Бінарна алгебраїчна операція
Химия

Прості Числа Мерсенна, досконалі числа


Прості Числа Мерсенна, досконалі числа

Завантажити реферат: Прості Числа Мерсенна, досконалі числа

Серед простих чисел особливу роль відіграють прості числа Мерсенна — числа виду 1) Мр = 2р -1 де р — Просте число. Вони називаються простими числами Мерсенна на ім’я французького ченця Мерена Мерсенна (1588-1648), одного із засновників Паризької Академії наук, друга Декарта та Ферма. Оскільки М2=3, М3=7, М5=31, М7=127, це — найпростіші числа Мерсенна. Однак, число 2) М11 = 2047 = 23. 89 простим не є. До 1750 було знайдено всього 8 простих чисел Мерсенна: М2, М3, М5, М7, М13, М17, М19, М31. Те, що М31 — просте число, довів у 1750 Л. Ейлер. У 1876 році французький математик Едуард Люка встановив, що число 3) М127 = 170141183460469231731687303715884105727 — просте. У 1883 р. сільський священик Пермської губернії І.М.Первушин без будь-яких обчислювальних приладів довів, що число М61 = 2305843009213693951 є простим. Пізніше було встановлено, що М89 і М107 — прості. Використання ЕОМ дозволило у 1952-1964 роках довести, що числа М521, М607, М1279, М2203, М2281, М3217, М4253, М4423, М2689, М9941, М11213 – прості. На цей час відомо вже понад 30 простих чисел Мерсенна, одне з яких М216091 має 65050 цифр. Великий інтерес до простих чисел Мерсенна викликаний їх тісним зв’язком із досконалими числами.

Натуральне число Р називається досконалим, якщо воно дорівнює сумі всіх дільників крім Р.

Евклід довів, що й р і 2р-1 — прості числа, число 4)Рр=2р-1(2р-1)=2р-1Мр є досконалим.

Дійсно, дільниками такого числа, включаючи саме це число, є 5) 1,2, …, 2р-1, Мр, 2Мр, …, 2р-1Мр.

Їх сума Sp = (1 +2 + … + 2р-1) (Мр +1) = (2р-1). 2р = 2. 2р-1 Мр. Віднімаючи з S число Рр , переконуємося, що сума всіх дільників числа Рр дорівнює цьому числу, отже Рр — досконале число.

Числа Р2 = 6 і Р3 = 28 були відомі ще піфагорійцям. Числа Р5 = 496 і Р7 = 8128 знайшов Евклід. Використовуючи інші прості числа Мерсенна та формулу 4, знаходимо наступні досконалі числа:

6) Р13 = 33550336, Р17 = 8589869056, Р19 = 137438691328, Р31 = 2305843008139952128.

Для решти чисел Мерсенна числа Рр мають дуже багато цифр.

Досі залишається загадкою, як Мерсен зміг висловити правильне твердження, що числа Р17, Р19, Р31 є досконалими. Пізніше було виявлено, що майже за сто років до Мерсенна числа Р17, Р19 знайшов італійський математик Катальді – професор університетів Флоренції та Болоньї. Вважалося, що божественне провидіння передбачило своїм обранцям правильні значення цих досконалих чисел. Якщо врахувати, що ще піфагорійці вважали перше досконале число 6 символом душі, що друге досконале число 28 відповідало числу членів багатьох науковців, що навіть у дванадцятому столітті церква вчила: для порятунку душі достатньо вивчати досконалі числа і тому, хто знайде нове божественне досконале , приготоване вічне блаженство, стає зрозумілим винятковий інтерес до цих числам.

Однак і з математичної точки зору парні досконалі числа унікальні. Усі вони – трикутні. Сума величин, обернених всім дільникам числа, включаючи саме число, завжди дорівнює двом. Залишок від розподілу досконалого числа, крім 6, на 9 дорівнює 1. У двійковій системі досконале число Рр починається р одиницями, потім слідують р-1 нулів. Наприклад:

7) Р2 = 110, Р3 = 11100, Р5 = 111110000, Р7 = 1111111000000 і т.д.

Остання цифра парного досконалого числа або 6, або 8, причому якщо 8, то їй передує 2.

Леонард Ейлер довів, що всі парні досконалі числа мають вигляд 2р-1. Мр, де Мр-проста кількість Мерсенна. Проте досі не знайдено жодного непарного досконалого числа. Висловлено припущення (Брайен Такхерман, США), що й таке число існує, воно має мати щонайменше 36 символів.

© Реферат плюс



Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *