Реферат - Апроксимація функцій - завантажити безкоштовно
Химия

Реферат — Апроксимація функцій — завантажити безкоштовно


Реферат - Апроксимація функцій - завантажити безкоштовно

Завантажити реферат: Апроксимація функцій

З курсу математики відомі 3 способи завдання функціональних залежностей:

  1. аналітичний.
  2. Графічний.
  3. Таблічний.

Табличний спосіб зазвичай виникає у результаті експерименту. Недолік табличного завдання функції у тому, що завжди є значення змінних, які визначені таблицею. Для відшукання таких значень визначають функцію, що наближається до заданої, званої апроксимуючою, а дію заміни апроксимацією.

Реферат - Апроксимація функцій - завантажити безкоштовно

Рис. 1

Апроксимація полягає в тому, що, використовуючи наявну інформацію f(x), можна розглянути іншу функцію f(u) близьку в деякому сенсі до f(x), що дозволяє виконати над нею відповідні операції і отримати оцінку похибка такої заміни. Тут f(u) — апроксимуюча функція.

Інтерполяція (приватний випадок апроксимації)

Якщо для табличної функції y=f(x), що має значення x0=f(x0), потрібно побудувати апроксимуючу функцію j(x), що збігається у вузлах з xi із заданою, такий спосіб називається інтерполяцією. При інтерполяції задана функція f(x) дуже часто апроксимується за допомогою багаточлена, що має загальний вигляд

j (x) = pn (x) = anxn + a n-1 x n-1 + … + a 0

У цьому многочлене необхідно визначити коефіцієнти an, an-1, …a0, оскільки завданням є интерполирование, то визначення коефіцієнтів необхідно з умов рівності: P n (xi)=yi, гдеi=0, 1, …n

Для визначення коефіцієнтів застосовують інтерполяційні багаточлени спеціального виду, до них відноситься поліном Лагранжа Ln(x)

Реферат - Апроксимація функцій - завантажити безкоштовноi1j

У точках, відмінних від вузлів інтерполяції поліном Лагранжа, у загальному випадку не співпадає із заданою функцією.

Завдання

За допомогою інтерполяційного полінома Лагранжа обчислити значення функції y у точці xc, вузли інтерполяції розташовані рівномірно з кроком D х = 4, 1 починаючи з точки х0 =1, 3 дані значення функції y = {-6.56, -3.77, -1.84, 0.1, 2.29, 4.31, 5.86, 8.82, 11.33, 11.27}

ДСА для даного методу

CLS

DIM Y(9)

DATA -6.56, -3.77, -1.84, 0.1, 2.29, 4.31, 5.86, 8.82, 11.33, 11.27

X0 = 1.3: H = 4.1: N = 10: XC = 10

FOR I = 0 TO N — 1

1 X(I) = X0 + H * I

READ Y(I)

PRINT Y(I); X(I)

NEXT I

S1 = 0: S2 = 0: S3 = 0: S4 = 0

FOR I = 0 TO N — 1

2 S1 = S1 + X(I) ^ 2

S2 = S2 + X(I)

S3 = S3 + X(I) * Y(I)

S4 = S4 + Y(I)

NEXT I

D = S1 * N — S2 ^ 2

D1 = S3 * N — S4 * S2

D0 = S1 * S4 — S3 * S2

A1 = D1 / D: A0 = D0 / D

YC = A1 * XC + A0

PRINT «A0=»; A0, «A1=»; A1, «YC=»; YC

FOR X = 0 TO 50 STEP 10

Y = A1 * X + A0

PRINT X, Y

NEXT X

END

XC = 10

Х Y

1.3 -6.56

5.4 -3.77

9.5 -1.84

13.6.1

17.7 2.29

21.8 4.31

25.9 5.86

30 8.82

34.1 11.33

38.2 11.27

S=-1.594203

Апроксимація функцією. Метод найменших квадратів

В інженерній діяльності часто виникає необхідність описати у вигляді функціональної залежності зв’язок між величинами, заданими таблично або у вигляді набору точок з координатами (xi, yi), i = 0, 1, 2, … n, де n — загальна кількість точок. Як правило, ці табличні дані отримані експериментально та мають похибки. При апроксимації бажано отримати відносно просту функціональну залежність (наприклад, поліном), яка дозволила б «згладити» експериментальні похибки, отримати проміжні та екстраполяційні значення функцій, які спочатку не містяться у вихідній табличній інформації.

Графічна інтерпретація апроксимації

Ця функціональна (аналітична) залежність має з достатньою точністю відповідати вихідній табличній залежності. Критерієм точності або досить «хорошого» наближення можуть бути кілька умов. Позначимо через fi значення, обчислене з функціональної залежності для x = xi і зіставляється з yi. Одну з умов погодження можна записати як

S = ∑(fi-yi), min, → 0

тобто сума відхилень табличних та функціональних значень для однакових x=xi має бути мінімальною (метод середніх). Відхилення можуть мати різні знаки, тому достатня точність у ряді випадків не досягається

Використання критерію S = | fi-yi | min, → 0 також не прийнятно, тому що абсолютне значення не має похідної в точці мінімуму. З огляду на вищевикладене, застосовують критерій найменших квадратів, тобто. визначають таку функціональну залежність, за якої S = (fi -yi) 2, (1) звертається в мінімум.

Як функціональна залежність розглянемо багаточлен

f(x)=C0 + C1 X + C2 X2 +…+CM XM (2)

Формула (1) набуде вигляду S = Реферат - Апроксимація функцій - завантажити безкоштовно(C0 + C1 Xi + C2 Xi 2 +…+CM Xi M — Yi) 2

Умови мінімуму S можна записати, прирівнюючи нулю приватні похідні S за незалежними змінними С0, С1, …СМ:

S C0 = 2 (C0 + C1 Реферат - Апроксимація функцій - завантажити безкоштовноXi + C2 Реферат - Апроксимація функцій - завантажити безкоштовноXi 2 +…+ CM Реферат - Апроксимація функцій - завантажити безкоштовноXi M — Yi) = 0,

S C1 = 2 (C0 + C1 Реферат - Апроксимація функцій - завантажити безкоштовноXi + C2 Реферат - Апроксимація функцій - завантажити безкоштовноXi 2 +…+ CM Реферат - Апроксимація функцій - завантажити безкоштовноXi M — yi) Xi = 0, (3)

S CM = 2 (C0 + C1 Реферат - Апроксимація функцій - завантажити безкоштовноXi + C2 Реферат - Апроксимація функцій - завантажити безкоштовноXi 2 +…+ CM Реферат - Апроксимація функцій - завантажити безкоштовноXi M — Yi) Xi M = 0,

Тоді з (3) можна отримати систему нормальних рівнянь

C0 Реферат - Апроксимація функцій - завантажити безкоштовно(N+1) + C1 Реферат - Апроксимація функцій - завантажити безкоштовноXi + C2 Реферат - Апроксимація функцій - завантажити безкоштовноXi 2 +…+ CM Реферат - Апроксимація функцій - завантажити безкоштовноXi M = Реферат - Апроксимація функцій - завантажити безкоштовноYi,

C0 Реферат - Апроксимація функцій - завантажити безкоштовноXi + C1 Реферат - Апроксимація функцій - завантажити безкоштовноXi 2 + C2 Реферат - Апроксимація функцій - завантажити безкоштовноXi 3 +…+ CM Реферат - Апроксимація функцій - завантажити безкоштовноXi M+1 = Реферат - Апроксимація функцій - завантажити безкоштовноYi Xi, (4)

C0 Реферат - Апроксимація функцій - завантажити безкоштовноXi M + C1 Реферат - Апроксимація функцій - завантажити безкоштовноXi M+1 + C2 Реферат - Апроксимація функцій - завантажити безкоштовноXi M+2 +…+ CM Реферат - Апроксимація функцій - завантажити безкоштовноXi 2M = Реферат - Апроксимація функцій - завантажити безкоштовноYi Xi M

Для визначення коефіцієнтів Сi та, отже, шуканої залежності (2) необхідно обчислити суми та вирішити систему рівнянь (4). Матриця системи (4) називається матрицею Грама і є симетричною та позитивно визначеною. Ці корисні властивості використовуються при її вирішенні

(N+1)

Реферат - Апроксимація функцій - завантажити безкоштовноX i

Реферат - Апроксимація функцій - завантажити безкоштовноX i 2

Реферат - Апроксимація функцій - завантажити безкоштовноX i M

Реферат - Апроксимація функцій - завантажити безкоштовноY i

X i

Реферат - Апроксимація функцій - завантажити безкоштовноXi2

Реферат - Апроксимація функцій - завантажити безкоштовноX i 3

Реферат - Апроксимація функцій - завантажити безкоштовноX i M+1

Y i X i

X i M

Реферат - Апроксимація функцій - завантажити безкоштовноX i M+1

Реферат - Апроксимація функцій - завантажити безкоштовноX i M+2

Реферат - Апроксимація функцій - завантажити безкоштовноX i 2M

Реферат - Апроксимація функцій - завантажити безкоштовноY i X i M

Неважко бачити, що для формування розширеної матриці (4а) достатньо обчислити тільки елементи першого рядка та двох останніх стовпців, решта елементів не є «оригінальними» і заповнюються за допомогою циклічного присвоєння.

Завдання

Знайти коефіцієнти прямої та визначити значення функції y{-6.56, -3.77, -1.84, 0.1, 2.29, 4.31, 5.56, 8.82, 11.33, 11.27}, x0=1.3 h=4.1 та визначити інтеграл заданої функції.

Реферат - Апроксимація функцій - завантажити безкоштовно

Рис. 3

Програма

CLS

XC = 10: X0 = 1.3: H = 4.1: N = 10

DIM Y(9): DIM X(9)

DATA -6.56, -3.77, -1.84, 0.1, 2.29, 4.31, 5.86, 8.82, 11.33, 11.27

FOR I = 0 TO N — 1

X = X0 + H * I:

X(I) = X

READ Y(I)

PRINT X(I), Y(I)

NEXT I

S1 = 0: S2 = 0: S3 = 0: S4 = 0

I = 0

10 S1 = S1 + X(I) ^ 2:

S2 = S2 + X(I):

S3 = S3 + X(I) * Y(I):

S4 = S4 + Y(I)

I = I + 1

IF I <= N - 1 THEN 10

D = S1 * N — S2 ^ 2:

D1 = S3 * N — S2 * S4:

D0 = S1 * S4 — S2 * S3

A1 = D1 / D:

A0 = D0/D

Y = A1 * XC + A0

PRINT TAB(2); «Коефіцієнт прямий у точці A0=»; A0,

PRINT TAB(2); «Коефіцієнт прямий у точці A1=»; A1,

PRINT TAB(2); «Значення функції у точці XC Y=»; Y

FOR X = 10 TO 50 STEP 10

Y = A1 * X + AO

PRINT X, Y

NEXT X

FOR I = 1 TO N — 1

S = S + Y(I): NEXT I

D = H / 2 * (Y (0) + Y (N — 1) + 2 * S)

PRINT «Значення інтеграла методом трапеції D=»; D

Відповіді

Х Y

1.3 -6.56

5.4 -3.77

9.5 -1.84

13.6 1

17.7 2.29

21.8 4.31

25.9 5.86

30 8.82

34.1 11.33

38.2 11.27

Коефіцієнт прямий у точці A0 = -6.709182

Коефіцієнт прямий у точці A1 = 5007687

Значення функції у точці XC Y=-1.701495

10 5.007687

20 10.01537

Значення інтеграла методом трапеції D= 166.9725

© Реферат плюс



Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *