Математичні моделі електромеханічних систем у просторі станів.

Способи отримання рівнянь стану реальних фізичних об’єктів не відрізняються від способів опису цих об’єктів за допомогою диференціальних рівнянь. Рівняння стану записуються з урахуванням фізичних законів, покладених основою роботи об’єкта.

Розглянемо електромеханічну систему, що складається з двигуна постійного струму із незалежним збудженням, що працює на інерційне навантаження із в’язким тертям. Керуючим впливом двигуна вважаємо напругу на якорі U

,

де
— проти ЕРС,
— кутова швидкість валу двигуна,
— Єдиний електромагнітний коефіцієнт.

Рівняння моментів матиме такий вигляд

,

де
, J – момент інерції навантаження, приведений до валу двигуна, f – коефіцієнт в’язкого тертя.

Виберемо такі змінні стани: х1=i, x2=w, x3=j.

Отримаємо

,

.

Запишемо ці рівняння щодо змінних
,
,

,

,

,

.

Запишемо матричні рівняння

,

,

де

,
,
.

Розглянемо структурну схему електромеханічної системи з двигуном постійного струму, що працює на інерційне навантаження з в’язким тертям.

Рис. 2.1. Структурна схема електромеханічної системи із двигуном постійного струму

Запишемо рівняння стану для механічної системи, що є вантаж масою m, підвішений на пружині і з’єднаний з гідравлічним демпфером. До вантажу прикладена сила P

,

де
— інерційна сила, f — коефіцієнт в’язкого тертя,
— сила опору демпфера,
— Сила опору пружини.

Вибираємо як змінні стани x
— переміщення та швидкість переміщення відповідно.

Рис. 2.2. Механічна система, що включає у своєму складі пружину, масу та в’язкий демпфер

Оскільки диференціальне рівняння має другий порядок, те й кількість змінних стану дорівнює двом. Вихідне рівняння руху вантажу можна записати у вигляді двох рівнянь

де U

Додамо до цих рівнянь наступне рівняння виходу

.

Ці рівняння є рівняннями стану наведеної механічної системи. Запишемо ці рівняння стану у матричному вигляді

,

.

Запишемо це рівняння в іншому вигляді

,

,

де
,
,
,
,
.

З цим рівнянням стану можна зіставляти наступну структурну схему, де подвійними лініями показані векторні змінні.

Рис. 2.3. Структурна схема

Приклад: Розглянемо електричний ланцюг та отримаємо рівняння стану RLC ланцюга

Рис. 2.4. RLC ланцюг

Динамічна поведінка цієї електричної системи повністю визначається при t³t0, якщо відомі початкові значення: i(t0), ec(t0) та вхідна напруга e

де
,
.

Введемо такі позначення

Відповідно до цих позначень отримуємо

причому
.

Отже, для електричного ланцюга запишемо цю систему у векторно-матричному вигляді

,

.

Запишемо матричні рівняння

,

,

де
,
,
,
.

© Реферат плюс