Бінарна алгебраїчна операція
Химия

— Обчислення координат центру тяжіння плоскої фігури


- Обчислення координат центру тяжіння плоскої фігури

Завантажити реферат: Обчислення координат центру тяжіння плоскої фігури

Координати центру важкості

Нехай на площині Oxy дана система матеріальних точок

P1(x1, y1); P2(x2, y2); … , Pn(xn,yn)

з масами m1,m2,m3, . . . mn.

Твори ximi та yimi називаються статичними моментами маси mi щодо осей Oy та Ox.

Позначимо через xc та yc координати центру тяжкості даної системи. Тоді координати центру тяжкості описаної матеріальної системи визначаються формулами:

- Обчислення координат центру тяжіння плоскої фігури

- Обчислення координат центру тяжіння плоскої фігури

Ці формули застосовуються при відшуканні центрів тяжкості різних фігур і тіл.

Центр тяжкості плоскої фігури

Нехай ця фігура, обмежена лініями y=f1(x), y=f2(x), x=a, x=b, є матеріальну плоску фігуру. Поверхневою щільністю, тобто масою одиниці площі поверхні, будемо вважати постійною та рівною d для всіх частин фігури.

Розіб’ємо цю фігуру прямими x = a, x = x1, . . . , x=xn=b смужки ширини Dx1, Dx2, . . ., Dxn. Маса кожної смужки дорівнюватиме добутку її площі на щільність d. Якщо кожну смужку замінити прямокутником (рис.1) з основою Dxi та висотою f2(x)-f1(x), де x- Обчислення координат центру тяжіння плоскої фігури, то маса смужки буде приблизно дорівнює

- Обчислення координат центру тяжіння плоскої фігури (i = 1, 2, …, n).

Приблизно центр тяжкості цієї смужки буде в центрі відповідного прямокутника:

- Обчислення координат центру тяжіння плоскої фігури

Замінюючи тепер кожну смужку матеріальною точкою, маса якої дорівнює масі відповідної смужки та зосереджена в центрі тяжкості цієї смужки, знайдемо наближене значення центру тяжкості всієї фігури:

- Обчислення координат центру тяжіння плоскої фігури

Переходячи до межі при
- Обчислення координат центру тяжіння плоскої фігури, Отримаємо точні координати центру тяжкості даної фігури:

- Обчислення координат центру тяжіння плоскої фігури

Ці формули справедливі для будь-якої однорідної (тобто має постійну щільність у всіх точках) плоскої фігури. Як видно, координати центру тяжкості не залежать від густини d фігури (у процесі обчислення d скоротилося).

Координати центру тяжкості плоскої фігури

У попередньому розділі вказувалося, що координати центру важкості системи матеріальних точок P1, P2, . . ., Pn з масами m1, m2, . . ., mn визначаються за формулами

- Обчислення координат центру тяжіння плоскої фігури.

У межі при
- Обчислення координат центру тяжіння плоскої фігури інтегральні суми, що стоять у чисельниках та знаменниках дробів, перейдуть у подвійні інтеграли, таким чином виходять точні формули для обчислення координат центру тяжкості плоскої фігури:

- Обчислення координат центру тяжіння плоскої фігури

Ці формули, виведені для плоскої фігури з поверхневою щільністю 1, залишаються в силі і для фігури, що має будь-яку іншу постійну у всіх точках щільність g.

- Обчислення координат центру тяжіння плоскої фігури

Якщо ж поверхнева щільність змінна:

- Обчислення координат центру тяжіння плоскої фігури

то відповідні формули матимуть вигляд

- Обчислення координат центру тяжіння плоскої фігури

Вирази

- Обчислення координат центру тяжіння плоскої фігури

і

називаються статичними моментами плоскої фігури D щодо осей Oy та Ox.
- Обчислення координат центру тяжіння плоскої фігури Інтеграл

виражає величину маси аналізованої фігури.

Теореми Гульден.

Теорема 1.

Площа поверхні, отриманої при обертанні дуги плоскою кривою навколо осі, що лежить в площині цієї кривої і не перетинає її, дорівнює довжині кривої дуги, помноженої на довжину кола, описаної центром тяжкості дуги.

Теорема 2.

Обсяг тіла, отриманого при обертанні плоскої фігури навколо осі, що не перетинає її і розташованої в площині фігури, дорівнює добутку цієї фігури на довжину кола, описаної центром тяжкості фігури.

приклади.

1)

Умова: Знайти координати центру тяжкості півкола X2+Y2=a2, розташованої над віссю Ox.
- Обчислення координат центру тяжіння плоскої фігуриРішення: Визначимо абсцису центру тяжкості:

- Обчислення координат центру тяжіння плоскої фігури

,

- Обчислення координат центру тяжіння плоскої фігури

Знайдемо тепер ординату центру тяжкості:

2)

Умова: Визначити координати центру тяжкості сегмента параболи y2=ax, що відсікається прямою, х=а (рис. 2)
- Обчислення координат центру тяжіння плоскої фігури Рішення: У цьому випадку

- Обчислення координат центру тяжіння плоскої фігури

- Обчислення координат центру тяжіння плоскої фігури тому

(оскільки сегмент симетричний щодо осі Ox)

3)

- Обчислення координат центру тяжіння плоскої фігури

Визначити координати центру тяжкості чверті еліпса (рис. 3)

вважаючи, що поверхнева густина у всіх точках дорівнює 1.

- Обчислення координат центру тяжіння плоскої фігури Рішення: За формулами

- Обчислення координат центру тяжіння плоскої фігури

отримуємо:

4)
- Обчислення координат центру тяжіння плоскої фігуриУмова:

Знайти координати центру тяжіння дуги ланцюгової лінії

.
- Обчислення координат центру тяжіння плоскої фігуриРішення:
- Обчислення координат центру тяжіння плоскої фігури Оскільки крива симетрична щодо осі Oy, її центр тяжкості лежить на осі Oy, тобто. Xc= 0. Залишається знайти
- Обчислення координат центру тяжіння плоскої фігури . Маємо

- Обчислення координат центру тяжіння плоскої фігури

тоді

- Обчислення координат центру тяжіння плоскої фігури

довжина дуги

Отже,

5)

- Обчислення координат центру тяжіння плоскої фігуриУмова:

Користуючись теоремою Гульдена, знайти координати центру тяжкості чверті кола.

.
- Обчислення координат центру тяжіння плоскої фігури Рішення:

При обертанні чверті кола навколо осі Ох отримаємо півкулю, обсяг якої дорівнює
- Обчислення координат центру тяжіння плоскої фігури
- Обчислення координат центру тяжіння плоскої фігури Відповідно до другої теореми Гульдена,
- Обчислення координат центру тяжіння плоскої фігури

Звідси

  1. Центр тяжкості чверті кола лежить осі симетрії, тобто. на бісектрисі I координатного кута, а тому
  2. Список використаної літератури

Данко П.Є., Попов А.Г., Кожевнікова Т.Я. «Вища математика у вправах і завданнях», частина 2, «Вища школа», Москва, 1999.



Піскунов Н.С. «Диференціальне та інтегральне числення для втузів», том 2, «Наука», Москва, 1965

© Реферат плюс

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *