Математичний маятник — завантажити безкоштовно

Наразі вже неможливо перевірити легенду про те, як Галілей, стоячи на молитві в соборі, уважно спостерігав за хитанням бронзових люстр. Спостерігав і визначав час, витрачений люстрою рух туди й назад. Цей час потім назвали періодом вагань. Годинника у Галілея не було, і, щоб порівняти період коливань люстр, підвішених на ланцюгах різної довжини, він використовував частоту биття свого пульсу.

Маятники використовують для регулювання ходу годинника, оскільки будь-який маятник має певний період коливань. Маятник знаходить також важливе застосування у геологічній розвідці. Відомо, що у різних місцях земної кулі значення g різні. Різні вони тому, що Земля — не зовсім правильна куля. Крім того, в тих місцях, де залягають щільні породи, наприклад деякі металеві руди, значення g аномально високо. Точні виміри g за допомогою математичного маятника іноді дозволяють виявити такі родовища.

Рівняння руху математичного маятника

Математичним маятником називається важка матеріальна точка, яка рухається або вертикальним колом (плоский математичний маятник), або сферою (сферичний маятник). У першому наближенні математичним маятником вважатимуться вантаж малих розмірів, підвішений на нерозтяжною гнучкою нитки.

Розглянемо рух плоского математичного маятника по колу радіуса l із центром у точці О (рис. 1). Визначатимемо положення точки М (маятника) кутом відхилення j радіуса ОМ від вертикалі. Направляючи дотичну M t у бік позитивного відліку кута j складемо природне рівняння руху. Це рівняння утворюється з рівняння руху mW = F + N (1), де F — активна сила, що діє на точку, а N — реакція зв’язку.

Рис.1

Рівняння (1) ми отримали за другим законом Ньютона, який є основним законом динаміки і свідчить, що похідна за часом від кількості руху матеріальної точки дорівнює чинній її силі, тобто.

(2).

Вважаючи масу постійною, можна уявити попереднє рівняння у вигляді

або ,

де W є прискорення точки.

Отже, рівняння (1) у проекції на вісь t дасть нам одне з природних рівнянь руху точки заданою нерухомою гладкою кривою:

або .

У нашому випадку отримаємо у проекції на вісь t

де m є маса маятника.

Так як або , звідси знаходимо

.

Скорочуючи на m і вважаючи остаточно матимемо:

,

,

,

(4).

Розглянемо спочатку випадок малих вагань. Нехай у початковий момент маятник відхилено від вертикалі на кут j і опущено без початкової швидкості. Тоді початкові умови будуть:

при t = 0, (5).

З інтегралу енергії:

(6),

де V — потенційна енергія, а h — постійна інтегрування, слідує, що за цих умов у будь-який момент часу кут j j0. Значення постійної h визначається за початковими даними. Припустимо, що кут j0 малий (j01); тоді кут j буде також малий, і можна приблизно покласти sinj »j. При цьому рівняння (4) набуде вигляду

(7).

Рівняння є диференціальне рівняння простого гармонійного коливання. Загальне рішення цього рівняння має вигляд

(8),

де A і B чи a і e суть постійні інтегрування.

Звідси відразу знаходимо період (T) малих коливань математичного маятника (період — проміжок часу, протягом якого точка повертається в колишнє положення з тією самою швидкістю)

і

,

т. до. sin має період рівний 2 p , то w T = 2 p

(9).

Для знаходження закону руху за початкових умов (5) обчислюємо:

(10).

Підставляючи значення (5) у рівняння (8) та (10), отримаємо:

j0 = A, 0 = w B, тобто B =0. Отже, закон руху для малих коливань за умов (5) буде:

j = j0 cosw t (11).

Знайдемо тепер точне рішення задачі про плоский математичний маятник. Визначимо спочатку перший інтеграл рівняння руху (4). Так як

,

то (4) можна подати у вигляді

.

Звідси, помножуючи обидві частини рівняння на dj та інтегруючи, отримаємо:

(12).

Позначимо тут через j0 кут максимального відхилення маятника; тоді при j = j0 матимемо
, Звідки C = w 2cosj0. В результаті інтеграл (12) дає:

(13),

де w визначається рівністю (3).

Цей інтеграл є інтегралом енергії і може бути безпосередньо отриманий з рівняння

(14),

де — робота на переміщенні M0 M активної сили F, якщо врахувати, що в нашому випадку v0 = 0,
і .

З рівняння (13) видно, що під час руху маятника кут j змінюватиметься між значеннями + j0 і — j0 (|j |
j0, оскільки ), тобто маятник здійснюватиме коливальний рух. Умовимося відраховувати час t від моменту проходження маятника через вертикаль OA за його руху право (див. рис.). Тоді матимемо початкову умову:

при t = 0, j = 0 (15).

Крім того, під час руху з точки A буде ; витягуючи з обох частин рівності (13) квадратний корінь, отримаємо:

.

Розділяючи тут змінні, матимемо:

(16).

Так як

,

,

то

.

Підставляючи цей результат рівняння (16), отримуємо:

(17).

Щоб проінтегрувати рівняння (17) потрібно знайти квадратуру лівої частини. Для цього перейдемо від j до нових змінних a, вважаючи:

, де (18).

Тоді

,

звідки

.

Крім того,

.

Підставляючи всі ці величини рівняння (17) і замінюючи w його значенням (3), отримаємо:

(19).

За прийнятими початковими умовами (15) при t = 0 кут j = 0, отже, як видно з (18), і a = 0. Тоді, беручи від обох частин рівняння (19) певні інтеграли праворуч від 0 до t, а зліва від 0 до a отримаємо закон руху маятника у вигляді

(20).

Інтеграл, що стоїть у лівій частині рівності (20), є еліптичним інтегралом першого роду. Розмір k називається модулем еліптичного інтеграла. Цей інтеграл є функцією верхньої межі та модуля, тобто

(21).

Якщо рівності (21) розглядати верхню межу a як функцію від інтеграла u , то така функція зветься амплітуди u і позначається так:

або

(22).

Беручи від обох частин рівності (22) синус, ми отримаємо:

(23).

Функція sinu (синус-амплітуда u) є так званою еліптичною функцією Якобі. Оскільки, згідно з рівнянням (20),

, то, переходячи в рівності (23) від a до j за допомогою формули (18), знайдемо закон руху маятника, виражений еліптичною функцією sin , як

(24).

Період коливань

Знайдемо період T коливання маятника. З положення j = 0 в положення j = j0 маятник надходить за чверть періоду. Оскільки відповідно до рівності (18), при j = 0 і a = 0, а при j = j0 величина
, то з рівняння (20) маємо:

(25).

Таким чином, визначення періоду коливань маятника зводиться до обчислення величини

(26),

чверть періоду еліптичного інтеграла (21).

Відомо (формула Валліса), що

(27).

Розкладаючи у виразі (26) підінтегральну функцію в ряд, отримаємо:

.

Тоді, використовуючи формулу (27), матимемо:

(28).

Підставляючи це значення K на рівність (25) і враховуючи, що

,

отримаємо для періоду коливань плоского математичного маятника вираз

(29).

Отже, що більше j0 (кут розмаху), то більше вписувалося період коливання маятника. Таким чином, математичний маятник властивістю ізохронності не має. Якщо за малих розмірів обмежитися у формулі (29) лише двома першими членами, то, вважаючи
, отримаємо наближений вираз періоду

(30).

Висновки

1. Отримано рівняння простого гармонійного коливання, закон руху малих коливань, закон руху маятника через еліптичну функцію.
2. Отримано вираз для періоду коливань маятника.

бібліографічний список

1. Бухгольц Н. Н. Основний курс теоретичної механіки. — М.: Наука, 1969 р.
2. Боровий А., Херувимов А. Коливання та маятники. — Ж.: Квант, № 8, 1981 р.

© Реферат плюс