Бінарна алгебраїчна операція
Химия

Реферат — Геометрія лобачевського


Реферат - Геометрія лобачевського

Завантажити реферат: Геометрія лобачевського

Лобачевський сутнісно бере за відправний пункт усе те, що Евклід довів без допомоги 5-го постулату. Всі ці припущення є загальними як для геометрії Евкліда, так і для геометрії Лобачевського

Таким чином, усі пропозиції абсолютної геометрії зберігають свою силу й у геометрії Лобачевського. Абсолютна геометрія є загальна частина та загальний фундамент евклідової геометрії та геометрії Лобачевського

У першому випадку ми отримаємо геометрію Евкліда, у другому випадку –

Геометрію Лобачевського. Звідси ясно, що все подібне в геометріях Евкліда і Лобачевського має свої підстави в абсолютній Геометрії, а все те, що по-різному в них, коріниться у відмінності аксіом паралельності

Вкажемо ряд найважливіших планіметричних теорем, що належать до абсолютної геометрії

Кожен відрізок і кут можна єдиним чином розділити навпіл.

Через кожну точку можна провести єдиний перпендикуляр до цієї прямої.

Сума двох суміжних кутів дорівнює 2d.

Усі прямі кути рівні між собою.

Вертикальні кути рівні.

У рівнобедреному трикутнику бісектриса кута при вершині є медіаною та висотою, кути при підставі рівні.

Перпендикуляр коротше похилої. Відомі теореми про порівняння перпендикулярів, похилих та їх проекцій.

Зовнішній кут трикутника більший від внутрішнього кута, з ним не суміжного.

У кожному трикутнику може бути більше прямого чи тупого кута.

У трикутнику проти більшої сторони лежить більший кут і назад.

У прямокутному трикутнику гіпотенуза більша за катет.

Сума двох сторін трикутника більша за третю.

Три ознаки рівності трикутників.

Якщо при перетині двох прямих третьої відповідні кути рівні, або внутрішні накркст кути рівні, або сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 2d, то дані прямі не перетинаються.

Два перпендикуляри до третьої прямої не перетинаються.

Через точку, що лежить поза прямою, в площині, що ними визначається, проходить принаймні одна пряма, що не перетинає цієї.

Сума кутів трикутника трохи більше 2d(11-а теорема Лежандра).

Якщо в площині дві точки лежать по різні боки прямої, то відрізок, що їх сполучає, перетинає цю пряму.

Якщо промінь проходить через вершину трикутника всередину його, він перетинає протилежну сторону трикутника.

Три бісектриси трикутника перетинаються в одній точці, що лежить усередині трикутника.

У трикутник можна вписати єдине коло.

Пряме перетинає коло не більше ніж у двох точках.

Рівні дуги кола стягуються рівними хордами і назад.

Якщо вибрати одиничний відрізок, то кожному відрізку можна поставити у відповідність єдине позитивне число, зване довгою відрізка, і, назад, кожному позитивному числу можна поставити у відповідність деякий відрізок, довжина якого виражається цим числом.

Якщо всі внутрішні промені, що виходять з вершини кута АОВ, а також сторона АТ і ОВ розбити на два класи так, що 1) кожен промінь належить одному і тільки одному з цих класів, промінь АТ належить першому класу, а промінь ОВ – до другого 2) кожен промінь першого класу лежить між ОА і будь-яким променем другого класу, то існує один і тільки один промінь l, прикордонний між променями обох класів, причому сам промінь l належить або першому, або другому класу.

Якщо вибрати певний кут як одиниця виміру, то кожному куту можна поставити відповідність однину, звану мірою або величиною кута.

Вихідним пунктом геометрії Лобачевського є прийняття всіх пропозицій геометрії Евкліда, що не залежать від 5-го постулату (тобто абсолютної геометрії, включаючи аксіоми Паша, Архімеда, Дедекінда), і приєднання до них замість відкинутого 5-го постулату Плейфера, а значить, і 5-му постулату

Через точку, що лежить поза прямою площиною, що визначається ними, можна провести не менше 2-х прямих, що не перетинають даної прямої

Ця аксіома стверджує існування, принаймні 2-х таких прямих. Звідси випливає, що таких прямих існує безліч

Очевидно, що всі прямі, що проходять через точку М всередині вертикальних кутів a і b, утворених прямими b і c також не перетинають а, а таких прямих нескінченне безліч

Площина (або простір), в якій передбачається виконання аксіоми Лобачевського, називається площиною (або простором) Лобачевського

Перейдемо безпосередньо до паралельних Лобачевського

Дві граничні прямі СС’ і DD’ називаються паралельними прямою ВВ’ у точці А, причому пряма С’З називається паралельною В’В у напрямку В’В, а пряма D’D називається паралельною прямою ВВ’ у напрям ВВ’. Гострий кут a утворений паралельними з перпендикуляром АР називається кутом паралельності в точці А щодо прямої BB’. Цей кут є функцією довжини р перпендикуляра АР і позначається так: a = П (р). АР називаються відрізком паралельності у точці А щодо прямої BB’

Всі прямі пучки, що не перетинають BB’ і лежать усередині заштрихованих вертикальних кутів, називаються розбіжними з BB’ або понад паралельними до BB’; кут, утворений такий прямий з перпендикуляром АР з обох від нього сторін, більший за кут паралельності a

Нарешті , всі інші прямі пучка, що утворюють з АР з будь-якої сторони гострий кут, менше кута паралельності a називаються перетинають пряму BB’ або сходяться з BB’

Необхідно звернути увагу на те, що геометрія Лобачевського при вказівці, то пряма СС’ паралельно прямий BB’ є абсолютно обов’язковим також вказувати, по-перше, в якому напрямку CC’ паралельно BB’, по-друге, в якій точці , бо у нас поки що немає впевненості в тому, що якщо ми на прямій CC’ візьмемо якусь точку М, відмінну від А, то і по відношенню до пучка прямих з центру в точці М пряма СС’ буде граничною прямою

Визначення. Пряма С’C називається паралельною прямою в напрям B’B у точці А, якщо , по-перше, пряма С’C не перетинає прямий BB’, по-друге , C’C є граничною в пучку прямих з центром у точці А, тобто будь-який промінь АЕ, що проходить всередині кута CAD, де D-будь-яка точка прямої BB’, перетинає промінь DB

Умовимося з метою стислості та зручності позначати паралельність прямої АА’ до BB’ у напрям B’B символом AA’ до B’B, де порядок букв вказує напрямок паралельності. На кресленні напрямок паралельності вказується стрілками

Теорема1. Якщо пряма ВВ’ до АА’ у точці М, то ВВ’ до АА’ у будь-якій своїй точці N

Теорема 2 . Якщо ВВ’ до АА’, то і назад: АА’ до ВВ’

Теорема 3. Якщо АА’ до СС’ і ВВ’ до СС’, то АА’ до ВВ’

Теорема 4 . Якщо пряма CC’ лежить між двома прямими АА’ і BB’, паралельними в деякому напрямі, не перетинаючи їх, то CC’паралельна обом цим прямим у тому самому напрямку

Теорема 5. Якщо дві прямі при перетині з третьою утворюють рівні відповідні кути, або внутрішні односторонні кути, у сумі, що становлять 2d, то ці прямі розходяться

Завдання 902. (Збірник завдань — Атанасян, ч.2) Нехай (U 1 V 1) до (U 2 V 2). Довести, що якщо пряма (UV) лежить між (U 1 V 1 ) та (U 2 V 2 ) і не перетинає одну з них, то вона паралельна даним

Дійсно, відрізок U 1 U 2, що з’єднує будь-які точки U 1 і U 2 паралельних прямих U 2 V 2 і U 1 V 1 перетне UV в деякій точці U, бо UV за умовою лежить між U 2 V 2 і U 1 V 1 (Теорема 1.18)

В силу паралельності U 2 V 2 і U 1 V 1 будь-який промінь U 2 E , що проходить всередині кута V 2 U 2 U 1 перетне U 1 V 1 , а значить, і UV. Отже, U 2 V 2 UV. Користуючись теоремами 2 і 3 легко переконатися, що U 1 V 1 до UV

Цікаво відзначити, що в геометрії Лобачевського пряма може перетнути дві паралельні, не перетинаючи третьої. Дійсно, наприклад, будь-яка пряма EF, що розходиться з АА’, перетинає СС’і BB’, не перетинаючи АА’

© Реферат плюс



Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *