
Математична модель спливання підводного човна

Завантажити реферат: Математична модель спливання підводного човна | |||
Під словами математична модель спливання підводного човна мається на увазі опис фізичного процесу, що відбувається при його випливі з деякої глибини. Природно, математична модель істотно відрізняється, від реального процесу, оскільки при побудові моделі береться наближення, у якому нехтують деякими силами і чинниками середовища.
В даному випадку замість човна, що йде на якійсь глибині, розглядається матеріальна точка зі змінною масою, що спочатку рухається горизонтально. Ми нехтуватимемо гідродинамікою цього процесу, розглядаючи лише три основні сили діючих на цю точку.
Розглядаючи, таким чином, дії сил на об’єкт, використовуючи основні закони механіки та співвідношення між силами, ми можемо скласти диференціальне рівняння або систему диференціальних рівнянь, вирішуючи яку можна отримати її приватне або загальне рішення (залежно від виду системи).
Отримавши рішення, ми можемо відповісти і на інші питання, що стосуються спливання човна, такі як знаходження значень параметрів, при яких час спливання човна буде мінімальним, і ряд інших.
На ідеї моделювання, по суті, базується будь-який метод дослідження як теоретичний (при якому використовуються абстрактні моделі), так і експериментальний (що використовує предметні моделі).
Побудова математичної моделі процесу дозволяє зрозуміти його суть та її фізичний сенс.
Розглянемо підводний човен як матеріальну точку, яка рухається горизонталлю на певній глибині, з деякою постійною швидкістю. Човен удифферентований, тобто сили, що діють на човен по вертикалі, як показано на рис.1, (сила тяжкості та виштовхувальна сила Архімеда) рівні за модулем
По горизонталі, на човен діє сила опору, модуль якого приймемо як:
,
Де ступінь
та коефіцієнт пропорційності
— Це деякі числа, характерні для даного середовища, і залежать від факторів середовища, таких як: щільність води, її температура і величини швидкості.
Сила Архімеда, що діє на човен, залежить від розмірів човна, а саме від його обсягу та щільності води
У цій формулі
— Це щільність рідини,
— об’єм тіла, зануреного в рідину,
= 9.81 м/c2 — прискорення вільного падіння
Рис. 2
Нехай у певний момент часу вимкнені двигуни та скидається баласт. Рухаючись за інерцією, і навіть під впливом сили Архімеда, вона почне спливати з деякої траєкторії (рис.2).
Проведемо радіус вектор
з початку координат:
Вектор швидкості також можна розкласти на складові по осях x та y:
,
оскільки вектор швидкості завжди спрямований щодо до траєкторії руху, а сила опору має протилежний напрямок.
За другим законом Ньютона:
,
де вектор
— Це вектор сили тяжіння, що діє на човен.
— Деяка функція, що залежить від часу.
Запишемо це векторне рівняння у проекціях на осі
У проекції на вісь
:
У проекції на вісь
:
В результаті отримаємо систему диференціальних рівнянь:
,
де маса
— Функція, що залежить від часу. Вирішуючи цю систему для довільного значення
, і заданих початкових умов, ми отримаємо рівняння траєкторії руху підводного човна.
Рис. 3
Нехай маса човна змінюється за лінійним законом
, де
— Маса корпусу,
— це швидкість витіснення води з цистерн, яку вважатимемо постійною, а
— деякий момент часу, коли вся вода з цистерн витіснена. Як показано на рис.3, у певний момент часу твір
дорівнюватиме 0 , і ми отримаємо
тобто вся вода з цистерн буде витіснена.
Вирішимо цю систему для окремого випадку.
Нехай
= 1. У початковий момент часу човен знаходиться на початку координат, а вектор його швидкості спрямований по горизонталі і дорівнює
Тоді початкові умови будуть такими:
У даному випадку, система рівнянь набуває такого вигляду:
Перше рівняння цієї системи залежить лише від
, друге тільки від
тому їх можна розділити. Вирішимо спочатку перше рівняння системи
Бо до цього рівняння не входить
, можна зробити заміну
. Вирішуючи, таким чином, отримане рівняння першого порядку з змінними, що розділяються, отримаємо:
Розв’яжемо друге рівняння системи
Роблячи аналогічну заміну, отримаємо лінійне неоднорідне рівняння, вирішуючи яке, отримаємо:
У результаті виходить траєкторія руху човна, задана параметрично:
Рис. 4
Траєкторія руху підводного човна для заданих початкових умов та
= 1 зображено на рис. 4.
Вирішимо вихідну систему для довільного значення параметра
.
На
накладається обмеження:
,
Оскільки при виконанні цієї умови, сила опору виявляється прямо пропорційна швидкості.
Систему
приведемо до нормальної форми Коші, вводячи нові змінні
.
В результаті отримаємо систему, що складається із чотирьох диференціальних рівнянь першого порядку:
Початкові умови, для яких мають вигляд:
.
Вирішення цієї системи для кількох значень параметра
представлені на рис. 5
Бо при близьких значеннях
траєкторія майже не змінюється, і графіки зливаються, для більшої наочності зобразимо їх у більшому вигляді
Рис. 5б
На рис.5 а, б зображені рішення вихідної системи
.
Знайдемо значення
, для якого час випливання буде найменшим і рівняння руху при цьому значенні параметра. Очевидно, що якщо
то
, і система набуває наступного вигляду:
,
де
— Функція, що залежить від часу.
Рис. 6
Графік розв’язання цієї системи представлено на рис.6.
Функція зросте швидше, ніж у випадках із іншим значенням
. А це означає, що при даному значенні параметра вона спливе з певної глибини за мінімальний час.
При негативному значенні параметра траєкторія практично співпадатиме з траєкторією
Але в цьому випадку завдання втрачає фізичний сенс.
Висновок
Ми розглянули лише окремі випадки вирішення завдання. Вихідну систему неможливо вирішити у загальному вигляді, без використання ЕОМ, чи чисельних методів вирішення задачі.
Але вже за окремими випадками рішень можна побачити деяку закономірність, на підставі яких вже можна робити якісь висновки.
Сам процес спливання підводного човна – досить складний фізичний процес. На випливання човна впливають не тільки кілька сил, що діють на нього. Велике значення мають гідродинамічні параметри, які у побудові цієї моделі не враховувалися. Для чисельних рішень системи та побудови графіків були взяті реальні розміри та початкова швидкість підводного човна, що дозволило якнайбільше наблизити розглянутий процес до реального.
бібліографічний список
- Агафонов С. А., Герман А. Д., Муратова Т. В. Диференціальні рівняння М: Вид-во МДТУ імені Н. Е. Баумана, 2000 — 347 с
- Степанов В. В. Курс диференціальних рівнянь М: Вид-во техніко-теоретичної літератури, 1950. — 467 с
- Осипенко Л., Жильцов Л., Мормуль Н. Атомна підводна епопея М.: «Боргес», 1994. — 350 c
© Реферат плюс

