Бінарна алгебраїчна операція
Химия

Обчислення подвійних інтегралів методом осередків.


Обчислення подвійних інтегралів методом осередків.

Завантажити реферат: Обчислення подвійних інтегралів методом осередків

Численні методи можуть використовуватись для обчислення кратних інтегралів. Обмежимося розглядом подвійних інтегралів виду

I=Обчислення подвійних інтегралів методом осередків. (1)

Одним із найпростіших способів обчислення цього інтеграла є метод осередків. Розглянемо спочатку випадок, коли областю інтегрування G є прямокутник:
Обчислення подвійних інтегралів методом осередків.Обчислення подвійних інтегралів методом осередків.,
Обчислення подвійних інтегралів методом осередків..По теоремі про середнє знайдемо середнє значення функції f(x,y):

Обчислення подвійних інтегралів методом осередків. S = (ba) (dc). (2)

Обчислення подвійних інтегралів методом осередків.Вважатимемо, що середнє значення приблизно дорівнює значенню функції у центрі прямокутника, тобто.
Обчислення подвійних інтегралів методом осередків.. Тоді з (2) отримаємо вираз для наближеного обчислення подвійного інтеграла:

Обчислення подвійних інтегралів методом осередків. (3)

Точність цієї формули можна підвищити, якщо розбити область G на прямокутні осередки DОбчислення подвійних інтегралів методом осередків.ij (рис. 1): xi-1
Обчислення подвійних інтегралів методом осередків.i (i=1,2,…,M), yi-1
Обчислення подвійних інтегралів методом осередків.i (j=1,2,…,N). Застосовуючи до кожного осередку формулу (3), отримаємо

òòDGijf(x,y)dxdy»¦(Обчислення подвійних інтегралів методом осередків.)DxiDyi.

Підсумовуючи ці висловлювання за всіма осередками, знаходимо значення подвійного інтеграла:

Обчислення подвійних інтегралів методом осередків.I,Обчислення подвійних інтегралів методом осередків.j) (4)

У правій частині стоїть інтегральна сума; тому при необмеженому зменшенні периметрів осередків (або стягування їх у точки) ця сума прагне значення інтеграла для будь-якої безперервної функції f(x,y).

Можна показати, що похибка такого наближення інтеграла для одного осередку оцінюється співвідношенням

Rij»Обчислення подвійних інтегралів методом осередків.DxiDyjОбчислення подвійних інтегралів методом осередків..

Підсумовуючи ці висловлювання по всіх осередках і рахуючи всі їхні площі однаковими, отримуємо оцінку похибки методу осередків у вигляді

Обчислення подвійних інтегралів методом осередків.O(Dx2+Dy2).

Отже, формула (4) має другий порядок точності. Для підвищення точності можна використати звичайні методи згущення вузлів сітки. При цьому по кожній змінній кроки зменшують однакову кількість разів, тобто відношення M/N залишається постійним.

Якщо область G непрямокутна, то часом її доцільно призвести до прямокутного вигляду шляхом відповідної заміни змінних. Наприклад, нехай область задана у вигляді криволінійного чотирикутника:
Обчислення подвійних інтегралів методом осередків.,
Обчислення подвійних інтегралів методом осередків.. Цю область можна призвести до прямокутного вигляду за допомогою заміни
Обчислення подвійних інтегралів методом осередків.,
Обчислення подвійних інтегралів методом осередків.. Крім того, формула (4) може бути узагальнена і на випадок складніших областей.

Завдання. Знайти за допомогою методу осередків значення інтегралу
Обчислення подвійних інтегралів методом осередків., де
Обчислення подвійних інтегралів методом осередків. – область, обмежена функціями
Обчислення подвійних інтегралів методом осередків..

Текст програми.

#include

#include

float f(float, float);

void main() {

const float h1=.0005, h2=.001;

float s1, x, y, i, I;

clrscr();

s1 = h1 * h2;

I=0;

y=h2/2;

x=1-h1/2;

for(i=0;i<1/h2;i++) {

while (y<2*x-1) {

I+=s1*f(x,y);

x-=h1;

}

y+=h2;

x=1-h1/2;

}

cout<<"Площа інтеграла дорівнює:"<

getch();

}

float f (float x, float y) {

return x*x+y*y;

}

Блок-схеми програми.

Обчислення подвійних інтегралів методом осередків.

Обчислення подвійних інтегралів методом осередків.

Обчислення подвійних інтегралів методом осередків.

Виконання програми у математичному пакеті.

h1=.0005;

h2=.001;

s1 = h1 * h2;

I=0;

y=h2/2;

x=1-h1/2;

for i=1:1/h2

while y<2*x-1 I=I+s1*(x*x+y*y);

x=x-h1;

end

y=y+h2;

x=1-h1/2;

end

disp(‘Площа інтеграла дорівнює:’);

disp(I);

Залежно від кроків сітки отримуємо з різною точністю значення шуканого інтегралу

Обчислення подвійних інтегралів методом осередків.

Площа інтеграла дорівнює:

0.2190

Обчислення подвійних інтегралів методом осередків.

Обчислення подвійних інтегралів методом осередків.

Список використаної литературы.

1. Бахвалов Н.С. Чисельні методи. т.1 — М: Наука. 1975.

2. Демидович Б.П., Марон І.А. Основи обчислювальної математики. — М.: Наука, 1966.

3. Каліткін Н.Н Чисельні методи. — М.: Наука, 1978.

4. Турчак Л. І. Основи чисельних методів. — М.: Наука, 1987.

© Реферат плюс



Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *