Математичний маятник - завантажити безкоштовно
Химия

Математичний маятник — завантажити безкоштовно


Завантажити реферат: Математичний маятник

Наразі вже неможливо перевірити легенду про те, як Галілей, стоячи на молитві в соборі, уважно спостерігав за хитанням бронзових люстр. Спостерігав і визначав час, витрачений люстрою рух туди й назад. Цей час потім назвали періодом вагань. Годинника у Галілея не було, і, щоб порівняти період коливань люстр, підвішених на ланцюгах різної довжини, він використовував частоту биття свого пульсу.

Маятники використовують для регулювання ходу годинника, оскільки будь-який маятник має певний період коливань. Маятник знаходить також важливе застосування у геологічній розвідці. Відомо, що у різних місцях земної кулі значення g різні. Різні вони тому, що Земля — не зовсім правильна куля. Крім того, в тих місцях, де залягають щільні породи, наприклад деякі металеві руди, значення g аномально високо. Точні виміри g за допомогою математичного маятника іноді дозволяють виявити такі родовища.

Рівняння руху математичного маятника

Математичним маятником називається важка матеріальна точка, яка рухається або вертикальним колом (плоский математичний маятник), або сферою (сферичний маятник). У першому наближенні математичним маятником вважатимуться вантаж малих розмірів, підвішений на нерозтяжною гнучкою нитки.

Розглянемо рух плоского математичного маятника по колу радіуса l із центром у точці О (рис. 1). Визначатимемо положення точки М (маятника) кутом відхилення j радіуса ОМ від вертикалі. Направляючи дотичну M t у бік позитивного відліку кута j складемо природне рівняння руху. Це рівняння утворюється з рівняння руху mW = F + N (1), де F — активна сила, що діє на точку, а N — реакція зв’язку.

Математичний маятник - завантажити безкоштовно

Рис.1

Рівняння (1) ми отримали за другим законом Ньютона, який є основним законом динаміки і свідчить, що похідна за часом від кількості руху матеріальної точки дорівнює чинній її силі, тобто.

Математичний маятник - завантажити безкоштовно (2).

Вважаючи масу постійною, можна уявити попереднє рівняння у вигляді

Математичний маятник - завантажити безкоштовно або Математичний маятник - завантажити безкоштовно,

де W є прискорення точки.

Отже, рівняння (1) у проекції на вісь t дасть нам одне з природних рівнянь руху точки заданою нерухомою гладкою кривою:

Математичний маятник - завантажити безкоштовно або Математичний маятник - завантажити безкоштовно.

У нашому випадку отримаємо у проекції на вісь t

де m є маса маятника.

Так як Математичний маятник - завантажити безкоштовно або Математичний маятник - завантажити безкоштовно, звідси знаходимо

Математичний маятник - завантажити безкоштовно.

Скорочуючи на m і вважаючи остаточно матимемо:

Математичний маятник - завантажити безкоштовно,

Математичний маятник - завантажити безкоштовно,

Математичний маятник - завантажити безкоштовно,

Математичний маятник - завантажити безкоштовно(4).

Розглянемо спочатку випадок малих вагань. Нехай у початковий момент маятник відхилено від вертикалі на кут j і опущено без початкової швидкості. Тоді початкові умови будуть:

при t = 0, Математичний маятник - завантажити безкоштовно(5).

З інтегралу енергії:

Математичний маятник - завантажити безкоштовно(6),

де V — потенційна енергія, а h — постійна інтегрування, слідує, що за цих умов у будь-який момент часу кут jМатематичний маятник - завантажити безкоштовно j0. Значення постійної h визначається за початковими даними. Припустимо, що кут j0 малий (j0Математичний маятник - завантажити безкоштовно1); тоді кут j буде також малий, і можна приблизно покласти sinj »j. При цьому рівняння (4) набуде вигляду

Математичний маятник - завантажити безкоштовно(7).

Рівняння є диференціальне рівняння простого гармонійного коливання. Загальне рішення цього рівняння має вигляд

Математичний маятник - завантажити безкоштовно(8),

де A і B чи a і e суть постійні інтегрування.

Звідси відразу знаходимо період (T) малих коливань математичного маятника (період — проміжок часу, протягом якого точка повертається в колишнє положення з тією самою швидкістю)

Математичний маятник - завантажити безкоштовно і Математичний маятник - завантажити безкоштовно

Математичний маятник - завантажити безкоштовно,

т. до. sin має період рівний 2 p , то w T = 2 p

Математичний маятник - завантажити безкоштовно(9).

Для знаходження закону руху за початкових умов (5) обчислюємо:

Математичний маятник - завантажити безкоштовно(10).

Підставляючи значення (5) у рівняння (8) та (10), отримаємо:

j0 = A, 0 = w B, тобто B =0. Отже, закон руху для малих коливань за умов (5) буде:

j = j0 cosw t (11).

Знайдемо тепер точне рішення задачі про плоский математичний маятник. Визначимо спочатку перший інтеграл рівняння руху (4). Так як

Математичний маятник - завантажити безкоштовно,

то (4) можна подати у вигляді

Математичний маятник - завантажити безкоштовно.

Звідси, помножуючи обидві частини рівняння на dj та інтегруючи, отримаємо:

Математичний маятник - завантажити безкоштовно(12).

Позначимо тут через j0 кут максимального відхилення маятника; тоді при j = j0 матимемо
Математичний маятник - завантажити безкоштовно, Звідки C = w 2cosj0. В результаті інтеграл (12) дає:

Математичний маятник - завантажити безкоштовно(13),

де w визначається рівністю (3).

Цей інтеграл є інтегралом енергії і може бути безпосередньо отриманий з рівняння

Математичний маятник - завантажити безкоштовно(14),

де Математичний маятник - завантажити безкоштовно — робота на переміщенні M0 M активної сили F, якщо врахувати, що в нашому випадку v0 = 0,
Математичний маятник - завантажити безкоштовно і Математичний маятник - завантажити безкоштовно.

З рівняння (13) видно, що під час руху маятника кут j змінюватиметься між значеннями + j0 і — j0 (|j |
Математичний маятник - завантажити безкоштовно j0, оскільки Математичний маятник - завантажити безкоштовно), тобто маятник здійснюватиме коливальний рух. Умовимося відраховувати час t від моменту проходження маятника через вертикаль OA за його руху право (див. рис.). Тоді матимемо початкову умову:

при t = 0, j = 0 (15).

Крім того, під час руху з точки A буде Математичний маятник - завантажити безкоштовно; витягуючи з обох частин рівності (13) квадратний корінь, отримаємо:

Математичний маятник - завантажити безкоштовно.

Розділяючи тут змінні, матимемо:

Математичний маятник - завантажити безкоштовно(16).

Так як

Математичний маятник - завантажити безкоштовно,

Математичний маятник - завантажити безкоштовно,

то

Математичний маятник - завантажити безкоштовно.

Підставляючи цей результат рівняння (16), отримуємо:

Математичний маятник - завантажити безкоштовно(17).

Щоб проінтегрувати рівняння (17) потрібно знайти квадратуру лівої частини. Для цього перейдемо від j до нових змінних a, вважаючи:

Математичний маятник - завантажити безкоштовно, де Математичний маятник - завантажити безкоштовно(18).

Тоді

Математичний маятник - завантажити безкоштовно,

звідки

Математичний маятник - завантажити безкоштовно.

Крім того,

Математичний маятник - завантажити безкоштовно.

Підставляючи всі ці величини рівняння (17) і замінюючи w його значенням (3), отримаємо:

Математичний маятник - завантажити безкоштовно(19).

За прийнятими початковими умовами (15) при t = 0 кут j = 0, отже, як видно з (18), і a = 0. Тоді, беручи від обох частин рівняння (19) певні інтеграли праворуч від 0 до t, а зліва від 0 до a отримаємо закон руху маятника у вигляді

Математичний маятник - завантажити безкоштовно(20).

Інтеграл, що стоїть у лівій частині рівності (20), є еліптичним інтегралом першого роду. Розмір k називається модулем еліптичного інтеграла. Цей інтеграл є функцією верхньої межі та модуля, тобто

Математичний маятник - завантажити безкоштовно(21).

Якщо рівності (21) розглядати верхню межу a як функцію від інтеграла u , то така функція зветься амплітуди u і позначається так:

Математичний маятник - завантажити безкоштовно
або

Математичний маятник - завантажити безкоштовно (22).

Беручи від обох частин рівності (22) синус, ми отримаємо:

Математичний маятник - завантажити безкоштовно(23).

Функція sinu (синус-амплітуда u) є так званою еліптичною функцією Якобі. Оскільки, згідно з рівнянням (20),

Математичний маятник - завантажити безкоштовно, то, переходячи в рівності (23) від a до j за допомогою формули (18), знайдемо закон руху маятника, виражений еліптичною функцією sin , як

Математичний маятник - завантажити безкоштовно(24).

Період коливань

Знайдемо період T коливання маятника. З положення j = 0 в положення j = j0 маятник надходить за чверть періоду. Оскільки відповідно до рівності (18), при j = 0 і a = 0, а при j = j0 величина
Математичний маятник - завантажити безкоштовно, то з рівняння (20) маємо:

Математичний маятник - завантажити безкоштовно(25).

Таким чином, визначення періоду коливань маятника зводиться до обчислення величини

Математичний маятник - завантажити безкоштовно(26),

чверть періоду еліптичного інтеграла (21).

Відомо (формула Валліса), що

Математичний маятник - завантажити безкоштовно(27).

Розкладаючи у виразі (26) підінтегральну функцію в ряд, отримаємо:

Математичний маятник - завантажити безкоштовно.

Тоді, використовуючи формулу (27), матимемо:

Математичний маятник - завантажити безкоштовно(28).

Підставляючи це значення K на рівність (25) і враховуючи, що

Математичний маятник - завантажити безкоштовно,

отримаємо для періоду коливань плоского математичного маятника вираз

Математичний маятник - завантажити безкоштовно(29).

Отже, що більше j0 (кут розмаху), то більше вписувалося період коливання маятника. Таким чином, математичний маятник властивістю ізохронності не має. Якщо за малих розмірів обмежитися у формулі (29) лише двома першими членами, то, вважаючи
Математичний маятник - завантажити безкоштовно, отримаємо наближений вираз періоду

Математичний маятник - завантажити безкоштовно(30).

Висновки

  1. Отримано рівняння простого гармонійного коливання, закон руху малих коливань, закон руху маятника через еліптичну функцію.
  2. Отримано вираз для періоду коливань маятника.

бібліографічний список

  1. Бухгольц Н. Н. Основний курс теоретичної механіки. — М.: Наука, 1969 р.
  2. Боровий А., Херувимов А. Коливання та маятники. — Ж.: Квант, № 8, 1981 р.

© Реферат плюс



Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *