Реферат — Групи перетворень — завантажити безкоштовно

Переміщення

Нехай X — безліч усіх точок прямої
, площині
або тривимірного простору
. Позначимо через d(P, Q) відстань між точками P та Q множини X. Відображення f: XX f(P) = P називається переміщенням, якщо для всіх P та Q d(P, Q) = d(P, Q).

Приклади

Нехай у
обрана права декартова прямокутна система координат (x, y) з початком О. Поворот
площині на кут j навколо точки Задається формулами R =
R. Тут R =
, R =
. Очевидно, поворот є рухом площини. Відмітимо, що
(О) = О, тобто точка О залишається нерухомою при повороті. Аналогічно в
можна розглянути поворот
на кут j навколо осі, заданої одиничним вектором v і точкою О. Легко перевірити, що це переміщення визначається формулою: R = R cos j + (R ` v) sin j + v (1 — cos j) (R xv). Усі точки осі повороту є нерухомими.

Переміщенням буде і паралельне перенесення
на вектор v Очевидно, що R = R + v. Нерухомих точок перенесення немає.

Нехай l — деяка пряма в
. Дзеркальне відображення
щодо цієї прямої є переміщенням. Якщо у декартовій прямокутній системі координат рівняння прямої має вигляд y = tg (j/2) x, то відображення задається формулою: R =
R. Аналогічно, якщо p — деяка площина
, то відображення
щодо цієї поверхні буде переміщенням. Якщо n — одиничний вектор нормалі до площини p, що проходить через початок координат, R = R — 2(R xn) n.

Перенесення та відображення (приклади 2 і 3) можна розглядати і в
.

Композиція U * V (послідовне виконання) двох переміщень U і V знову буде переміщенням: (U * V) (P) = U (V (P)). Наприклад,
=
*
= I — тотожне переміщення.

Зв’язок із лінійними операторами

Теорема 1

Нехай f: XX — переміщення A, B, C, D точки X, f(A) = A тощо. Якщо AB = CD (як вільні вектори), то AB = CD.

Доказ

Досить перевірити, що за умов теореми чотирикутник ABDC є паралелограмом. Нехай О — точка перетину діагоналей AD та BC. Приналежність точки Про відрізку АD рівносильно рівності: d(A, O) + d(O, D) = d(A, D). Оскільки для образів цих точок має місце аналогічна рівність d(A, O) + d(O, D) = d(A, D), бачимо, що O лежить на відрізку AD і ділить його навпіл, оскільки d(A, O ) = d(A, O) = 1/2 d(A, D) = 1/2 d(A, D). Аналогічно, O лежить на CD і поділяє його навпіл. Отже, ABDC – паралелограм.

З теореми 1 випливає, що якщо
— простір вільних векторів, то будь-якого переміщення f: XX визначено відображення f*: V V.

Зазначимо, що якщо О — деяка фіксована точка X, то для будь-якої точки P точка f(P) виходить із O переносом на вектор f*(OP). Звідси випливає, що переміщення f однозначно визначається відображенням f* та точкою O.

Теорема 2

Відображення f* є лінійним оператором V і зберігає скалярне твір.

Доказ

Властивість f * (u + v) = f * (u) + f * (v) випливає з визначення додавання векторів: якщо u = AB, v = BC, то u + v = AC. Оскільки при переміщенні будь-який трикутник ABC перетворюється на рівний трикутник, то зберігаються як довжини, а й кути між векторами, отже, і скалярне твір. Нарешті, використовуючи збереження скалярного твору, маємо:
=
— 2
+
=
— 2
+
= 0. Отже f*(lv) = lf*(v), тобто відображення f* лінійно.

Слідство

Відображення
евклідова простору V, що має властивість
, є лінійним оператором та зберігає скалярне твір.

Як відомо, оператор у кінцевому просторі визначається своєю матрицею. Матриця A оператора, що зберігає скалярний твір, називається ортогональною і має такі властивості:

• матриця А невироджена, det(A) =
  1. Оператори з визначником 1 зберігають орієнтацію простору, а з визначником (-1) змінюють її на протилежну;
• всі власні значення A — комплексні числа, за модулем рівні 1.

Крім того, відомі найпростіші форми ортогональних матриць в правому ортонормованому базисі. Ці найпростіші форми вказані у таблиці:

Примітка 1

Враховуючи зв’язок між переміщенням f і оператором f*, можна стверджувати, що у відповідній декартовій системі координат має місце формула: R = АR + v, де А одна з матриць з таблиці, а v деякий вектор. Отже, будь-яке переміщення f має зворотне
, яке задається формулою R =
(R — v) =
R —
v. Оскільки матриця
— ортогональна, зворотне відображення є також переміщенням. Зазначимо ще, що з будь-якої ортогональної матриці P та будь-якого вектора w перетворення R = PR + w є переміщенням.

Примітка 2

Є значне різницю між математичним поняттям переміщення і фізичним поняттям руху. У другому випадку мається на увазі безперервне в часі зміна положення точки, у той час як у першому фіксуються лише її початкове та кінцеве положення.

Переміщення з det(A) = 1 можна уявляти як і руху, тоді як із det(A)= -1 таке уявлення неможливо, якщо залишатися у межах вихідного простору X.

Класифікація переміщень

Нагадаємо, що нам уже відомі деякі переміщення. Переміщеннями прямий
є тотожне перетворення I, перенесення
на вектор v і відображення
щодо точки О.

Для випадку площини
переміщеннями будуть вже згадані I та
, а також поворот
навколо точки Про на кут j та відображення
щодо прямої l. Визначимо додатково ковзне відображення
як комбінацію відображення щодо прямої l з перенесенням на вектор v 1/2 1/2 l.

Зрештою, для простору
ми маємо переміщення I та
, крім того, поворот
навколо осі, заданою точкою О і одиничним напрямним вектором w, на кут j і відображення
щодо площини p. Визначимо додатково дзеркальний поворот
як комбінацію відображення щодо площини, заданої точкою О та вектором нормалі n, з поворотом
; ковзне відображення
— як композицію відображення
щодо площини p та перенесення на вектор v 1/2 1/2 p. Нарешті, визначимо гвинтове переміщення
як комбінацію повороту
та паралельного перенесення на вектор h w.

Зазначимо, деякі з зазначених вище переміщень є окремими випадками інших. Наприклад, тотожне переміщення можна розглядати як перенесення на нульовий вектор (або як поворот на нульовий кут), відображення
є окремим випадком ковзного відображення
при v = 0 тощо.

Теорема 3

Кожне переміщення f в
(n = 1, 2, 3) суть одне з наступних:

Доказ

Як зазначалося, можна вибрати такий ортонормований базис, що переміщення f має вигляд R = АR + v, де v — деякий вектор. Якщо змінити початок координат: R = r + u, R = r + u, отримуємо: r = Ar + v, де v = Au — u + v = (A — E) u + v. Ми бачимо, якщо число 1 не є власним значенням матриці А (або, якщо завгодно, оператора f *), то можна вибрати u так, що в новій системі координат v = 0 (оскільки матриця A — E невироджена). Тим самим твердження теореми доведено за n = 1 і за n = 2 у разі det(A) = 1 (оскільки власні значення
суть exp( ij)1 1 при j1 2pn).

У разі матриці
можна досягти, щоб v =
що призводить до ковзного відображення
. Для матриці
при j1 2pn отримуємо v =
, і ми приходимо до гвинтового переміщення
(При j = 2pn ми приходимо до перенесення). Нарешті, для
при j12pn можна вважати v = 0, що призводить до дзеркального повороту
а при j = 2pn — v =
виходить ковзне відображення
.

Зауваження (про параметри переміщень)

Параметр
для повороту площини
вважатимемо змінним mod 2p, тобто.
=
. Таку ж угоду використовуватимемо і для гвинтового переміщення
при h > 0. Якщо ж h = 0, і йдеться про поворот у просторі, треба враховувати, що
=
. Зокрема,
=
(Відображення щодо прямої, паралельної v, що проходить через О). Аналогічно,
=
. Якщо при цьому j = p, це перетворення не залежить від вектора n і є відображенням щодо точки Про.

Композиції 1

Теорема 4

Якщо f і g — два переміщення X, а f*, g* — відповідні оператори V, то (f · g)* = f*g* (символом позначена композиція переміщень).

Доказ

Використовуємо координатну форму запису: f ® = AR + v, g ® = BR + w. Тоді: (f · g) ® = f (g ®) = f (BR + w) = A (BR + w) + v = (AB) R + (Aw + v). Отже, (f · g) * = AB = f * g *.

Слідство

Композиція двох переміщень із визначниками одного знака має визначник (+1); якщо знаки визначників є протилежними, композиція має визначник (-1).

Обчислення композиції переміщень простору
не викликає труднощів. Зазначимо лише, що
·
=
, Де v = 2 AB.

Для випадку простору
зручно використати комплексні числа. Ототожнюючи їх із точками площини, отримуємо зручний спосіб запису переміщень. Наприклад, поворот
можна записати у вигляді: z
z+c. Точка О є нерухомою, і відповідне комплексне число
знаходиться з рівняння
=
+ з, звідки
= с/(1 —
). Таким чином,
. Відмітимо, що
=
при j+y10 (mod 2p). У той самий час при j + y = 0 зазначена композиція буде переносом на вектор AD, де D =
.

Перетворення z
+ c є ковзним відображенням щодо прямої Im ( = 0 на вектор 0,5 (з +
). Якщо пряма l проходить через точку
, А її напрямний вектор (розглядається як комплексне число) має аргумент
, то переміщення
можна записати у вигляді
.

Композиція двох ковзних відбитків щодо прямих, що перетинаються, буде поворотом. Якщо ж прямі паралельні, композиція – перенесення.

© Реферат плюс