Бінарна алгебраїчна операція
Химия

Невласний інтеграл з декількома особливостями


Невласний інтеграл з декількома особливостями

Завантажити реферат: Невласний інтеграл з декількома особливостями

Дамо визначення насамперед невласному інтегралу

Нехай w власна або права невласна точка числової прямої. Функція f: [ a ; w ) R интегрируема по Риману на любом
отрезке [ a , b ] Про [ a , w )

Тогда, если   существует:
               

То его величина обозначается  

Такой интеграл называется несобственным интегралом функции f
  на промежутке [ a , w )

Если предел не
существует или равен бесконечности, то   говорят,что данный интеграл
  расходится. Если предел существует и равен конечному числу, то говорят,
что данный интеграл сходится

Если функция   f   неотрицательна   и  
непрерывна   на промежутке [ a , b ) ( b может   быть  
бесконечным), то несобственный   интеграл равен площади неограниченного
открытого множества   G ={( x , y ): a < x < b ,0< y < f ( x
)}

Аналогично определяется несобственный интеграл на
полуинтервале ( a , b ]

Якщо функція визначена на інтервалі (a, b) і необмежена в точках a і b і при певному виборі точки з (a, b) існують невласні інтеграли на напівінтервалах (a, c) і[ c , b ), c О ( a , b )

При этом существование и значение данного интеграла не
зависит от выбора точки   с . Тогда

Это и есть несобственный интеграл с двумя особенностями

Если функция f :< a , b > R   имеет на промежутке
< a , b > конечное число особых точек и   Т:   a = k 1< k
2<…< kn = b _ такое разбиение   < a , b >, что на каждом
  из< ki , ki +1>, i =1 ё n , особой   точкой функции является
только одна из концевых точек. Тогда, если каждый из интегралов c ходится :

Аналогично, интеграл расходится, значит

Это означает то, что данный интеграл либо имеет бесконечную
величину либо не имеет конкретного значения

На рисунка представлен несобственный интеграл с несколькими
особенностями

  Приведем пример, на котором отчетливо можно
проследить разницу между понятием «предел не существует» и «предел равен
бесконечности». Интеграл    расходится   при   b

На рисунке видно, что в зависимости от значения b площадь
под графиком принимает значения от   0   д2. Однако b не определена
конкретно, значит не существует и предел

На концах отрезка   [0,2] підінтегральну функцію визначено. Але x = 1 є особливою точкою

Перш ніж вирішувати цей інтеграл, слід перевірити на збіжність такі інтеграли:

Спочатку розглянемо

F (b) = ln [(1- x )/(1+ x )] немає межі при b 1 значить вихідний інтеграли розходяться

Але слід зазначити, що досліджувати невласний інтеграл на збіжність, корисно уважно вивчити підінтегральну функцію, знайти її особливі точки і побудувати ескіз. У нашому прикладі функція на відрізку [0,2] виглядає приблизно так

Формули інтегрального обчислення для невласних інтегралів

1) Формула Ньютона-Лейбніца

Нехай функція f безперервна на [ a , b ), и F — первообразная
f .Тогда

Здесь еще раз необходимо напомнить,что перед применением
формулы следует убедиться в непрерывности f ( x )

2)Линейность несобственного интеграла

Если несобственные интегралы

Сходятся,то для любых чисел   m , n сходятся
несобственный интеграл

3)Интегрирование по частям

Если функции u = u ( x ), v = v ( x ) непрерывно
дифференцируемы на промежутке [ a , b ),то

Причем,если любые два из выражений

имеют   смысл (т.е.их пределы конечны),то имеет смысл и
третье.Посмотрим пример(5):

Причем

4)Замена переменной в несобственном интеграле

Пусть функция f(x) непрерывна на [a,b); функция g
непрерывно дифференцируема на [t1,t2),причем g(t1)=a;b=limg

При этом интегралы в обеих частях равенства одновременно
сходятся или расходятся. Может случиться, что при замене переменной
несобственный интеграл становится собственным, и наоборот:

Пример 6:

Монотонность несобственного интеграла

Если функции f(x) и g(x) интегрируемы по Риману в
несобственном смысле на промежутке <a,b> и f(x)<g(x) для всех x О
<a,b>,то

В вышеперечисленных свойствах явно просматривается сходство
с поведением обычных Римановских интегралов. Однако нельзя автоматически, без
анализа, переносить все свойства собственных интегралов на несобственные
интегралы. Например, если функции f , g интегрируемы по Риману на< a , b
> в собственном смысле, то их произведение fg тоже интегрируемо. Для несобственных
интегралов это свойство выполняется не всегда:

Пример7:

f = g =1/ Ц x на промежутке (0,1]

тобто. сходиться, а fg =1/ x

Інтеграл розходиться, функція fg =1/ x не інтегрована у невласному значенні на (0,1]

Невласні інтеграли від знакових функцій

У курсі математичного аналізу зустрічаються невласні інтеграли, значення яких точно обчислити важко, наприклад (8.1)

і тоді перед студентом ставиться завдання: досліджувати невласний інтеграл на збіжність, не враховуючи його значення. Для цього необхідно застосовувати такі методи:

Ознака порівняння

Основна ознака дослідження збіжності невласних інтегралів від знакопостійних функцій. Суть його зводиться до підбору так званої функції порівняння, невласний інтеграл від якої на заданому проміжку легко вирахувати, і дати висновок про збіжність вихідного інтеграла, використовуючи такі твердження:

Нехай функції f(x) та g(x) невід’ємні на напівінтервалі [a,b) и f(x)<g(x).Тогда из сходимости

Справедливость утверждения можно осмыслить, посмотрев на
рисунки 6 и 7.Здесь же необходимо заметить, что из сходимости

Для применения признака сравнения необходим набор
“эталонных” функций. Основными являются степенные функции вида  

Посмотрим, как ведут себя такие функции на промежутке [a, ),
а также попробуем применить с их использованием признак сравнения

Если p=1:смотрим примеры 3 и 7.Интеграл расходится на
промежутках [a, ) и на [a,b) (при неограниченности функции в точке b)

Теперь исследуем на сходимость некоторые функции:

Пример 8:

Пример 9:

Функции f(x) и g(x) знакопостоянны на [a;b), g(x)#0,
на данном интервале, либо существует предел

Рассмотрим, как ведёт себя степенная функция на интервале
(0;a]:

Якщо підінтегральна функція має особливу точку x=b, тоді треба знайти функцію порівняння у вигляді:

Дослідження якої при заміні змінної y=xb призведе нас до щойно розглянутого випадку на інтервалі (0;a)

Приклад 10

Видно, що інтеграл розходиться. На інтервалі[3;5)функціяпорівняннянабуваєнаступноговигляду

Бувають випадки, коли для пошуку функції порівняння використовується таблиця еквівалентних замін

При х 0

Ln(1+x)~x

Sinx~x

Tgx~x

Arcsinx,arctgx~x

Не можна забувати, що за x

Cosx, sinx — це обмежені функції arctgx p /2,(- p /2 при x — ), arcctgx 0( p при x — )

При x 0 Arccosx, arcctgx p /2

Тепер згадаймо приклад 8.1

Вирішимо за допомогою правила Лопіталя:

Приклад 11

Отриманий інтеграл розходиться

Ознаки Абеля-Діріхле збіжності невласних інегралів

Цей ознака у тому, що й функції f ( x ) і g ( x ):[a;b)Rтовонизадовольняютьумовам:[a;b)Rтоониудовлетворяютусловиям:

а) при xbg (x) локально монотонна і обмежена на[a; b)
[a;b)

Справедливо:

Якщо g(x) та f(x) задовольняють умовам на інтервалі[a;b):[a;b):

a)g(x) локально монотонна при xb,g(x) 0

Дамо визначення невласного інтеграла від знакозмінних функцій

Якщо інтеграл сходиться, від функції f ( x ) називається абсолютно схожим,

І навпаки, якщо інтеграл сходиться абсолютно, він сходиться

Аналогічно для розбіжного інтеграла. За умови, що інтеграл від | f (x) | розходиться, як від f(x) –сходится, то невласний інтеграл сходиться умовно. Зазначимо, що з знакопостійних функцій абсолютна збіжність збігається зі звичайною. У таких випадках і застосовується ознака Абеля-Діріхле

© Реферат плюс



Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *