Бінарна алгебраїчна операція
Химия

Реферат — Неевклідові простори — скачати безкоштовно


Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно

Завантажити реферат: Неевклідові простори

Зміст реферату

Вступ

1. Безліч
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно та відстань у ньому

2. Відкриті та замкнуті множини в
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно

3. Сфера
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно

4. Деякі властивості сфери
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно

Список використаних джерел

Вступ

Багато величин, що представляють інтерес, залежать не від одного, а від дуже багатьох факторів, і якщо сама величина і кожен із визначальних його факторів можуть бути охарактеризовані деяким числом, то зазначена залежність зводиться до того, що впорядкований набір
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно чисел, кожне з яких описує стан відповідного фактора, стає у відповідність до значення
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно досліджуваної величини, яке вона набуває у цьому стані визначальних величину чинників.

Наприклад, площа прямокутника є добутком довжин його сторін; обсяг даної кількості газу обчислюється за формулою

Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно,

де
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно — Постійна,
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно — Маса,
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно — Абсолютна температура і
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно — Тиск газу. Таким чином, значення
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно залежить від змінної впорядкованої трійки чисел
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно або, як кажуть
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно є функція трьох змінних
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно.

Ми ставимо собі за мету навчитися досліджувати функції багатьох змінних так само, як ми навчилися досліджувати функції одного змінного.

Як і у випадку функції одного змінного, вивчення функції багатьох числових змінних починається з опису їхньої області визначення.

1. Безліч
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно та відстань у ньому.

Умовимося через
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно позначати безліч усіх упорядкованих наборів
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно, що складаються з
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно дійсних чисел
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно.

Кожен такий набір позначатимемо однією літерою
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно і відповідно до зручної геометричної термінології називати точкою множини
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно.

Число
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно у наборі
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно називають
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно-й координатою точки
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно.

Геометричні аналогії можна продовжити і ввести на безлічі
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно відстань між точками
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно,
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно за формулою

Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно (1)

Функція

Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно,

визначається формулою (1), очевидно, має наступні властивості:

Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно;

Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно;

Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно;

Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно.

Остання нерівність (звана знов-таки за геометричною аналогією нерівністю трикутника) є окремим випадком нерівності Мінковського.

Функцію, визначену на парах
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно точок деякої множини
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно і володіє властивостями a), b), c), d), називають метрикою або відстанню в
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно.

Безліч
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно разом із фіксованою у ньому метрикою називають метричним простором.

Таким чином, ми перетворили
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно у метричний простір, наділивши
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно метрикою, заданою співвідношенням (1).

З співвідношення (1) випливає, що за
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно

Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно (2)

тобто відстань між точками
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно мало в тому і лише в тому випадку, коли мало відрізняються відповідні координати цих точок.

З (2), як і з (1), видно, що при
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно безліч
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно збігається з безліччю дійсних чисел, відстань між точками якого вимірюється стандартним чином за допомогою модуля різниці чисел.

2. Відкриті та замкнуті множини в
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно

Визначення 1. При
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно безліч

Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно

називається кулею з центром
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно радіусу
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно або також
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно-навколо точки
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно.

Визначення 2. Безліч
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно називається відкритим у
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовноякщо для будь-якої точки
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно знайдеться куля
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно такий, що
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно.

приклад 1.
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно — Відкрите безліч в
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно.

приклад 2.
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно — Порожня безліч — взагалі не містить точок і тому може вважатися таким, що задовольняє визначенню 2, тобто.
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно — Відкрите безліч в
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно.

Приклад 3. Куля
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно — Відкрите безліч в
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно.

Справді, якщо
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно, тобто.
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно, то при
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно буде
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно, оскільки

Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно.

Приклад 4. Безліч
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно, Т. е. сукупність точок, віддалених від фіксованої точки
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно на відстань більше ніж
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно є відкритим, що, як і прикладі 3, легко перевірити, використовуючи нерівність трикутника для метрики.

Визначення 3. Безліч
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно називається замкнутим у
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно, якщо його доповнення
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно в
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно є безліччю, відкритим в
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно.

Приклад 5. Безліч
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно, Т. е. сукупність точок, віддалених від фіксованої точки
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно не більше ніж на
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно, є замкнутим, що випливає з визначення 3 і 4 прикладу.
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно називають замкнутою кулею з центром
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно радіусу
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно.

3. Сфера
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно

Сфера – безліч
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно точок
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно евклідова простору
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно, що знаходяться від деякої точки
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно(центр сфери) на постійній відстані
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно(Радіус сфери), тобто.

Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно.

Сфера
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно— пара точок, сфера
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно– це коло, сферу
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно при
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно іноді називають гіперсферою. Обсяг сфери
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно(довжина при
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно, поверхня при
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно) обчислюється за формулою

Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно,

зокрема,

Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно,
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно,
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно,
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно.

Рівняння сфери
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно у декартових прямокутних координатах
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно має вид

Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно

(тут
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно,
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно,
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно, – координати
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно,
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно відповідно), тобто Сфера — (гіпер)квадрика, або поверхня другого порядку спеціального виду.

Положення будь-якої точки у просторі щодо сфери характеризується ступенем точки. Сукупність всіх сфер, щодо яких ця точка має однакову міру, становить мережу сфери. Сукупність всіх сфер, щодо яких точки деякої прямої (радикальної осі) мають однакову міру (різну для різних точок), становить пучок сфери.

4. Деякі властивості сфери
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно

З погляду диференціальної геометрії, сфера
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно — рімановий простір, що має постійну (гаусову при
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно і ріманову при
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно) кривизну
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно. Усі геодезичні лінії сфери замкнуті та мають постійну довжину
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно — це так звані великі кола, тобто перетину з
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно двомірних площин в
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно, що проходять через її центр. Зовнішньогеометричні властивості
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно: всі нормалі перетинаються в одній точці, кривизна будь-якого нормального перерізу одна і та ж і не залежить від точки, в якій воно розглядається, зокрема має постійну середню кривизну, причому повна середня кривизна сфери – найменша серед опуклих поверхонь однакової площі, всі точки сфери омбілічні.

Деякі з таких властивостей, прийняті за основні, стали відправною точкою для узагальнення поняття сфери. Так, наприклад, афінна сфера визначається тим, що всі її (афінні) нормалі перетинаються в одній точці; псевдосфера – поверхня в
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно постійної гаусової кривизни (але вже негативної); одна з інтерпретацій орисфери (граничної сфери) – безліч точок усередині
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно, що визначається рівнянням також другого порядку

Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно.

На сферу
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно двічі транзитивно діє ортогональна група
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно простору
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно (2 – транзитивність означає, що з будь-яких двох пар точок, з рівними відстанями, існує обертання – елемент
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно, Що переводить одну пару в іншу); нарешті, сфера є однорідним простором:
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно.

З погляду (диференціальної) топології, сфера
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно – замкнуте диференційоване різноманіття, що розділяє
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно на дві області та є їх спільним кордоном; при цьому обмежена область, гомеоморфна
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно – це (відкритий) куля, отже сферу можна визначити як її межу.

Групи гомологій сфери
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно,
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно:

Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно

зокрема
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно не стягується в точку сама по собі, тобто тотожне відображення
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно у собі суттєво.

Групи гомотет сфери
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно,
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно:

Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно

Наприклад,
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно,
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно при
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно. У загальному випадку – для будь-яких
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно і
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно,
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно, групи
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно не обчислені.

І тут поняття «сфера» отримує узагальнення. Наприклад, дика сфера – топологічна сфера
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно, що не обмежує області, гомеоморфної
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно; Мілнора сфера (екзотична сфера) – різноманіття, гомеоморфне, але не диффеоморфне
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно.

Топологічний простір, гомеоморфний сфері, називається топологічною сферою. Одним із основних тут є питання про умови того, що деякий простір є топологічною сферою.

приклади.

а) Інваріантна топологічна характеристика сфери
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно при
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно не відома. Про випадок
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовнодив. Одновимірне різноманіття. Для того, щоб континуум був гомеоморфен сфері
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно, необхідно і достатньо, щоб він був локально пов’язаний, містив хоча б одну просту замкнуту лінію і щоб будь-яка така лінія, що лежить на ньому, розбивала його на дві області, що мають цю лінію своїм загальним кордоном (теорема Уайлдера).

б) Повне однозв’язне ріманове простір розмірності
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно кривизна
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно якого для всіх дотичних двомірних площин
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно – обмежена
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно, тобто.
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно гомеоморфно
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно (Теорема про сферу).

в) Однозв’язне замкнене гладке різноманіття, (цілі) гомології якого збігаються з гомологіями
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно при
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно (при
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно — Невідомо). Якщо
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно, то воно також і гомеоморфне
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно, при
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно гіпотеза залишається, при
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно диффеоморфізм немає місця.

Абсолютно аналогічно визначається сфера
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно у метричному просторі
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно. Однак ця множина, взагалі кажучи, може бути влаштована досить складно (або може бути порожньою).

У нормованому просторі
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно з нормою
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно сферою називається безліч
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно: це, по суті, довільна, взагалі кажучи, нескінченномірна опукла (гіпер)поверхня, яка не завжди володіє, наприклад, гладкістю, округлістю тощо корисними властивостями звичайної сфери. Один з варіантів, що застосовуються в топології, — тек звана нескінченномірна сфера — строга індуктивна межа
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно послідовності вкладених сфер:

Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно

інше визначення:
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно, де
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно — Безкінемірне різноманіття Штифеля. Для будь-кого
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно виявляється, що
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно.

Програми поняття сфера надзвичайно різноманітні. Наприклад, сфери беруть участь у конструкціях нових просторів або додаткових структур на них. Так, наприклад, проектні простори
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовноРеферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно можна інтерпретувати як сферу
Реферат - Неевклідові простори - скачати безкоштовно з ототожненими діаметрально протилежними точками; сфера з ручками та дірками використовуються в теорії ручок.

Список використаних джерел

  1. Буземан Р., Геометрія геодезичних. — М., 1962.
  2. Зорич В. А. Математичний аналіз. Ч.1. — М: Наука, Головна редакція фізико-математичної літератури, 1981.
  3. Розенфельд Би. А., Багатомірні простори. М., 1966.
  4. Розенфельд Б. А., Неевклідові простори. М., 1969.

© Реферат плюс



Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *