Періодично розташовані точкові джерела хвиль |
Химия

Періодично розташовані точкові джерела хвиль |


Завантажити реферат: Періодично розташовані точкові джерела хвиль

Розглянемо цікавий та дуже важливий для практики випадок, коли точкові джерела хвиль розташовані у вигляді ланцюжка. Нехай відстань між джерелами d становить кілька довжин хвиль і різниця фаз коливань дорівнює нулю.

Застосуємо ту ж техніку міркувань, що й у випадку тісного (безперервного) розташування точкових джерел. Розглянемо спочатку нормальний до ланцюжка напрямок.

На досить великому віддаленні джерел вузький (кілька відстаней між джерелами) ділянку фронту кільцевої хвилі вважатимуться плоским (прямолінійним). Коливання від окремих джерел, відстані яких приблизно однакові, відбуватимуться у виділеної області спостереження у фазі, посилюючи одне одного. У цьому напрямі поширюватиметься плоска хвиля.

Періодично розташовані точкові джерела хвиль |

Але є напрями, в яких поширення хвилі не відбуватиметься. Спробує здогадатися, яким може бути такий напрямок.

Поступово збільшуватимемо кут . При цьому досить віддаленої від ланцюжка джерел області спостереження буде наростати різницю фаз коливань, викликаних різними джерелами. Нехай за деякого значення кута  буде виконуватися умова

Періодично розташовані точкові джерела хвиль |;
Періодично розташовані точкові джерела хвиль |,

де N — кількість джерел у ланцюжку. Якщо відстань між джерелами d порядку декількох  і кількість джерел велика (наприклад, більше ста), значення кута  буде дуже маленьким. На малюнку цей кут показаний досить великим, правдоподібно маленьким, зобразити його нам не вдасться.

При цьому умови коливання від першого джерела хвиль і від джерела з номером N/2 в області спостереження відбуватимуться протифазі, погасять один одного. Коливання від другого джерела будуть погашені коливаннями джерела з номером N/2+1 і т.д. Отже, такий ланцюжок випромінюватиме хвилю в межах надзвичайно малого кута . Ми отримаємо практично пласку хвилю.

Однак, при обраній нами величині відстані d порядку кількох довжин хвиль це не буде єдиним напрямом поширення хвилі і, відповідно, потоку енергії. Дійсно, якщо виконується умова

Періодично розташовані точкові джерела хвиль |,

де k — ціле число, то коливання від окремих джерел у сфері спостереження відбуватимуться з різницею фаз 2k, тобто. складатимуться, посилюватимуть один одного. У цих напрямках, як і в напрямку нормалі до лінії розташування джерел ( = 0), поширюватиметься приблизно плоска хвиля. Ці напрями називають напрямками на головні максимуми k-того порядку.

Великим значенням k відповідають великі різниці відстаней області спостереження. Звичайно, ця різниця (різниця ходу) не може стати більшою ніж d. Тому максимальне значення порядку максимуму k визначається умовою

Періодично розташовані точкові джерела хвиль |.

Для отримання вузького пучка радіовипромінювання використовується антена з розташованими до ряду дипольними випромінювачами. Якщо створити деяку різницю фаз коливань сусідніх осциляторів, напрями головного максимуму нульового порядку відрізнятимуться від нормалі (цей ефект ми обговорювали для тісного, безперервного розташування точкових джерел). У такий спосіб може бути здійснено зміну напряму радіовипромінювання (сканування) без повороту антени.

Розрахунок кутового розподілу потоку енергії від джерел системи

Безперервний розподіл джерел

Періодично розташовані точкові джерела хвиль |

Періодично розташовані точкові джерела хвиль |

У разі збудження хвиль на поверхні води таке розташування точкових джерел, коливання яких відбуваються у фазі, забезпечується вертикальними коливаннями паралельної поверхні води стрижня. Розглянемо випромінювання, викликане коливаннями стрижня кінцевої довжини, що дорівнює b.

Положення точкового джерела визначається його координатою x, амплітуда коливань пропорційна dx. Щоб знайти амплітуду коливань у віддаленій від стрижня області спостереження необхідно провести додавання коливань від усіх джерел (інтегрування за відрізком 0b):

Періодично розташовані точкові джерела хвиль |

Періодично розташовані точкові джерела хвиль |

Періодично розташовані точкові джерела хвиль |

Періодично розташовані точкові джерела хвиль |.

У нас вийшло досить громіздке багатоповерхове вираз, у сенсі якого нам треба розібратися. По-перше, з цього виразу видно, що, як і мало бути, у деякій області (точці) спостереження відбуваються коливання з частотою  і деякою початковою фазою. У вираз для амплітуди цих коливань входить множник 0. В принципі він може бути виражений через амплітуду коливань поблизу стрижня за допомогою закону збереження енергії. Але він не представляє нам особливого інтересу, як і початкова фаза коливань. Потрібний же нам кутовий розподіл потоку енергії визначається множником

Періодично розташовані точкові джерела хвиль |.

Періодично розташовані точкові джерела хвиль |

Періодично розташовані точкові джерела хвиль |

Періодично розташовані точкові джерела хвиль |

Періодично розташовані точкові джерела хвиль | Періодично розташовані точкові джерела хвиль | Періодично розташовані точкові джерела хвиль |

Періодично розташовані точкові джерела хвиль | Періодично розташовані точкові джерела хвиль | Періодично розташовані точкові джерела хвиль |

У чисельнику цього виразу стоїть синус знаменника. Тому, якщо знаменник перетворюється на нуль при  = 0, буде A = 1. При зміні  в межах /2 величина
Періодично розташовані точкові джерела хвиль | періодично набуває нульового значення і потім досягає максимумів. Величина модуля A в максимумі зі збільшенням модуля  зменшується, оскільки синус від деякої величини змінюється повільніше, ніж сама ця величина. Вид залежності
Періодично розташовані точкові джерела хвиль | при різних відносинах b/ представлений малюнку.

Випромінювання пари точкових джерел

Раніше ми розглядали сумарні коливання від системи точкових джерел у деякій досить віддаленій області спостереження. При цьому ми не визначали порівняно з чим це видалення велике. Власне, розглядаючи паралельні промені, ми неявно вважали, що область спостереження перебуває в безкінечності.

Розглянемо тепер коливання від відокремленого джерела в точках площині, що віддаляється від нього на велику, але кінцеву відстань l. При цьому ми обмежимося невеликим у порівнянні з зсувом точки спостереження від точки падіння перпендикуляра, проведеного від джерела хвиль S до площини, при малих значеннях x.

Проведемо від джерела хвиль відрізок прямої точки спостереження з координатою x і перпендикуляр до осі координат. Величина xS – це x-координата джерела. Ми отримали прямокутний трикутник. Відкладемо від точки розташування джерела вздовж гіпотенузи трикутника відрізок довжиною l і з’єднаємо кінець цього відрізка з точкою xS, крапкою падіння перпендикуляра. Кут при вершині побудованого таким чином рівнобедреного трикутника
Періодично розташовані точкові джерела хвиль |, а основа складає з віссю 0X кут /2. Таким чином, різниця ходу променів

Періодично розташовані точкові джерела хвиль |.

Відповідно, різниця фаз коливань у цих точках

Періодично розташовані точкові джерела хвиль |.

У цьому виразі
Періодично розташовані точкові джерела хвиль | — Різниця x-координат точки спостереження та джерела хвиль.

Отримане вираз є допоміжним. Застосуємо його для вирішення задачі про амплітуду коливань, створених двома точковими джерелами, розташованими на відстані d один від одного та на відстані l від площини спостереження.

Різниця фаз коливань, створених нашими джерелами у точці x,

Періодично розташовані точкові джерела хвиль |.

У круглих дужках записані різниці x-координат точки спостереження та джерел хвиль. Після зведення в квадрат ми отримуємо:

Періодично розташовані точкові джерела хвиль |.

Зробимо складання цих коливань за допомогою векторної діаграми. Фаза результуючих коливань нас не цікавить, а амплітуда

Періодично розташовані точкові джерела хвиль |

приймає максимальні значення 20 у точках, що віддаляються один від одного на

Періодично розташовані точкові джерела хвиль |

(При зміні аргументу косинуса на ). Центральний максимум спостерігається за x = 0.

Випромінювання ланцюжка періодично розташованих джерел

Нехай тепер у нас є N точкових джерел хвиль, що віддаляються один від одного на відстань до порядку декількох довжин хвиль. У досить віддаленому від ланцюжка джерел області спостереження викликані сусідніми джерелами коливання відбуватимуться з різницею фаз

Періодично розташовані точкові джерела хвиль |.

На векторній діаграмі вектори, що представляють коливання від сусідніх джерел, будуть повернені по відношенню один до одного на такий кут.

Ці вектори утворюють ламану, вписану в коло радіуса R. Якщо амплітуда коливань від одного джерела в області спостереження дорівнює 0, то

Періодично розташовані точкові джерела хвиль |

і для амплітуди сумарних коливань ми отримуємо вираз:

Періодично розташовані точкові джерела хвиль |.

При  = 0 буде  = 0 і 0 = N0 — вектори розташовані вздовж прямої, оскільки різниця фаз коливань від сусідніх джерел дорівнює нулю. Але при великих значеннях N вже за малих  (і, відповідно, ) амплітуда сумарних коливань перетворюється на нуль:

Періодично розташовані точкові джерела хвиль |;
Періодично розташовані точкові джерела хвиль |.

Таким чином, у напрямку  = 0 поширюватиметься практично плоска хвиля.

Але будуть інші напрями поширення практично плоских хвиль. Для цих напрямів повинні виконуватися умови

Періодично розташовані точкові джерела хвиль |;
Періодично розташовані точкові джерела хвиль |

різниця відстаней до деякої (будь-якої!) точки досить віддаленої області спостереження повинна дорівнювати цілому довжини хвиль. За такої різниці ходу вектори на фазовій діаграмі знову вишикуються вздовж прямої.

Цей результат ми отримали раніше, але тепер ми можемо просто визначити напрямки найближчих до даного максимуму k-того порядку мінімумів. Для мінімумів повинні виконуватись умови

Періодично розташовані точкові джерела хвиль |
Періодично розташовані точкові джерела хвиль |.

Ці вирази справедливі при

Періодично розташовані точкові джерела хвиль |;
Періодично розташовані точкові джерела хвиль |

(виконується перша умова), причому
Періодично розташовані точкові джерела хвиль | (Виконується друга умова). При таких значеннях k’ різниця ходу від сусідніх джерел дорівнює цілій кількості хвиль:

Періодично розташовані точкові джерела хвиль |, k = 0,1,2…

та спостерігаються максимуми випромінювання.

Періодично розташовані точкові джерела хвиль |

На малюнку показано залежність амплітуди коливань від кута . Лінії настільки вузькі і додаткові максим настільки малі, що їх на малюнку не видно. Крива отримана кількості джерел N=200 і відношення d/=3,5.

Зверніть увагу: при збільшенні модуля  відстань між лініями збільшується. Ця обставина надалі буде для нас суттєвою.

© Реферат плюс



Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *