Реферат — Інтеграл Пуассона — скачати безкоштовно

Нехай | ( x ) , g ( x ) , x О R 1-сумуються на [ — p , p
] , 2 p – періодичні, комплекснозначні функції. Через f * g(x) позначатимемо згортку

f * g(x) =
dt

З теореми Фубіні легко випливає, що згортка сумованих функцій також сумується на [ — p , p ] і

cn ( f * g ) = cn ( f ) C cn ( g ) , n = 0 , ± 1 , ± 2 , … ( 1 )

де {cn(f)} — коефіцієнти Фур’є функції f(x):

cn =
— int dt , n = 0, ± 1 , ± 2 ,

Нехай О L 1 (- p , p ) . Розглянемо за 0 Ј r < 1 функцію

r (x) =
n(f) r | n | einx , x Про [ — p , p
] , ( 2 )

де ряд у правій частині рівності (2) сходиться рівномірно по х для будь-якого фіксованого r 0 0 r < 1 . Коефіцієнти Фур'є функції r (х) рівні

cn(fr) = cn Ч r | n | , n = 0 , ± 1 , ± 2 , ј , а це відповідно до (1) означає, що r ( x ) можна представити у вигляді згортки :

r (x) =
, ( 3 )

де

, t Про [ — p , p ] . ( 4 )

Функція двох змінних Р r
p ] , називається ядром Пуассона , а інтеграл (3) — інтегралом Пуассона

Отже,

P r
, 0 ? r < 1 , t [ - p , p ] . ( 5 )

Якщо О L 1 ( — p , p ) — дійсна функція , то , враховуючи , що

c -n ( f ) = ` cn ( f ) , n = 0 , ± 1 , ± 2 , з співвідношення (2) ми отримаємо :

fr(x) =

=
, ( 6 )

де

F ( z ) = c 0 ( f ) + 2
( z = re ix ) ( 7 )

аналітична в одиничному колі функція. Рівність (6) показує, що для будь-якої дійсної функції О L 1 ( — p , p ) інтегралом Пуассона (3) визначається гармонійна в одиничному колі функція

u ( z ) = r ( e ix ) , z = re ix , 0 r < 1 , x О [ - p , p ]

При цьому гармонійно пов’язана з u(z) функція v(z) cv(0) = 0 задається формулою

v (z) = Im F (z) =
. ( 8 )

Твердження1

Нехай u(z) — гармонійна (або аналітична) у колі | z | < 1 + e ( e > 0 ) функція і ( x ) = u ( e ix ) , x О [ — p , p ] . Тоді

u(z) =
( z = re ix , | z | < 1 ) ( 10 )

Оскільки ядро ​​Пуассона P r

=
, | z | <1+e

Але тоді

і рівність (10) відразу випливає з (2) та (3)

Перш ніж перейти до вивчення поведінки функції r (x) при r 1, відзначимо деякі властивості ядра Пуассона:

а)
;

б)
;

в) для будь-якого d>0

Співвідношення а) і в) відразу випливають із формули (5), а для доказу б) достатньо покласти в (2) і (3) (х) є 1 .

Теорема 1

Для довільної (комплекснозначної) функції
( — p , p ) , 1 Ј p < Ґ , має місце рівність

;

якщо ж | (x) безперервна на [ — p , p ] і (-p) = (p), то

Доказ

В силу (3) та властивості б) ядра Пуассона

( 12 )

Для будь-якої функції
, користуючись нерівністю Гельдера та позитивністю ядра Пуассона , знаходимо

Отже,

Для цього e > 0 знайдемо d = d ( e ) таке, що
. Тоді для r досить близьких до одиниці, ми отримаємо оцінку

Аналогічно друга нерівність випливає з нерівності

Теорема 1 доведено

Дамо визначення понять «максимальна функція» та «оператор слабкого типу», які знадобляться нам у ході доказу наступної теореми

Визначення1

Нехай функція
сумується на будь-якому інтервалі (-А, А), А > 0 . Максимальною функцією для функції
називається функція

де супремум береться за всіма інтервалами I , що містять точку х

Визначення 2

Оператор
називається оператором слабкого типу (р, р), якщо для будь-якого y > 0

Теорема 2 (Фату)

Нехай
— комплекснозначна функція з
. Тоді

для п.в.

Доказ

Покажемо, що для
і

, ( 13 )

де З — абсолютна константа, а M (f, x) — максимальна функція для f (x). Для цієї мети використовуємо легко виведену з (5) оцінку

(К — абсолютна константа)

Нехай
— таке число, що

Тоді для

Нерівність (13) підтверджено. Використовуючи слабкий тип (1,1) оператора
, знайдемо таку послідовність функцій
,що

,

( 14 )

для п.в.

Відповідно до (13) при x О (-2 p , 2 p )

Враховуючи , що за теоремою
для кожного x [- p , p ] та (14)

З останньої оцінки отримаємо

при n ® Ґ

Теорема 2 доведено

Зауваження

Використовуючи замість (13) сильнішу нерівність (59), яку ми доведемо пізніше, можна показати, що для п.в. x Про [- p , p ]
, коли точка re it прагне e ix по неналежному до кола
шляхи

Ми вважаємо, що f(x) продовжена із збереженням періодичності на відрізок [ — 2 p , 2 p ] (Тобто.
f(x) = f(y) , якщо x,y [-2 p ,2 p ] і xy = 2 p) і f (x) = 0, якщо | x | > 2 p

© Реферат плюс