Бінарна алгебраїчна операція
Химия

Реферат — Пряма Ейлера — скачати безкоштовно


Реферат - Пряма Ейлера - скачати безкоштовно

Завантажити реферат: Пряма Ейлера

Зміст реферату

Вступ.
1. Розподіл відрізка у цьому відношенні.
2. Пряма Ейлера.
3. Медіани тетраедра.
4. Висоти тетраедра.
5. Пряма Ейлера тетраедра.
Використані джерела інформації.

Вступ

Властивості трикутника були добре вивчені ще давніми греками.

У знаменитих «Початках» Евкліда доводиться, що центром кола, описаного біля трикутника, є точка перетину серединних перпендикулярів для його сторонам.

Архімед, визначаючи положення центру тяжкості однорідної трикутної платівки, встановив, що він лежить на кожній із трьох медіан. Точку перетину медіан трикутника називають центром тяжіння або центроїдом трикутника.

Пізніше було доведено, що три висоти трикутника також перетинаються в одній точці, яка називається його ортоцентром.

Закономірність у розташуванні цих трьох чудових точок трикутника – центру О описаного кола, центроїду G, ортоцентру H – вперше виявив знаменитий математик Леонард Ейлер (1707–1783).

Реферат - Пряма Ейлера - скачати безкоштовно

Розглянемо спочатку один окремий випадок: прямокутний трикутник ABC (рис.1). Середина O гіпотенузи AB є центром описаного біля нього кола. Центроід G ділить медіану CO щодо 1:2, рахуючи від вершини C. Катети AC і BC є висотами трикутника, тому вершина C прямого кута збігається з ортоцентром H трикутника. Таким чином, точки O,G,H лежать на одній прямій, причому OH=3OG. Користуючись методом координат, Ейлер довів, що такий зв’язок існує між трьома зазначеними точками будь-якого трикутника. Ми доведемо цей факт за допомогою векторів.

1. Розподіл відрізка у цьому відношенні.

Нехай A,B,O – дані точки площини, і відомо, що

точка G ділить відрізок AB щодо k: ——- = k (рис.2).

Реферат - Пряма Ейлера - скачати безкоштовно

Виразимо вектор OG через вектори OA та OB. Для цього підставимо на рівність AG=k * GB вирази всіх векторів через OG, OA та OB: OG-OA=k(OB-OG). Вирішуючи це рівняння щодо OG, отримаємо:

Наприклад, якщо G — середина відрізка AB, то k = 1 і OG = — (OA + OB).

Теорема про перетин медіан трикутника в одній точці.

Тут ми попутно отримаємо одну векторну рівність, яка знадобиться нам надалі.

Теорема 1. Медіани трикутника АВС перетинаються в одній точці G і діляться нею щодо 2:1, рахуючи від вершини, причому

3PG=PA+PB+PC (2)

де P – будь-яка точка площини чи простору.

Доказ. Візьмемо на медіані CD трикутника ABC точку G, яка визначається співвідношенням |CG|:|GD|=2:1 (рис. 3).

Реферат - Пряма Ейлера - скачати безкоштовно

Обчислюючи вектор PG’ з кінцем у точці G’, що ділить будь-яку з двох інших медіан трикутника щодо 2:1 (вважаючи від вершини), ми отримаємо те саме вираз:

PG’= — (PA + PB + PC),

Тому PG’=PG, і точка G’ збігається з точкою G. Отже, всі три медіани трикутника перетинаються в одній точці G, що визначається співвідношенням (2).

Теорема про висоти довільного трикутника.

Теорема 2. Висоти трикутника АВС перетинаються в одній точці Н, причому

OH = OA + OB + OC, (3)

де О — центр кола описаного біля трикутника.

Доказ. Нехай АВС – трикутник, який відрізняється від прямокутного (рис.4).

Реферат - Пряма Ейлера - скачати безкоштовно

Знайдемо суму векторів OA та OB. Для цього побудуємо точку M, симетричну щодо сторони AB, тоді OM = OA + OB. Потім збудуємо точку Н, для якої

OH = OM + OC = OA + OB + OC,

і доведемо, що точка H є ортоцентр трикутника АВС.

Дійсно, за побудовою прямі CH і OM паралельні, OM – серединний перпендикуляр до відрізка АВ, отже, пряма СН також перпендикулярна до прямої AB і точка H лежить на висоті трикутника ABC, проведеної з вершини C.

Якщо повторити побудову, починаючи з векторів OA і OC, то вийде та сама точка H, але самі міркування показують, що тепер точка H лежить на висоті трикутника, проведеної з вершини B. Аналогічно отримаємо, що точка H лежить на висоті, проведеній з вершини A. Отже, висоти трикутника ABC перетинаються у точці H, яка визначається співвідношенням (3).

Легко перевірити, що теорема 2 справедлива і прямокутного трикутника.

2. Пряма Ейлера.

З доведених теорем 1 і 2 випливає властивість, що цікавить нас, чудових точок трикутника.

Теорема 3. Центр Про описаного кола, центроїд G та ортоцентр H будь-якого трикутника лежать на одній прямій, причому точка G лежить між точками О та Н та OG:GH = 1:2.

Доказ. По теоремі 1

3OG = OA + OB + OC.

Порівнюючи цю рівність з рівністю (3), отримаємо

OH = 3OG.

Отже, вектори OH та OG, що мають загальний початок O, розташовані на одній прямій та |OG| : | GH | = 1: 2.

Пряма, на якій лежать точки O, G та H, називається прямою Ейлера.

У стереометрії найпростіший багатогранник — тетраедр грає ту ж роль, що і трикутник у планіметрії. Властивості трикутника і тетраедра багато в чому схожі. Спробуємо поширити якість чудових точок трикутника на тетраедр.

Сфера, описана біля тетраедра.

Відомо, що у будь-якого тетраедра можна описати сферу, її центр O лежить на перпендикулярах до граней тетраедра, відновлених у центрах кіл, описаних біля граней.

3. Медіани тетраедра.

Відрізок, що сполучає вершину тетраедра з центроїдом протилежної грані, називається медіаною тетраедра. Властивості медіан тетраедра аналогічні до властивостей медіан трикутника.

Теорема 4. Чотири медіани тетраедра ABCD перетинаються в одній точці G, яка ділить кожну з них щодо 3:1, рахуючи від вершини тетраедра, причому

4PG = PA + PB + PC + PD, (4)

де P – будь-яка точка простору.

Реферат - Пряма Ейлера - скачати безкоштовно

Доказ. Візьмемо на медіані DG’тетраедра ABCD точку G, що визначається співвідношенням DG:GG’ = 3:1 (рис 5). Відповідно до формули (1),

Враховуючи, що центроїд G’ трикутника ABC задовольняє співвідношенню 3PG = PA + PB + PC, отримаємо

PG = — (PA + PB + PC + PD).

Обчислюючи вектор PG» з кінцем у точці G», ділить будь-яку з трьох інших медіан тетраедра щодо 3 : 1 (вважаючи від вершини), отримаємо те саме вираз. І це означає, що це чотири медіани тетраедра перетинаються у одній точці G, задовольняє співвідношенню (4). Точка G називається

центром тяжіння (або центроїдом) тетраедра.

4. Висоти тетраедра.

Висоти трикутника завжди перетинаються в одній точці. За аналогією можна припустити, що висоти будь-якого тетраедра також перетинаються в одній точці. Однак, це не так.

Реферат - Пряма Ейлера - скачати безкоштовно

Для прикладу розглянемо тетраедр ABCD із прямим двогранним кутом при ребрі AB, у якому AC = BC, але AD = BD (рис. 6). Висоти CE та DF тетраедра лежать відповідно у гранях ABC та ABD, але точка E – середина AB, а F – ні. Якби довжини ребер DA і DB дорівнювали, то підстави E і F збігалися б, але дві інші висоти тетраедра не можуть проходити через точку E.

Таким чином, навіть дві висоти тетраедра можуть не мати загальної точки.

Тим не менш, існують і тетраедри, всі чотири висоти яких перетинаються в одній точці. Таким буде, наприклад, тетраедр ABCD із прямими плоскими кутами при вершині D. Ребра DA, DB і DC є його висотами, а вершина D – ортоцентр (точкою перетину всіх чотирьох висот).

Спробуємо знайти всі тетраедри, у яких висоти перетинаються в одній точці.

Реферат - Пряма Ейлера - скачати безкоштовно

Нехай висоти тетраедра ABCD, проведені з вершин C та D, перетинаються у точці H (рис. 7). Тоді CH’__AB та DH»__AB, тобто. пряма AB перпендикулярна до двох прямих, що перетинаються, лежать у площині CDH, отже, AB__BC. Аналогічно доводиться, що якщо дві інші висоти тетраедра ABCD проходять через ту саму точку H, то AC__BD і AD__BC. Отже, якщо всі висоти тетраедра перетинаються в одній точці, протилежні ребра тетраедра взаємно перпендикулярні. Такий тетраедр називається ортоцентричним.

Теорема 5. Чотири висоти ортоцентричного тетраедра ABCD перетинається в одній точці H, причому якщо O – центр сфери, описаної біля тетраедра, то

OH = —(OA + OB + OC + OD). (5)

Реферат - Пряма Ейлера - скачати безкоштовно

Доказ. Нехай ABCD – ортоцентричний тетраедр, DG’ – його медіана, DH’ – його висота (рис.8). Тоді G’ центроїд, а H’- ортоцентр трикутника ABC, причому точки O'(центр кола, описаного біля трикутника ABC), G’ і H’ лежать на одній прямій. Зауважимо, що центр сфери O, описаної біля тетраедра ABCD, лежить на перпендикулярі до площини трикутника ABC, відновленому в точці O ‘.

Будемо доводити теорему тим самим способом, що й теорему 2 для трикутника: будувати різними способами точку H, яка відповідає співвідношенню (5).

Спочатку складемо вектори OA, OB та OC:

OM=OA+OB+OC.

По теоремі 1

OG’ = — (OA + OB + OC),

тому

OM = 3OG’

або G’M = 2OG’. Точки O’,G’,H’, лежать на прямій Ейлера трикутника ABC, причому H’G’ = 2G’O’. Отже,

H’M=H’G’+G’M’=2(G’O’+OG’)=2(OG’+G’O’)=2OO’.

Звідси випливає, що прямі H’M і OO’ паралельні, оскільки пряма OO’ перпендикулярна до площині ABC, те й пряма H’M перпендикулярна до цієї площині. Отже, точка M’ лежить на прямий DH’ (якщо точки O і O’ збігаються, то точки M і H’ теж збігаються).

Нехай тепер

OH= — (OM+OD)= —(OA+OB+OC+OD).

З лівого рівності слід, що точка H є серединою відрізка DM, тобто. точка H лежить на DH тетраедра.

Аналогічно будується точка N: ON = OA + OB + OD та та сама точка H: OH = — (ON + OC) і доводиться, що точка H лежить на висоті тетраедра, проведеної з вершини C, і т.д.

Отже, висоти ортоцентричного тетраедра перетинаються в одній точці H, що визначається співвідношенням (5).

5. Пряма Ейлера тетраедра.

Теорема 6. Центр Про описаної сфери, центроїд G і ​​ортоцентр Н ортоцентричного тетраедра ABCD лежать на одній прямій, причому точки і Н симетричні щодо точки G.

Доказ. За формулами (4) та (5)

OH= — (OA + OB + OC + OD),

OG = — (OA + OB + OC + OD),

звідки OH=2OG. Отримана рівність означає, що точки O, G, H лежать на одній прямій, причому точки і Н симетричні щодо точки G.

Пряму, на якій лежать точки O, G, H, можна назвати прямою Ейлера ортоцентричного тетраедра.

У даному рефераті зібраний матеріал необхідний для виявлення прямої Ейлера та прямої Ейлера тетраедра.

Використані джерела інформації:

  1. «Пряма Ейлера» (Е. Готман).
  2. Міжнародна інформаційна мережа Internet
  3. (URL: http://www.referat.ru; http://dlc.miem.edu.ru/referat).

© Реферат плюс



Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *