Бінарна алгебраїчна операція
Химия

Поперечні перерізи та їх геометричні характеристики.


Поперечні перерізи та їх геометричні характеристики.

Завантажити реферат: Поперечні перерізи та їх геометричні характеристики

Статичні моменти перерізу

Візьмемо деякий поперечний переріз бруса (рис. 1). Зв’яжемо його з системою координат х, і розглянемо два наступні інтеграли:

Рис. 1

Поперечні перерізи та їх геометричні характеристики.

Поперечні перерізи та їх геометричні характеристики.

де індекс F знаку інтеграла вказує на те, що інтегрування ведеться по всій площі перерізу. Кожен з інтегралів є сумою творів, елементарних майданчиків dF на відстань до відповідної осі (х або у). Перший інтеграл називається статичним моментом перерізу щодо осі х, а другий — щодо осі у. Розмірність статичного моменту см3. При паралельному перенесенні осей величини статичних моментів змінюються. Розглянемо дві пари паралельних осей , x 1 , y 1 і x 2 , y 2 . Нехай відстань між осями x 1 і x 2 дорівнює b, а між осями y 2 і y 2 дорівнює а (рис. 2). Припустимо, що площа перерізу F і статичні моменти щодо осей x 1 і y 1 , тобто S x1 і S y1 задані. Потрібно визначити S x2 та S y2

Очевидно, х 2 = x 1 — а, y 2 = y 1 — b. Таким чином, при паралельному перенесенні осей статичний момент змінюється на величину, рівну добутку площі F на відстань між осями

Розглянемо більш детально, наприклад, перший з отриманих виразів:

Величина b може бути будь-якою: як позитивною, і негативною. Тому її завжди можна підібрати (причому єдиним чином) так, щоб добуток bF дорівнював S x1 . Тоді статичний момент S x2 щодо осі x 2 звертається в нуль

Поперечні перерізи та їх геометричні характеристики.Вісь, щодо якої статичний момент дорівнює нулю, називається центральною. Серед сімейства паралельних осей вона є єдиною, і відстань до цієї осі від деякої, довільно взятої, осі х 1

Рис. 2

Поперечні перерізи та їх геометричні характеристики.

Аналогічно для іншого сімейства паралельних осей

Поперечні перерізи та їх геометричні характеристики.

Крапка перетину центральних осей називається центром тяжкості перерізу. Шляхом повороту осей можна показати, що статичний момент щодо будь-якої осі, що проходить через центр тяжкості, дорівнює нулю

Неважко встановити тотожність даного визначення та звичайного визначення центру тяжіння як точки застосування рівнодіючих сил ваги. Якщо уподібнити розглянутий переріз однорідної пластинки, то сила ваги пластинки у всіх точках буде пропорційна елементарної площі dF, а момент сил ваги відносно певної осі пропорційний статичному моменту. Цей момент сил ваги щодо осі, що проходить через центр тяжіння, дорівнює нулю. У нуль звертається, отже, і статичний момент щодо центральної осі

Моменти інерції перерізу

На додачу до статичних моментів розглянемо ще три наступні інтеграли:

Поперечні перерізи та їх геометричні характеристики.Поперечні перерізи та їх геометричні характеристики.Поперечні перерізи та їх геометричні характеристики.

Через х і у позначені поточні координати елементарного майданчика dF довільно взятої системі координат х, y . Перші два інтеграли називаються осьовими моментами інерції перерізу щодо осей х та y відповідно. Третій інтеграл називається відцентровим моментом інерції перерізу щодо осей х, у. Розмірність моментів інерції см 4

Осьові моменти інерції завжди позитивні, оскільки позитивною вважається площа dF. Відцентровий момент інерції може бути як позитивним, так і негативним, залежно від розташування перерізу щодо осей х, у

Виведемо формули перетворення моментів інерції при паралельному перенесенні осей. Вважатимемо, що нам задані моменти інерції та статичні моменти щодо осей х 1 і y 1 . Потрібно визначити моменти інерції щодо осей x 2 та y 2

Поперечні перерізи та їх геометричні характеристики.Поперечні перерізи та їх геометричні характеристики.

Підставляючи сюди х 2 = x 1 — а та y 2 = y 1 — b і розкриваючи дужки (відповідно до (1) і (2)) знаходимо…

Якщо осі x1 та y1 – центральні, то S x1 = S y1 = 0. Тоді (4)…

Отже, при паралельному перенесенні осей (якщо одна з осей — центральна) осьові моменти інерції змінюються на величину, рівну добутку площі на квадрат відстані між осями

З перших двох формул (4) слід, що у сімействі паралельних осей мінімальний момент інерції виходить щодо центральної осі (а = 0 чи Ь = 0). Тому легко запам’ятати, що при переході від центральних осей до нецентральних осьові моменти інерції збільшуються і величини a 2 F і b 2 F слід до моментів інерції додавати, а при переході від нецентральних осей до центральних — віднімати

При визначенні відцентрового моменту інерції за формулами (4) слід враховувати знак величин і b . Можна, однак, і відразу встановити, у який бік змінюється величина J xy при паралельному перенесенні осей. Для цього слід мати на увазі, що частина площі, що знаходиться в I і III квадрантах системи координат x 1 y 1 дає позитивне значення відцентрового моменту, а частини, що знаходяться в II і IV квадрантах, дають негативні значення. Тому при переносі осей найпростіше встановлювати знак доданку abF відповідно до того, які з чотирьох складових площ збільшуються і які зменшуються

Головні осі та головні моменти інерції

Рис. 3

Поперечні перерізи та їх геометричні характеристики.

Подивимося, як змінюються моменти інерції при повороті осей координат. Припустимо, дані моменти інерції деякого перерізу щодо осей х, у (не обов’язково центральних). Потрібно визначити J u , J v , J uv — моменти інерції щодо осей і v, повернутих щодо першої системи на кут a (рис. 3)

Проектуємо замкнутий чотирикутник ОАВСО на осі та і v. Оскільки проекція ламаної лінії дорівнює проекції, що замикає, знаходимо:

u = y sin a + x cos a , v = y cos a — x sin a

У виразах (3), підставивши замість x 1 та y 1 відповідно u та v, виключаємо u та v, звідки (5)…

Розглянемо два перші рівняння. Складаючи їх почленно, отримаємо, що сума осьових моментів інерції щодо двох взаємно перпендикулярних осей не залежить від кута a при повороті осей залишається постійною. При цьому

x 2 + y 2 = r 2

де r — Відстань від початку координат до елементарного майданчика (рис. 3). Таким чином,

J x + J y = J p

де J p — полярний момент інерції

Поперечні перерізи та їх геометричні характеристики.

величина якого, природно, не залежить від повороту осей ху

Зі зміною кута повороту осей кожна з величин J u і J v змінюється, а сума їх залишається незмінною. Отже, існує таке a , при якому один з моментів інерції досягає свого максимального значення, тоді як інший момент інерції набуває мінімального значення

Диференціюючи вираз J u (5) а і прирівнюючи похідну нулю, знаходимо (6)…

При цьому значенні кута a один з осьових моментів буде найбільшим, а інший найменшим. Одночасно відцентровий момент інерції J uv при зазначеному вугіллі a звертається в нуль, що легко встановлюється з третьої формули (5)

Осі, щодо яких відцентровий момент інерції дорівнює нулю, а осьові моменти набувають екстремальних значень, називаються головними осями. Якщо вони є центральними, тоді вони називаються головними центральними осями. осьові моменти інерції щодо головних осей називаються головними моментами інерції. Для визначення цього перші дві формули (5) перепишемо в іншому вигляді

Далі виключаємо за допомогою виразу (6) кут a

Верхній знак відповідає максимальному моменту інерції, а нижній – мінімальному. Після того, як перетин викреслено в масштабі і на кресленні показано положення головних осей, неважко встановити, якій з двох осей відповідає максимальний і якій мінімальний момент інерції

Якщо перетин має вісь симетрії, то ця вісь завжди буде головною .Центробіжний момент інерції частини перерізу, розташованої з одного боку від осі, дорівнюватиме моменту частини, розташованої з іншого боку, але протилежний йому за знаком. Отже, J ху = 0 і осі х і у є головними

© Реферат плюс



Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *