Математичний маятник - завантажити безкоштовно
Химия

Математичний маятник — завантажити безкоштовно


Завантажити реферат: Математичний маятник

Зміст реферату

Вступ

1. Рівняння руху математичного маятника

2. Період коливань

Висновки

Література

Вступ

Зараз уже неможливо перевірити легенду про те, як Галілей, стоячи на молитві в соборі, уважно спостерігав за бронзовими люстрами. Спостерігав і визначав час, витрачений люстрою рух туди й назад. Цей час потім назвали періодом вагань. Годинника у Галілея не було, і, щоб порівняти період коливань люстр, підвішених на ланцюгах різної довжини, він використовував частоту биття свого пульсу

Маятники використовують для регулювання ходу годинника, оскільки будь-який маятник має певний період коливань. Маятник знаходить також важливе застосування у геологічній розвідці. Відомо, що у різних місцях земної кулі значення g різні. Різні вони тому, що Земля — не зовсім правильна куля. Крім того, в тих місцях, де залягають щільні породи, наприклад, деякі металеві руди, значення g аномально високо. Точні виміри g за допомогою математичного маятника іноді дозволяють виявити такі родовища.

1. Рівняння руху математичного маятника

Математичним маятником називається важка матеріальна точка, яка рухається або вертикальним колом (плоский математичний маятник), або сферою (сферичний маятник). У першому наближенні математичним маятником можна вважати вантаж малих розмірів, підвішений на нерозтяжній гнучкій нитці

Розглянемо рух плоского математичного маятника по колу радіуса l із центром у точці О (рис. 1). Визначатимемо положення точки М (маятника) кутом відхилення j радіуса ОМ від вертикалі. Направляючи дотичну M t у бік позитивного відліку кута j складемо природне рівняння руху. Це рівняння утворюється з рівняння руху

mW = F + N,

де F — активна сила, що діє на точку, а N — реакція зв’язку

Рівняння (1) ми отримали за другим законом Ньютона, який є основним законом динаміки і свідчить, що похідна за часом від кількості руху матеріальної точки дорівнює чинній її силі, тобто

Вважаючи масу постійною, можна уявити попереднє рівняння у вигляді де W є прискорення точки

Отже рівняння (1) у проекції на вісь t дасть нам одне з природних рівнянь руху точки заданою нерухомою гладкою кривою:

У нашому випадку отримаємо в проекції на вісь t де m є маса маятника

Тому що або , звідси знаходимо

Скорочуючи на m і вважаючи остаточно матимемо:

Розглянемо спочатку випадок малих вагань. Нехай у початковий момент маятник відхилено від вертикалі на кут j і опущено без початкової швидкості. Тоді початкові умови будуть:

З інтегралу енергії:

Припустимо, що кут j 0 малий (j 0 ? 1); тоді кут j буде також малий і можна приблизно покласти sin j »j. При цьому рівняння (4) набуде вигляду

Рівняння є диференціальне рівняння простого гармонійного коливання. Загальне рішення цього рівняння має вигляд

Звідси відразу знаходимо період (T) малих коливань математичного маятника (період — проміжок часу, протягом якого точка повертається в колишнє положення з тією ж швидкістю)

Для знаходження закону руху за початкових умов (5) обчислюємо:

Підставляючи значення (5) у рівняння (8) та (10), отримаємо:

j 0 = A , 0 = w B ,

тобто. B = 0. Отже, закон руху для малих коливань за умов (5) буде:

j = j 0 cos wt.

Знайдемо тепер точне рішення задачі про плоский математичний маятник. Визначимо спочатку перший інтеграл рівняння руху (4). Так як

Звідси, помножуючи обидві частини рівняння на dj та інтегруючи, отримаємо:

Позначимо тут через j 0 кут максимального відхилення маятника; тоді при j = j 0 матимемо, звідки C = w 2 cos j 0 . В результаті інтеграл (12) дає:

Цей інтеграл є інтегралом енергії і може бути безпосередньо отриманий з рівняння

З рівняння (13) видно, що під час руху маятника кут j змінюватиметься між значеннями + j 0 і — j 0 ( | j | ? j 0 , оскільки ), тобто. маятник здійснюватиме коливальний рух. Умовимося відраховувати час t від моменту проходження маятника через вертикаль OA за його руху право (див. рис.). Тоді матимемо початкову умову:

Крім того, при русі з точки A буде ; витягуючи з обох частин рівності (13) квадратний корінь, отримаємо:

Розділяючи тут змінні, матимемо:

Так як

Підставляючи цей результат рівняння (16), отримуємо:

Щоб проінтегрувати рівняння (17) потрібно знайти квадратуру лівої частини. Для цього перейдемо від j до нового змінного a, вважаючи:

Підставляючи всі ці величини рівняння (17) і замінюючи w його значенням (3), отримаємо:

За прийнятими початковими умовами (15) при t =0 кут j =0, отже, як видно з (18), і a =0. Тоді, беручи від обох частин рівняння (19) певні інтеграли праворуч від 0 до t, а зліва від 0 до a отримаємо закон руху маятника у вигляді

Інтеграл, що стоїть у лівій частині рівності (20), є еліптичним інтегралом першого роду. Розмір k називається модулем еліптичного інтеграла. Цей інтеграл є функцією верхньої межі та модуля, тобто

Якщо рівності (21) розглядати верхню межу a як функцію від інтеграла u , то така функція зветься амплітуди u і позначається так:

Беручи від обох частин рівності (22) синус, ми отримаємо:

Функція sn u (синус-амплітуда u) являє собою так звану еліптичну функцію Якобі. Оскільки, згідно з рівнянням (20), то, переходячи в рівності (23) від a до j за допомогою формули (18), знайдемо закон руху маятника, виражений еліптичну функцію sn, у вигляді

2. Період коливань

Знайдемо період T коливання маятника. З положення j = 0 в положення j = j 0 маятник надходить за чверть періоду. Оскільки відповідно до рівності (18), при j = 0 і a = 0, а при j = j 0 величина , то з рівняння (20) маємо:

Таким чином, визначення періоду коливань маятника зводиться до обчислення величини чверть періоду еліптичного інтеграла (21)

Відомо (формула Валліса), що

Розкладаючи у виразі (26) підінтегральну функцію в ряд, отримаємо:

Тоді, використовуючи формулу (27), матимемо:

Підставляючи це значення K на рівність (25) і враховуючи, що отримаємо для періоду коливань плоского математичного маятника вираз

Отже, що більше j 0 (кут розмаху), то більше вписувалося період коливання маятника. Таким чином, математичний маятник властивістю ізохронності не має. Якщо при малих розмірах обмежитися у формулі (29) лише двома першими членами, то, вважаючи, отримаємо наближений вираз періоду

Висновки

Отримано рівняння простого гармонійного коливання, закон руху для малих коливань, закон руху маятника через еліптичну функцію

Отримано вираз для періоду коливань маятника

Література

  1. Бухгольц Н.М. Основний курс теоретичної механіки. М: Наука. 1969
  2. Боровий А., Херувимов А. Коливання та маятники. Ж. Квант. № 8, 1981

© Реферат плюс



Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *