Тести та шпаргалки

Метод скінченних елементів


Метод скінченних елементівМетод скінченних елементівМетод скінченних елементівМетод скінченних елементівМетод скінченних елементівМетод скінченних елементівМетод скінченних елементівМетод скінченних елементівМетод скінченних елементівМетод скінченних елементівМетод скінченних елементівМетод скінченних елементівМетод скінченних елементівМетод скінченних елементівМетод скінченних елементівМетод скінченних елементівМетод скінченних елементівМетод скінченних елементівМетод скінченних елементівМетод скінченних елементівМетод скінченних елементівМетод скінченних елементівМетод скінченних елементівМетод скінченних елементівМетод скінченних елементівМетод скінченних елементівМетод скінченних елементівМетод скінченних елементів

Основи методу скінченних елементів і наделементи

Метод скінченних елементів (МКЕ) займає виняткове місце в теорії структурного аналізу, а його узагальнення — метод суперелементів — дозволяє закономірно ввести і описати ідею ієрархічно побудованих складних систем.

Розглянемо плоский каркасний каркас промислової будівлі, стійки якого жорстко закріплені в фундаментах, а ригелі жорстко прикріплені до стовпів. Обмежимося розглядом випадком, коли на раму діє лише вузлове навантаження. Нумеруємо вузли — точки перетину осей стрижнів один з одним і «землею». На кожному вузлі я рами, на нього можуть діяти зосереджені сили fx, fy і момент Мзадано в деякій глобальній системі координат, пов’язаної з кадром.

Введемо вектор {fi} узагальнених сил, що діють на каркас у вузлі я

(один)

Сукупність зовнішніх впливів на весь кадр буде характеризуватися вектором {Ф}:

(2)

Де Н-кількість вузлів рамки. Розмір цього вектора 3xН (поки що ми не беремо до уваги той факт, що деякі вузли прикріплені до «землі»). Під дією зовнішніх сил {Ф} стрижні рамки деформуються, а вузли рухаються. Після переміщення вузлів кадру ми опишемо в глобальній системі координат. Переміщення {i} кожного вузла характеризується трьома числами — лінійними зміщеннями xi, yi і кут повороту я, які є компонентами вектора узагальнених переміщень вузлів я:

(3)

І зміщення всієї рамки на вектор :

(чотири)

Тут, як і вище, не враховуються умови фіксації стійок каркаса і вузлів.

Напружено-деформований стан кожного стрижня зручніше характеризувати в пов’язаній з ним локальній системі координат. Вісь х цієї системи координат буде спрямована від «початку» q стрижень до «кінця» р (поняття «початок» і «кінець» умовні і потрібні лише для того, щоб задати позитивний напрямок на осі x’), вісь y’ знаходиться в площині рамки, а вісь z‘ перпендикулярна до площини. Позитивні напрямки осі у‘і z‘ виберіть так, щоб вони утворювали правильну систему координат з х’.

Намалюємо по 2 перетину в кожному стрижні каркаса на відстані нескінченно близько до вузлів — кінців стрижнів. q і р. У кожному з отриманих рішень, у загальному випадку, є три зусилля Н, Q, Мприкріплений до вузла. Введемо вектор узагальнених сил у перерізі c’ стержня м:

(5)

І вектор зусилля {fm}, що характеризує напружений перетин стержня м через вектори сил у його кінцевих стрижнях q і р («початок» і «кінець»)

(6)

(просте означає, що компоненти {fm‘} обчислюються в локальній системі координат).

вектор {fm‘} повністю характеризує напружено-деформований стан стержня, якщо на його внутрішні точки не застосовано зовнішні впливи і відомі характеристики жорсткості стержня. Звичайно, шість компонент вектора {fm‘} пов’язані між собою рівняннями рівноваги стрижня як твердого тіла, але далі ці рівняння явно не використовуються.

Напружено-деформований стан того ж стрижня характеризується також вектором узагальнених переміщень кінців стрижня q і рякий будується з відповідних компонент вектора, див. вираз (4):

(7)

Зауважимо, що при такому введенні вектора узагальнених переміщень стрижня його напружено-деформований стан залежить не тільки від значень {м}, а й про способи кріплення стрижня м до вузлів q і k і його жорсткість.

Наприклад, якщо кін q поперечина була шарнірно прикріплена до стійки, потім зусилля М в поперечному перерізі q дорівнюватиме нулю, незалежно від значень компонентів {м}.

Векторні компоненти {fm‘} подано в локальній системі відліку, а компоненти вектора {м} — у глобальному. Щоб встановити зв’язок між векторами {fm‘} і {м} у найпростішому вигляді запишемо компоненти {м} також знаходиться в локальній системі відліку, пов’язаної з розглянутим стрижнем. Позначимо матрицю перетворення координат

(вісім)

через [L]:

(9)

Тоді, наприклад, компоненти вектора в локальній системі координат будуть записані у вигляді

(десять)

Аналогічно, компоненти вектора в глобальній системі відліку пов’язані з компонентами , відношенням

(одинадцять)

Вектори узагальнених сил і переміщень для стрижня, виражені в локальній і глобальній системах відліку, пов’язані співвідношенням

(12)

де матриця [Λ] має форму

(13)

Введемо матрицю жорсткості стрижня [km’]характеризуючи зв’язок між векторами {fm‘} і {м}

(чотирнадцять)

Спосіб отримання матриці жорсткості [km’] є предметом особливого розгляду. Конкретні приклади розрахунку окремих компонентів матриці [km’] для стрижнів з різними умовами закріплення вузлів наведено в курсах будівельної механіки. Фізична сутність процесу отримання матриці [km’] полягає в необхідності розв’язати задачі структурної механіки для окремого стрижня — отримати вектор сил у кінцевих ділянках стержня при заданих переміщеннях кінців стрижнів (крайова задача першого роду) або отримати вектор переміщень кінців стрижня для заданих силових впливів на його кінцях (крайова задача другого роду). Для стрижневих елементів з постійною по довжині жорсткістю задача вирішується в закритому вигляді і матриці [km’] відомий. Для фізичних елементів більш загального вигляду — пластинчастих різної форми, оболонки, складних елементів, що є композицією елементів, які є простішими — процедура отримання матриці [km’] зводиться до реального вирішення конкретної задачі структурної механіки або механіки суцільного середовища. Як правило, вирішити цю проблему в загальному вигляді і матриці жорсткості не вдається [km’] будується чисельно для кожного з елементів, що утворюють структуру.

У подальшому передбачається, що матриця [km’] відомий. Для стрижня, обидва кінці якого жорстко прикріплені до вузлів, він має вигляд:

(п’ятнадцять)

де Е — модуль пружності матеріалу стрижня; С— площа поперечного перерізу; Дж— момент інерції перерізу; я=EJ/л; л— довжина стрижня.

Фактичне значення компонентів і блоків матриці [km’] ясно. Блокувати [Kqq] а його складові характеризують сили, що виникають у перерізі q стрижень при зміщенні вузла qі блок [Kqr] а його складові — сили в перерізі q стрижень при зміщенні вузла р. Залежно від орієнтації систем відліку та знакових правил при визначенні сил можуть змінюватися знаки деяких компонентів матриці. [Km].

Основне співвідношення (15) дає змогу виразити сили в кінцевих ділянках кожного стрижня через переміщення його кінців — вузлів системи. З іншого боку, сили в кінцевих ділянках стрижнів до знака дорівнюють силам, що діють з боку стрижнів на вузли, тому матриця [Km] дозволяє зв’язати переміщення вузлів стрижневої системи із силами, з якими стрижні діють на вузли під час переміщень останніх.

Запишемо рівноважну систему вузлів. Для вузла ми маємо систему з трьох рівнянь рівноваги:

(16)

де підсумовування застосовується до всіх стрижнів, що сходяться у вузлі яа З позначає перетин кожного з цих стрижнів, нескінченно близький до вузла. Кількість цих рівнянь дорівнює кількості невідомих переміщень вузлів. Але оскільки кількості {fmc} залежать не тільки від переміщень зазначеного вузла, але, в силу (14)-(15), також від переміщень сусідніх вузлів, з якими вузол я з’єднаних принаймні одним стрижнем, то рівняння (16) для вузла я включає зміщення сусідніх вузлів. Для визначення переміщень сусідніх вузлів необхідно записати системи рівнянь типу (16) для всіх вузлів системи та спільно розв’язати.

Рівняння (16) зручно записувати в глобальній системі відліку, а співвідношення (14) встановлюється в локальній системі координат, пов’язаної з окремими стержнями.

Для постійної роботи в глобальній системі координат ми виразимо відношення (14) у глобальній системі координат за допомогою співвідношень (10)-(13):

. (17)

Помножте це рівняння зліва на [Λ]-один і майте на увазі, що через ортогональність [Λ] є рівність

(вісімнадцять)

Потім

(19)

Вираз (19) визначає матрицю [Km] у глобальній системі координат.

(двадцять)

де підсумовування стосується всіх стрижнів, підключених до вузла я. Повна система рівнянь рівноваги для стрижневої системи с Н вузли в матричній формі набувають вигляду:

(21)

Якщо будь-який вузол Р не пов’язаний з жодним членом вузлом рпотім блок [Kpr] в матриці (21) буде тотожно дорівнювати нулю. Таким чином, можна розраховувати блоки [Kqq] і [Kqr] для окремих стрижнів на основі інформації про систему в цілому можна побудувати систему рівнянь рівноваги (21) щодо шуканих переміщень {}. Вектор зовнішніх сил {Ф} вважається відомим.

Наявність опорних обмежень призводить до того, що деякі складові вектора відомо наперед. Відповідні компоненти повинні бути виключені з шуканого вектора {}, а також стовпці з однаковими номерами з матриці (21). Рівняння рівноваги для фіксованих вузлів не складається, що еквівалентно зменшенню кількості рівнянь (кількості рядків у матриці) системи (21).

Після цього систему (21) можна розв’язати відносно {}. Зазвичай для розв’язання використовуються прямі методи, наприклад метод Гаусса послідовного усунення невідомих. Знайти {}, за формулами (14) або (19) можна визначити сили в усіх стрижневих елементах системи, включаючи стрижні, що примикають до опорних вузлів. На цьому етап статичного аналізу стержневої конструкції завершено.

Література:

Геммерлінг Г. А. Комп’ютерне проектування сталевих будівельних конструкцій. — М.: Стройиздат, 1987.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *