Бінарна алгебраїчна операція
Химия

Правильні та напівправильні багатогранники


Правильні та напівправильні багатогранники

Завантажити реферат: Правильні та напівправильні багатогранники

Правильним багатогранником називається опуклий багатогранник, грані якого – рівні правильні багатокутники, а двогранні кути за всіх вершин рівні між собою. Доведено, що в кожній з вершин правильного багатогранника сходиться те саме число граней і те саме число ребер.

Загалом у природі існує п’ять правильних багатогранників. Порівняно з кількістю правильних багатокутників це дуже мало: для кожного цілого n>2 існує один правильний n-кутник, тобто. правильних багатокутників — дуже багато. Правильні багатогранники мають назви за кількістю граней: тетраедр (4 грані): гексаедр (6 граней), октаедр (8 граней), додекаедр (12 граней) та ікосаедр (20 граней). По-грецьки «хедрон» означає грань, «тетра», «гекс» і т. Д. — Вказані числа граней. Неважко здогадатися, що гексаедр є не що інше, як усім знайомий куб. Грані тетраедра, октаедра та ікосаедра – правильні трикутники, куба – квадрати, додекаедра – правильні п’ятикутники.

Якщо позначити кількість кутів в одній грані правильного багатогранника за q, а кількість граней, що сходяться на одній вершині – за p, можна отримати точні характеристики кожного правильного багатогранника. Ось вони (перше число — q, друге — p): (3; 3), (3; 4), (4; 3), (3; 5), (5; 3). При цьому у куба і октаедра, а також у ікосаедра і додекаедра, числа p і q виявляються переставленими. Ці багатогранники називають двоїстими. Тетраедр вважається двоїстим сам собі. У двоїстих багатогранників кількість ребер однакова.

Правильні багатогранники симетричні. Це означає, що для будь-якого довільно вибраного ребра AB і грані F, що примикає до нього, можна так повернути багатогранник, що ребро AB перейде в будь-яке відмінне від нього ребро CD, точка A – у будь-який його кінець (C або D), а грань F збігається з однією з двох граней, що примикають до нього. Таких можливих поворотів — самосуміщень всього існує 4P, де P — число ребер багатогранника. При цьому половина з них – повороти навколо уявних осей, що з’єднують центр багатогранника з його вершинами, серединами ребер та граней на кути, кратні відповідно 2p/q, p та 2p/p, а інша половина – симетрії щодо площин та «дзеркальні повороти». Зазначене «властивість максимальної симетричності» іноді сприймають визначення правильного багатогранника. Але людині, далекому від математики, важко уявити геометричне тіло з таким визначенням.

Йоган Кеплер називав куб «батьком» всіх правильних багатогранників. На основі куба він зміг побудувати решту видів правильних багатогранників.

Якщо провести в протилежних гранях куба діагоналі, що схрещуються, то їх кінці виявляться вершинами тетраедра, а вершини октаедра — це центри граней куба. Отримані багатокутники справді правильні, тому що їхні грані – правильні трикутники. Рівність двогранних кутів випливає з того, що при повороті куба ребро багатогранника можна перевести в будь-яке інше.

Для того, щоб побудувати ікосаедр, на кожній грані куба потрібно побудувати відрізок довжиною x (поки що це – будь-яка довжина) так, щоб він був паралельний двом сторонам своєї грані та перпендикулярний таким же відрізкам на сусідніх гранях. Середина його має співпадати із центром грані. З’єднаємо кінці цих відрізків між собою, і ми отримаємо двадцятигранник, грані якого трикутники, і при кожній вершині їх п’ять. Знайдемо таке число x, за якого всі ребра цього багатогранника рівні, тобто він правильний. Т.к. куб симетричний, всі ребра, не належать граням куба рівні між собою. Приймемо довжину ребра куба за a. Розглянемо трикутник ABC (рис. 2), де AC = a – x, BC2 = CD2 + BD2 = 1/4 a2 + 1/4 x2. По теоремі Піфагора отримуємо: AB2 = AC2 + CB2 = (x2 + a2 + (a — x) 2) / 4.

Прирівнюючи AB до x, отримуємо квадратне рівняння: x2 + ax – a2 = 0, звідки x = a (Ö 5 – 1) / 2. Цікаво, що отриманий множник при a, тобто відношення ребра куба до ребра вписаного до нього ікосаедра – не що інше, як золотий перетин.

Тепер доведемо рівність двогранних кутів. Розглянемо 5 ребер, що виходять з точки A. Кінці їх всіх рівновіддалені і від точки A, і від центру куба O. Звідси випливає, що вони лежать на перетині двох сфер з центрами A і O, а значить – на колі, причому ребра, що з’єднують їх із точкою A, рівні. Отже, ці п’ять точок і точка a – вершини правильної піраміди, та її двогранні кути при вершині рівні.

Додекаедр з ікосаедр можна отримати так само, як і октаедр з куба. з’єднуючи середини суміжних граней ікосаедра, ми отримуємо правильний п’ятикутник. Усього таких п’ятикутників буде 12. Двогранні кути багатокутника будуть рівними, оскільки тригранні кути при його вершинах мають рівні плоскі кути.

Правильні багатогранники також називають платоновими тілами, хоча вони були відомі ще кілька століть до Платона. В одному зі своїх діалогів Платон пов’язав правильні багатокутники із чотирма стихіями. Тетраедру відповідав вогонь, кубу — земля, октаедру — повітря, ікосаедру — вода. Додекаедру відповідала п’ята стихія — ефір.

Так звані напівправильні багатогранники пов’язують із ім’ям Архімеда. Це 13 тіл, отриманих при усіченні правильних багатогранників і два нескінченних ряди правильних призм та антипризм з рівними ребрами.

В епоху Відродження вчений Йоган Кеплер слідом за Платоном спробував пов’язати правильні багатогранники з будовою Всесвіту. З більшою чи меншою точністю він розмістив між сферами, що містять орбіти шести відомих планет, правильні багатогранники таким чином, що кожен був описаний біля меншої сфери та вписаний у більшу. Але ім’я Кеплера у геометрії прославило відкриття двох із чотирьох правильних зоряних тіл. Два інших у 1809 р. знайшов француз Луї Пуансо.

Рис. 1 Правильні багатогранники

Правильні та напівправильні багатогранники
Правильні та напівправильні багатогранникиПравильні та напівправильні багатогранникиПравильні та напівправильні багатогранникиПравильні та напівправильні багатогранники

Тетраедр Куб Октаедр Додекаедр Ікосаедр

Рис.2 Отримання правильних багатогранників із куба

Правильні та напівправильні багатогранникиПравильні та напівправильні багатогранникиПравильні та напівправильні багатогранникиПравильні та напівправильні багатогранники

Рис. 3 Архімедове тіло, утворене з ікосаедра

Правильні та напівправильні багатогранники

Рис. 4 Одне із зіркових тіл

Правильні та напівправильні багатогранники

© Реферат плюс



Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *