Бінарна алгебраїчна операція
Химия

Реферат — Перетворення фігур — скачати безкоштовно


Реферат - Перетворення фігур - скачати безкоштовно

Завантажити реферат: Перетворення фігур

I. Перетворення — усунення кожної точки даної фігури якимось чином, і отримання нової фігури.

ІІ. Види перетворення на просторі: подоба, гомотетія, рух.

Подібність

Перетворення фігури F називається перетворенням подібності, якщо при цьому перетворенні відстані між точками змінюються в один і той самий число разів, тобто. для будь-яких точок X та Y фігури F та точок X’, Y’ фігури F’, в які він переходять, X’Y’ = k * XY.

Властивості подоби: 1. Подібність переводить прямі у прямі, напівпрямі – у напівпрямі, відрізки – у відрізки.

2. Подібність зберігає кути між напівпрямими

Подібність перекладає площини у площині.

Дві фігури називаються подібними, якщо вони переводяться одна в іншу перетворенням подібності.

Гомотетія

Гомотетія – найпростіше перетворення щодо центру O з коефіцієнтом гомотетії k. Це перетворення, яке переводить довільну точку X’ променя OX, таку, що OX’ = k * OX.

Властивість гомотетії: 1. Перетворенням гомотетії переводить будь-яку площину, що не проходить через центр гомотетії, в паралельну площину (або при k=1).

Доказ. Справді, нехай O – центр гомотетії та a — будь-яка площина, яка не проходить через точку O. Візьмемо будь-яку пряму AB у площині a. Перетворення гомотетії переводить точку A на точку A’ на промені OA, а точку B на точку B’ на промені OB, причому OA’/OA = k, OB’/OB = k, де k – коефіцієнт гомотетії. Звідси випливає подібність трикутників AOB і A’OB’. З подоби трикутників випливає рівність відповідних кутів OAB і OA’B’, отже, паралельність прямих AB і A’B’. Візьмемо тепер іншу пряму AC у площині a. Вона при гомотетії перейде паралельну пряму A’C’. При аналізованої гомотетії площину aперейде в площину a’, що проходить через прямі A’B’, A’C’. Оскільки A’B’||AB і A’C’||AC, то по теоремі про дві прямі однієї площини, що перетинаються, відповідно паралельними з перетинаючими прямими іншої площини, площини a і a’ паралельні, що й вимагалося довести.

Рух

Рухом — перетворення однієї постаті на іншу якщо вона зберігає відстань між точками, тобто. перекладає будь-які дві точки X та Y однієї фігури в точки X , Y іншої фігури так, що XY = XY

Властивості руху: 1. Точки, що лежать на прямій, під час руху переходять у точки, що лежать на прямій, і зберігається порядок їхнього взаємного розташування. Це означає, що якщо A, B, C, що лежать на прямій, переходять до точок A1,B1,C1. То ці крапки також лежать на прямій; якщо точка B лежить між точками A та C, то точка B1 лежить між точками A1 та C1.

Доказ. Нехай точка B прямої AC лежить між точками A та C. Доведемо, що точки A1, B1, C1 лежать на одній прямій.

Якщо точка A1, B1, C1 не лежать на прямій, то є вершинами трикутника. Тому A1C1 < A1B1 + B1C1. За визначенням руху звідси випливає, що AC

Ми дійшли суперечності. Отже, точка B1 лежить на прямій A1C1. Перше твердження теореми підтверджено.

Покажемо тепер, що точка B1 лежить між A1 та C1. Допустимо, що точка A1 лежить між точками B1 та C1. Тоді A1B1 + A1C1 = B1C1 і, отже, AB+AC=BC. Але це суперечить нерівності AB+BC=AC. Таким чином, точка A1 не може лежати між точками B1 та C1.

Аналогічно доводимо, що точка C1 не може лежати між точками A1 та B1.

1. Оскільки три точки A1,B1,C1 одна лежить між двома іншими, то цією точкою може бути тільки B1. Теорему доведено повністю.

2. Під час руху прямі переходять у прямі, напівпрямі – у напівпрямі, відрізки – у відрізки

3. Під час руху зберігаються кути між напівпрямими.

Доказ. Нехай AB і AC – дві напівпрямі, що виходять із точки A, що не лежать на тій прямій. Під час руху ці напівпрямі переходять у деякі напівпрямі A1B1 та A1C1. Оскільки рух зберігає відстань, то трикутники ABC і A1B1C1 дорівнюють за третьою ознакою рівності трикутників. З рівності трикутників випливає рівність кутів BAC і B1A1C1, що потрібно було довести.

4. Рух переводить площину на площину.

Доведемо цю властивість. Нехай a – довільна площина. Відзначимо на ній будь-які три точки A, B, C, що не лежать на одній прямій. Проведемо крізь них площину a’.

Доведемо, що з розглянутому русі площину a перетворюється на площину a’.

Реферат - Перетворення фігур - скачати безкоштовно

Нехай X – довільна точка площини a. проведемо через неї якусь пряму a в площині a, що перетинає трикутник ABXC у двох точках Y і Z. Пряма а перейде під час руху в деяку пряму a’. Точки Y і Z прямий a перейдуть у точки Y’ і Z’, що належать трикутнику A’B’C’, отже, площині a’.

Отже, пряма a’ лежить у площині a’. Точка X під час руху перетворюється на точку X’ прямий a’, отже, і площині a’, як і вимагалося довести.

У просторі, як і на площині, дві фігури називаються рівними, якщо вони поєднуються рухом.

ІІІ. Види руху: симетрія щодо точки, симетрія щодо прямої, симетрія щодо площини, поворот, рух, паралельне перенесення.

Симетрія щодо точки

Реферат - Перетворення фігур - скачати безкоштовно

Нехай О — фіксована точка та X — довільна точка площини. Відкладемо на продовженні відрізка OX за точку O відрізок OX, що дорівнює OX. Точка X’ називається симетричною точкою X щодо точки O. Точка, симетрична точці O, є сама точка O. Очевидно, що точка, симетрична точці X’, є точка X.

Перетворення фігури F у фігуру F’, у якому кожна її точка X перетворюється на точку X’, симетричну щодо даної точці O, називається перетворенням симетрії щодо точки O. У своїй фігури F і F’ називаються симетричними щодо точки O.

Реферат - Перетворення фігур - скачати безкоштовно

Якщо перетворення симетрії щодо точки O переводить фігуру F у себе, вона називається центрально-симетричною, а точка O називається центром симетрії.

Наприклад, паралелограм є центрально-симетричною фігурою. Його центром симетрії є точка перетину діагоналей.

Теорема: Перетворення симетрії щодо точки є рухом.

Доказ. Нехай X та Y — дві довільні точки фігури F. Перетворення симетрії щодо точки O переводить їх у точки X’ та Y’. Розглянемо трикутники XOY та X’OY’. Ці трикутники рівні за першою ознакою рівності трикутника. Вони кути при вершині O рівні як вертикальні, а OX=OX’, OY=OY’ за визначенням симетрії щодо точки O. З рівності трикутників випливає рівність сторін: XY=X’Y’. Отже, симетрія щодо точки O є рух. Теорему доведено.

Симетрія щодо прямої

Нехай g – фіксована пряма. Візьмемо довільну точку X та опустимо перпендикуляр AX н пряму g. На продовженні перпендикуляра за точку A відкладемо відрізок AX’, який дорівнює відрізку AX. Точка X’ називається симетричною точкою X щодо прямої g. Якщо точка X лежить на прямий g, то симетрична точка є сама точка X. Очевидно, що точка, симетрична точці X ‘, є точка X.

Реферат - Перетворення фігур - скачати безкоштовно

Перетворення фігури F у фігуру F’, у якому кожна її точка X перетворюється на точку X’, симетричну щодо даної прямий g, називається перетворенням симетрії щодо прямий g. При цьому фігури F та F’ називаються симетричними щодо прямої g.

Якщо перетворення симетрії щодо прямої g переводить фігуру F у себе, то ця фігура називається симетричною щодо прямої g, а пряма g називається віссю симетрії фігури.

Наприклад, прямі, що проходять через точку перетину діагоналей прямокутника паралельно його сторонам є осями симетрії прямокутника. Прямі, на яких лежать діагоналі ромба, є його осями симетрії.

Теорема: Перетворення симетрії щодо прямої є рухом.

Реферат - Перетворення фігур - скачати безкоштовно

Доказ. Приймемо цю пряму вісь у декартової системи координат. Нехай довільна точка A (x; y) фігури F перетворюється на точку A’ (x’; y’) фігури F’. З визначення симетрії щодо прямої слід, що з точок A і A’ рівні ординати, а абсциссы відрізняються лише знаком: x’ = -x.

Візьмемо дві довільні точки A(x; y) і B (x; y). Вони перейдуть у точки A'(-x;y) та B'(-x;y).

Маємо:

AB2=(x2-x1)2+(y2-y1)2

A’B’2=(-x2+ x1) 2+(y2-y1)2

Звідси видно, що AB=A’B’. Отже, перетворення симетрії щодо прямої є рух. Теорему доведено.

Симетрія щодо площини

Нехай a – довільна фіксована площина. З точки X фігури опускаємо перпендикуляр XA на площину a і його продовженні за точку A відкладаємо відрізок AX’, рівний XA. Точка X’ називається симетричною точкою X щодо площини a, а перетворення, яке переводить X в симетричну їй точку X’, називається перетворенням симетрії щодо площини a.

Якщо точка X лежить у площині a, то вважається, що точка X перетворюється на. Якщо перетворення симетрії щодо площини a переводить фігуру у собі, то фігура називається симетричною щодо площини a, а площину a називається площиною симетрії цієї фігури.

Поворот

Реферат - Перетворення фігур - скачати безкоштовно

Поворот площини біля даної точки називається такий рух, при якому кожен промінь, що виходить з точки, повертається на той самий кут в тому самому напрямку.

Це означає, що й якщо поворот навколо точки O точка перетворюється на точку X’, то промені OX і OX’ утворюють той самий кут, якою була точка X. Цей кут називається кутом поворота. Перетворення фігур при повороті площини називається поворотом.

Паралельне перенесення у просторі

Паралельним переносом у просторі називається таке перетворення, у якому довільна точка (x; y; z) фігури перетворюється на точку (x+a; y+b; z+c), де числа a,b,c одні й самі для всіх точок (x; y; z). Паралельний переносів просторі задається формулами

x’=x+a, y’=y+b, z’=z+c,

що виражають координати x’, y’, z’ точки, в яку переходить точка (x; y; z) при паралельному перенесенні. Так само, як і на площині, доводяться такі властивості паралельного перенесення:

1. Паралельні перенесення є рухом.

2. При паралельному перенесенні точки зміщуються по паралельним (або збігаються) прямим на те саме відстань.

3. При паралельному перенесенні кожна пряма перетворюється на паралельну їй пряму (чи у собі).

4. Якими б не були точки A та A’, існує єдиний паралельний перенесення, при якому точка A переходить у точку A’.

Новим для паралельного перенесення у просторі є така властивість:

5. При паралельному перенесенні у просторі кожна площина перетворюється або на себе, або на паралельну її площину.

Реферат - Перетворення фігур - скачати безкоштовно

Дійсно, нехай a — довільна площина, проведемо в цій площині дві прямі, що перетинаються, a і b. При паралельному перенесенні прямі a і b переходять або в себе, або паралельні прямі a’ і b’. Площина a перетворюється на деяку площину a’, що проходить через прямі a’ і b’. Якщо площина a’ не збігається з a, то по теоремі про дві прямі однієї площини, що перетинаються, відповідно паралельними з пересічними прямими іншої площини, вона паралельна a, що й вимагалося довести.

Список використаної литературы:

1. Підручник Геометрії 7-11 класів. А.В. Погорєлов

2. Підручник Геометрії 10–11 класи. А.Д. Олександрів.

© Реферат плюс



Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *