Обчислення подвійних інтегралів методом осередків.

Численні методи можуть використовуватись для обчислення кратних інтегралів. Обмежимося розглядом подвійних інтегралів виду

I= (1)

Одним із найпростіших способів обчислення цього інтеграла є метод осередків. Розглянемо спочатку випадок, коли областю інтегрування G є прямокутник:
,
.По теоремі про середнє знайдемо середнє значення функції f(x,y):

S = (ba) (dc). (2)

Вважатимемо, що середнє значення приблизно дорівнює значенню функції у центрі прямокутника, тобто.
. Тоді з (2) отримаємо вираз для наближеного обчислення подвійного інтеграла:

(3)

Точність цієї формули можна підвищити, якщо розбити область G на прямокутні осередки Dij (рис. 1): xi-1
i (i=1,2,…,M), yi-1
i (j=1,2,…,N). Застосовуючи до кожного осередку формулу (3), отримаємо

òòDGijf(x,y)dxdy»¦()DxiDyi.

Підсумовуючи ці висловлювання за всіма осередками, знаходимо значення подвійного інтеграла:

I,j) (4)

У правій частині стоїть інтегральна сума; тому при необмеженому зменшенні периметрів осередків (або стягування їх у точки) ця сума прагне значення інтеграла для будь-якої безперервної функції f(x,y).

Можна показати, що похибка такого наближення інтеграла для одного осередку оцінюється співвідношенням

Rij»DxiDyj.

Підсумовуючи ці висловлювання по всіх осередках і рахуючи всі їхні площі однаковими, отримуємо оцінку похибки методу осередків у вигляді

O(Dx2+Dy2).

Отже, формула (4) має другий порядок точності. Для підвищення точності можна використати звичайні методи згущення вузлів сітки. При цьому по кожній змінній кроки зменшують однакову кількість разів, тобто відношення M/N залишається постійним.

Якщо область G непрямокутна, то часом її доцільно призвести до прямокутного вигляду шляхом відповідної заміни змінних. Наприклад, нехай область задана у вигляді криволінійного чотирикутника:
,
. Цю область можна призвести до прямокутного вигляду за допомогою заміни
,
. Крім того, формула (4) може бути узагальнена і на випадок складніших областей.

Завдання. Знайти за допомогою методу осередків значення інтегралу
, де
– область, обмежена функціями
.

Текст програми.

#include

#include

float f(float, float);

void main() {

const float h1=.0005, h2=.001;

float s1, x, y, i, I;

clrscr();

s1 = h1 * h2;

I=0;

y=h2/2;

x=1-h1/2;

for(i=0;i<1/h2;i++) {

while (y<2*x-1) {

I+=s1*f(x,y);

x-=h1;

}

y+=h2;

x=1-h1/2;

}

cout<<"Площа інтеграла дорівнює:"<

getch();

}

float f (float x, float y) {

return x*x+y*y;

}

Блок-схеми програми.

Виконання програми у математичному пакеті.

h1=.0005;

h2=.001;

s1 = h1 * h2;

I=0;

y=h2/2;

x=1-h1/2;

for i=1:1/h2

while y<2*x-1 I=I+s1*(x*x+y*y);

x=x-h1;

end

y=y+h2;

x=1-h1/2;

end

disp(‘Площа інтеграла дорівнює:’);

disp(I);

Залежно від кроків сітки отримуємо з різною точністю значення шуканого інтегралу

Площа інтеграла дорівнює:

0.2190

Список використаної литературы.

1. Бахвалов Н.С. Чисельні методи. т.1 — М: Наука. 1975.

2. Демидович Б.П., Марон І.А. Основи обчислювальної математики. — М.: Наука, 1966.

3. Каліткін Н.Н Чисельні методи. — М.: Наука, 1978.

4. Турчак Л. І. Основи чисельних методів. — М.: Наука, 1987.

© Реферат плюс