення координат точок перетину графіків: А(-2,2; -4,5), В(0;5), С(2,2;4,5), D(4;-3). Отже, система рівнянь має чотири розв’язки:

х1≈-2,2, у1≈-4,5; х2≈0, у2≈5;

х3≈2,2, у3≈4,5; х4-4, у4-3.

Підставивши знайдені значення рівняння системи, можна переконатися, що друге і четверте з цих рішень є точними, а перше і третє – наближеними.

III) Тригонометричні рівняння:

Тригонометричні рівняння вирішують як аналітично, і графічно. Розглянемо графічний спосіб розв’язання з прикладу.

Рисунок5.

Приклад1: sinx+cosx=1. Побудуємо графіки функцій y=sinx u y=1-cosx.(рисунок 5)

З графіка видно, що рівняння має 2 розв’язки: х=2πп,де пЄZ та х=π/2+2πk,де kЄZ(Обов’язково перевірити це обчисленнями). Рисунок 6.

Приклад2:Вирішити рівняння:tg2x+tgx=0. Вирішуватимемо це рівняння за принципом вирішення попереднього. Спочатку побудуємо графіки(див. рисунок 6)функцій: y=tg2x uy=-tgx. За графіком видно, що рівняння має 2 розв’язки: х=πп, пЄZ ux=2πk/3, де kЄZ.(Перевірити це обчисленнями)

Застосування графіків у розв’язанні нерівностей.

1) Нерівності з модулем.

Приклад1.

Розв’язати нерівність | x-1 | + | x +1 | <4.

На інтегралі(-1;-∞) за визначенням модуля маємо |х-1|=-х+1,|х+1|=-х-1, і, отже, на цьому інтегралі нерівність дорівнює лінійній нерівності –2х<4 , Яке справедливо при х>-2. Таким чином, у безліч рішень входить інтеграл (-2; -1). [-1,1] вихідне нерівність рівносильне вірному числовому нерівності 2<4.Тому всі значення змінної, що належать цьому відрізку, входять у безліч рішень.

На інтегралі (1;+∞) знову отримуємо лінійну нерівність 2х<4, справедливу при х<2. Тому інтеграл (1; 2) також входить до множини рішень. Об'єднуючи отримані результати, робимо висновок: нерівності задовольняють всі значення змінної з інтеграла (-2; 2) і вони.

Однак той же результат можна отримати з наочних і в той же час строгих геометричних міркувань. На малюнку 7 побудовані графіки функцій: y=f(x)=|x-1|+|x+1| та y=4.

Рисунок 7.

На інтегралі (-2;2) графік функції y=f(x) розташований під графіком функції у=4, а це означає, що нерівність f(x)<4 справедлива. Відповідь: (-2; 2)

II) Нерівності з параметрами.

Вирішення нерівностей з одним або декількома параметрами являє собою, як правило, більш складну задачу в порівнянні з завданням, в якій параметри відсутні.

Наприклад, нерівність √а+х+√а-х>4, що містить параметр а, природно, вимагає, для свого вирішення набагато більше зусиль, ніж нерівність √1+х + √1-х>1.

Що означає вирішити першу з цих нерівностей? Це, по суті, означає вирішити не одну нерівність, а цілий клас, безліч нерівностей, які виходять, якщо надавати параметру а конкретні числові значення. Друге ж з виписаних нерівностей є окремим випадком першого, тому що виходить з нього при значенні а = 1.

Таким чином, розв’язати нерівність, що містить параметри, це означає визначити, при яких значеннях параметрів нерівність має розв’язання і для всіх значень параметрів знайти всі рішення.

Приклад1:

Розв’язати нерівність|х-а|+|х+а|0.

Для вирішення цієї нерівності з двома параметрами aub скористаємося геометричними міркуваннями. На малюнку 8 та 9 побудовані графіки функцій.

Y=f(x)=|xa|+|x+a| u y=b.

Вочевидь, що з b<=2|a| пряма y=b проходить не вище від горизонтального відрізка кривої y=|xa|+|x+a| і, отже, нерівність у разі немає решений (рисунок 8). Якщо ж b>2|a|, то пряма y=b перетинає графік функції y=f(x) у двох точках (-b/2;b) u (b/2;b)(рисунок 6) і нерівність у цьому у разі справедливо при –b/2

Відповідь:Якщо b<=2|a| , То рішень немає,

Якщо b>2|a|, то x €(-b/2;b/2).

III) Тригонометричні нерівності:

При розв’язанні нерівностей із тригонометричними функціями суттєво використовується періодичність цих функцій та їх монотонність на відповідних проміжках. Найпростіші тригонометричні нерівності. Функція sin x має позитивний період 2π. Тому нерівності виду: sin x>a, sin x>=a,

sin x

Достатньо вирішити спочатку на якомусь відрізку чдини 2π. Безліч всіх рішень отримаємо, додавши до кожного зі знайдених на цьому відрізку розв’язків числа 2πп, пЄZ.

Приклад 1: Розв’язати нерівність sin x>-1/2. (Рисунок 10)

Спочатку вирішимо цю нерівність на відрізку[-π/2;3π/2]. Розглянемо його ліву частину – відрізок
[-π/2;3π/2].Тут рівняння sin x=-1/2 має одне рішення х=-π/6; а функція sin x монотонно зростає. Отже, якщо –π/2<=x<= -π/6, то sin x<=sin(-π/6)=-1/2, тобто. ці значення х розв'язками нерівності є. Якщо ж –π/6<х<=π/2 то sin x>sin(-π/6) = –1/2. Всі ці значення не є рішеннями нерівності.

На відрізку, що залишився [π/2;3π/2] функція sin x монотонно зменшується і рівняння sin x = -1/2 має одне рішення х=7π/6. Отже, якщо π/2<=x<7π/, sin x>sin(7π/6)=-1/2, тобто. всі ці значення є рішеннями нерівності. Для x Є[7π/6;3π/2]
маємо sin x<= sin(7π/6)=-1/2, ці значення х рішеннями не є. Таким чином, безліч усіх розв'язків даної нерівності на відрізку [-π/2;3π/2] є інтеграл (-π/6; 7π/6).

З огляду на періодичність функції sin x з періодом 2π значення х з будь-якого інтеграла виду: (-π/6+2πn;7π/6 +2πn),nЄZ, також є рішеннями нерівності. Ніякі інші значення х розв’язками цієї нерівності не є.

Відповідь: -π/6+2πn

Рисунок 10.

© Реферат плюс