Бінарна алгебраїчна операція
Химия

Математичне очікування та його властивості


Математичне очікування та його властивості

Завантажити реферат: Математичне очікування та його властивості

Однією з найважливіших числових показників випадкової величини є математичне очікування. Введемо поняття системи випадкових величин. Розглянемо сукупність випадкових величин
Математичне очікування та його властивості, які є результатами одного і того ж випадкового експерименту Якщо
Математичне очікування та його властивості— одне з можливих значень системи
Математичне очікування та його властивості, то події
Математичне очікування та його властивостівідповідає певна ймовірність, що задовольняє аксіомам Колмогорова. Функція
Математичне очікування та його властивості, визначена за будь-яких можливих значень
Математичне очікування та його властивостівипадкових величин
Математичне очікування та його властивості, називається спільним законом розподілу Ця функція дозволяє обчислювати ймовірності будь-яких подій
Математичне очікування та його властивості. Зокрема, спільний закон розподілу випадкових величин
Математичне очікування та його властивостіі
Математичне очікування та його властивості, які набувають значення з множини
Математичне очікування та його властивостіі
Математичне очікування та його властивості, задається ймовірностями
Математичне очікування та його властивості. Розширимо поняття незалежності випадкових подій та введемо поняття незалежних випадкових величин.

1) Математичне очікування постійної величини одно найпостійнішої, тобто.
Математичне очікування та його властивості.

Доказ. Постійну
Математичне очікування та його властивостіможна розглядати як дискретну випадкову величину, яка приймає єдине значення
Математичне очікування та його властивостіз ймовірністю 1.
Математичне очікування та його властивості.

2) Постійний множник можна виносити за знак математичного очікування:
Математичне очікування та його властивості.

Доказ. Нехай випадкова величина
Математичне очікування та його властивостізадана законом розподілу ймовірностей:

Очевидно, що випадкова величина
Математичне очікування та його властивостітакож є дискретною і приймає значення
Математичне очікування та його властивості,
Математичне очікування та його властивості, … ,
Математичне очікування та його властивості, … з колишніми ймовірностями
Математичне очікування та його властивості,
Математичне очікування та його властивості, … ,
Математичне очікування та його властивості, … тобто. закон розподілу
Математичне очікування та його властивостімає вид

Тоді за визначенням математичного очікування
Математичне очікування та його властивості.

3) Математичне очікування твору кількох взаємно незалежних випадкових величин дорівнює твору їх математичних очікувань:

Математичне очікування та його властивості.

Доказ. Розглянемо випадкову величину
Математичне очікування та його властивостіі доведемо, що
Математичне очікування та його властивості

Справді, якщо
Математичне очікування та його властивостіі
Математичне очікування та його властивостізадані рядами розподілу

те, як було зазначено вище, випадкова величина
Математичне очікування та його властивостімає наступний закон розподілу:

Тоді
Математичне очікування та його властивості

Математичне очікування та його властивості.

Методом математичної індукції можна довести, що якщо ця властивість виконується для
Математичне очікування та його властивостівипадкових величин, воно виконується і для
Математичне очікування та його властивостівипадкових величин.

4) Математичне очікування суми кількох випадкових величин дорівнює сумі математичних очікувань доданків:
Математичне очікування та його властивості.

Доказ. Нехай задані дві випадкові величини
Математичне очікування та його властивостіі
Математичне очікування та його властивостірядами розподілу (див. Попередня властивість).

В силу вищесказаного можливі значення випадкової величини
Математичне очікування та його властивостібудуть
Математичне очікування та його властивості,
Математичне очікування та його властивості,
Математичне очікування та його властивості,
Математичне очікування та його властивості, … Їх ймовірності
Математичне очікування та його властивості,
Математичне очікування та його властивості,
Математичне очікування та його властивості, …, т.к. вони визначаються за теоремою множення ймовірностей. Т.к. ймовірність
Математичне очікування та його властивостіпозначає ймовірність того, що події
Математичне очікування та його властивостіі
Математичне очікування та його властивостінастають разом, тобто.
Математичне очікування та його властивості.

Переходячи до математичного очікування розглянутої суми, маємо

Математичне очікування та його властивості

Математичне очікування та його властивості

Математичне очікування та його властивості

Математичне очікування та його властивості

Припустимо, що властивість 4) справедливо
Математичне очікування та його властивостівипадкової величини застосовуючи в черговий раз метод математичної індукції доведемо, що ця властивість справедлива і для
Математичне очікування та його властивостівипадкових величин.

Дисперсія випадкової величини

Насправді часто потрібно оцінити розсіювання можливих значень випадкової величини навколо її середнього значення. Відхиленням випадкової величини
Математичне очікування та його властивостіє різниця між значенням випадкової величини та її математичним очікуванням та позначається
Математичне очікування та його властивості. Хоча відхилення є величиною випадковою, але використовувати його оцінки розкиду не зручно, т.к. його математичне очікування завжди рівне 0. Тому для характеристики розсіювання вводять інші характеристики.

Визначення. Дисперсією випадкової величини називається математичне очікування квадрата її відхилення:
Математичне очікування та його властивості.

З цього визначення випливає, що дисперсія випадкової величини
Математичне очікування та його властивостіобчислюється за формулою

Математичне очікування та його властивості

для дискретної випадкової величини
Математичне очікування та його властивості

для безперервної випадкової величини
Математичне очікування та його властивості.

Справедлива наступна теорема.

Теорема. Дисперсія випадкової величини дорівнює математичному очікуванню її квадрата мінус квадрат математичного очікування:
Математичне очікування та його властивості.

Доказ. З визначення дисперсії та враховуючи, що математичне очікування – постійна величина, отримаємо

Математичне очікування та його властивості.

Тоді формула (1) набуде вигляду

Математичне очікування та його властивості

для дискретної випадкової величини
Математичне очікування та його властивості

для безперервної випадкової величини
Математичне очікування та його властивості.

Властивості дисперсії

Дисперсія постійної величини
Математичне очікування та його властивостідорівнює нулю:
Математичне очікування та його властивості.

Справді,
Математичне очікування та його властивості.

Постійний множник можна виносити за знак дисперсії, зводячи його в квадрат:
Математичне очікування та його властивості.

Доказ. За визначенням дисперсії та з властивостей математичного очікування отримуємо:

Математичне очікування та його властивості

Математичне очікування та його властивості.

Дисперсія суми кількох незалежних випадкових величин дорівнює сумі дисперсій цих величин:

Математичне очікування та його властивості.

Доказ. Спочатку доведемо властивість для двох величин
Математичне очікування та його властивостіі
Математичне очікування та його властивості.

По теоремі

Математичне очікування та його властивості

Математичне очікування та його властивості

Математичне очікування та його властивості

І далі методом математичної індукції…

Наслідок 1. Дисперсія суми постійної величини та випадкової величини
Математичне очікування та його властивостідорівнює дисперсії випадкової величини
Математичне очікування та його властивості:
Математичне очікування та його властивості.

Справді,
Математичне очікування та його властивості.

Наслідок 2. Дисперсія різниці двох незалежних випадкових величин дорівнює сумі їх дисперсій:
Математичне очікування та його властивості.

Доказ. Використовуючи властивості 2) та 3), отримуємо

Математичне очікування та його властивості.

Дисперсія випадкової величини як характеристика розкиду має одну незручну особливість: її розмірність (з визначення) дорівнює квадрату розмірності випадкової величини
Математичне очікування та його властивості.

Визначення. Середнім квадратичним відхиленням випадкової величини
Математичне очікування та його властивостіназивається арифметичний корінь із дисперсії, тобто.
Математичне очікування та його властивості.

Знаючи введені дві числові характеристики — математичне очікування
Математичне очікування та його властивостіта середнє квадратичне відхилення
Математичне очікування та його властивості, — Отримуємо орієнтовне уявлення про межах можливих значень випадкової величини.

Мода та медіана як різновид середніх величин у варіаційних рядах

Середні величини є свого роду абстрактною, абстрактною величиною. Відволікаючись від конкретних величин кожного варіанта, ці числа відбивають те загальне, властиве всієї сукупності одиниць. При цьому може статися, що величина середньої не має рівності з жодним з конкретних варіантів зустрічаються в сукупності варіантів.

Наприклад, середня кількість членів сім’ї, що дорівнює 3,84, отримане на основі обчислення відповідної сукупності даних, нічого спільного з конкретним складом сім’ї не має, оскільки дробового числа членів сім’ї не може бути. Тут у цьому показнику середньої величини складу сім’ї виявляється деяке центральне значення, біля якого групуються реально існуючі варіанти.

Крім розглянутих середніх, коли визначається якась абстрактна величина, можуть бути використані величини конкретних варіантів наявних у аналізованої сукупності величин, величин, що займають певне місце в ранжированому ряду індивідуальних значень ознаки. Ранжування ознак може бути побудована в порядку зростання або зменшення індивідуальних значень ознаки. Такими величинами, найчастіше є мода та медіана.

Мода — це найбільш часто зустрічається в сукупності величина варіанта. Цю величину означає символом Мо.

Мода як величина в дискритному (переривчастому) ряду визначається наступним чином на прикладі виявлення найбільшого відсотка чоловіків, що носять певний розмір взуття. Наочно це можна уявити наступною таблицею.

Розподіл числа чоловіків за розміром взуття, що використовується

Розмір взуття

Число чоловіків старше 16 років % до підсумку

Накопичення зокрема

До 37

1

1

38

5

6

39

12

18

40

23

41

41

28

69

42

21

90

43

8

98

44

2

100

и більше

Усього

100

У розподілі чоловіків за розміром взуття найбільша частина чоловіків (28%) належить до величини номера взуття 41. Отже, мода Мо = 41, тобто. модою є 41 розмір взуття.

Щоб визначити медіану, необхідно знайти один із центральних варіантів аналізованої сукупності. У прикладі центральним варіантом буде у центрі сукупності що складається з 100 членів, тобто. 100: 2 = 50. Потім за накопиченими частотами визначаємо величину 50-го члена ряду. У прикладі він перебуватиме між 41 і 69 накопиченої зокрема (див. третій стовпець таблиці), 50-ый член низки має величину 41, тобто. Ме = 41-му розміру взуття.

У практиці мода та медіана часто використовуються замість середньої арифметичної або поряд з нею. Так, фіксуючи середні ціни на оптових ринках, записують найчастіше зустрічається ціну кожного товару, тобто. визначають моду ціни. Проте найкращою характеристикою величини варіанту служить середня арифметична, яка має ряд істотних переваг, про які було сказано раніше, головне з яких, точне відображення суми всіх значень ознаки, що використовуються для вирішення відповідних практичних завдань.

© Реферат плюс



Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *