Бінарна алгебраїчна операція
Химия

Математична модель спливання підводного човна


Математична модель спливання підводного човна

Завантажити реферат: Математична модель спливання підводного човна

Під словами математична модель спливання підводного човна мається на увазі опис фізичного процесу, що відбувається при його випливі з деякої глибини. Природно, математична модель істотно відрізняється, від реального процесу, оскільки при побудові моделі береться наближення, у якому нехтують деякими силами і чинниками середовища.

В даному випадку замість човна, що йде на якійсь глибині, розглядається матеріальна точка зі змінною масою, що спочатку рухається горизонтально. Ми нехтуватимемо гідродинамікою цього процесу, розглядаючи лише три основні сили діючих на цю точку.

Розглядаючи, таким чином, дії сил на об’єкт, використовуючи основні закони механіки та співвідношення між силами, ми можемо скласти диференціальне рівняння або систему диференціальних рівнянь, вирішуючи яку можна отримати її приватне або загальне рішення (залежно від виду системи).

Отримавши рішення, ми можемо відповісти і на інші питання, що стосуються спливання човна, такі як знаходження значень параметрів, при яких час спливання човна буде мінімальним, і ряд інших.

На ідеї моделювання, по суті, базується будь-який метод дослідження як теоретичний (при якому використовуються абстрактні моделі), так і експериментальний (що використовує предметні моделі).

Побудова математичної моделі процесу дозволяє зрозуміти його суть та її фізичний сенс.

Розглянемо підводний човен як матеріальну точку, яка рухається горизонталлю на певній глибині, з деякою постійною швидкістю. Човен удифферентований, тобто сили, що діють на човен по вертикалі, як показано на рис.1, (сила тяжкості та виштовхувальна сила Архімеда) рівні за модулем

По горизонталі, на човен діє сила опору, модуль якого приймемо як:

Математична модель спливання підводного човна,

Де ступінь
Математична модель спливання підводного човната коефіцієнт пропорційності
Математична модель спливання підводного човна — Це деякі числа, характерні для даного середовища, і залежать від факторів середовища, таких як: щільність води, її температура і величини швидкості.

Сила Архімеда, що діє на човен, залежить від розмірів човна, а саме від його обсягу та щільності води

Математична модель спливання підводного човна

У цій формулі
Математична модель спливання підводного човна — Це щільність рідини,
Математична модель спливання підводного човна — об’єм тіла, зануреного в рідину,
Математична модель спливання підводного човна= 9.81 м/c2 — прискорення вільного падіння

Математична модель спливання підводного човна

Рис. 2

Нехай у певний момент часу вимкнені двигуни та скидається баласт. Рухаючись за інерцією, і навіть під впливом сили Архімеда, вона почне спливати з деякої траєкторії (рис.2).

Проведемо радіус вектор
Математична модель спливання підводного човназ початку координат:

Математична модель спливання підводного човна

Вектор швидкості також можна розкласти на складові по осях x та y:

Математична модель спливання підводного човна,

оскільки вектор швидкості завжди спрямований щодо до траєкторії руху, а сила опору має протилежний напрямок.

За другим законом Ньютона:

Математична модель спливання підводного човна,

де вектор
Математична модель спливання підводного човна — Це вектор сили тяжіння, що діє на човен.
Математична модель спливання підводного човна — Деяка функція, що залежить від часу.

Запишемо це векторне рівняння у проекціях на осі

У проекції на вісь
Математична модель спливання підводного човна:
Математична модель спливання підводного човна

У проекції на вісь
Математична модель спливання підводного човна:
Математична модель спливання підводного човна

В результаті отримаємо систему диференціальних рівнянь:

Математична модель спливання підводного човна,

де маса
Математична модель спливання підводного човна — Функція, що залежить від часу. Вирішуючи цю систему для довільного значення
Математична модель спливання підводного човна, і заданих початкових умов, ми отримаємо рівняння траєкторії руху підводного човна.

Математична модель спливання підводного човна

Рис. 3

Нехай маса човна змінюється за лінійним законом
Математична модель спливання підводного човна, де
Математична модель спливання підводного човна — Маса корпусу,
Математична модель спливання підводного човна— це швидкість витіснення води з цистерн, яку вважатимемо постійною, а
Математична модель спливання підводного човна — деякий момент часу, коли вся вода з цистерн витіснена. Як показано на рис.3, у певний момент часу твір
Математична модель спливання підводного човнадорівнюватиме 0 , і ми отримаємо
Математична модель спливання підводного човнатобто вся вода з цистерн буде витіснена.

Вирішимо цю систему для окремого випадку.

Нехай
Математична модель спливання підводного човна = 1. У початковий момент часу човен знаходиться на початку координат, а вектор його швидкості спрямований по горизонталі і дорівнює
Математична модель спливання підводного човна

Тоді початкові умови будуть такими:

Математична модель спливання підводного човна

Математична модель спливання підводного човна

У даному випадку, система рівнянь набуває такого вигляду:

Математична модель спливання підводного човна

Перше рівняння цієї системи залежить лише від
Математична модель спливання підводного човна, друге тільки від
Математична модель спливання підводного човнатому їх можна розділити. Вирішимо спочатку перше рівняння системи

Математична модель спливання підводного човна

Бо до цього рівняння не входить
Математична модель спливання підводного човна, можна зробити заміну
Математична модель спливання підводного човна. Вирішуючи, таким чином, отримане рівняння першого порядку з змінними, що розділяються, отримаємо:

Математична модель спливання підводного човна

Математична модель спливання підводного човна

Математична модель спливання підводного човна

Математична модель спливання підводного човна

Розв’яжемо друге рівняння системи

Математична модель спливання підводного човна

Роблячи аналогічну заміну, отримаємо лінійне неоднорідне рівняння, вирішуючи яке, отримаємо:

Математична модель спливання підводного човна

Математична модель спливання підводного човна

У результаті виходить траєкторія руху човна, задана параметрично:

Математична модель спливання підводного човна

Рис. 4

Траєкторія руху підводного човна для заданих початкових умов та
Математична модель спливання підводного човна= 1 зображено на рис. 4.

Вирішимо вихідну систему для довільного значення параметра
Математична модель спливання підводного човна.

На
Математична модель спливання підводного човна накладається обмеження:
Математична модель спливання підводного човна,

Оскільки при виконанні цієї умови, сила опору виявляється прямо пропорційна швидкості.

Систему

Математична модель спливання підводного човна

приведемо до нормальної форми Коші, вводячи нові змінні

Математична модель спливання підводного човна.

В результаті отримаємо систему, що складається із чотирьох диференціальних рівнянь першого порядку:

Математична модель спливання підводного човна

Початкові умови, для яких мають вигляд:

Математична модель спливання підводного човна.

Вирішення цієї системи для кількох значень параметра
Математична модель спливання підводного човнаМатематична модель спливання підводного човнапредставлені на рис. 5

Бо при близьких значеннях
Математична модель спливання підводного човнатраєкторія майже не змінюється, і графіки зливаються, для більшої наочності зобразимо їх у більшому вигляді

Математична модель спливання підводного човна

Рис. 5б

На рис.5 а, б зображені рішення вихідної системи
Математична модель спливання підводного човнаМатематична модель спливання підводного човнаМатематична модель спливання підводного човнаМатематична модель спливання підводного човнаМатематична модель спливання підводного човнаМатематична модель спливання підводного човна.

Знайдемо значення
Математична модель спливання підводного човна, для якого час випливання буде найменшим і рівняння руху при цьому значенні параметра. Очевидно, що якщо
Математична модель спливання підводного човнато
Математична модель спливання підводного човна, і система набуває наступного вигляду:

Математична модель спливання підводного човна,

де
Математична модель спливання підводного човна — Функція, що залежить від часу.

Математична модель спливання підводного човна

Рис. 6

Графік розв’язання цієї системи представлено на рис.6.

Функція зросте швидше, ніж у випадках із іншим значенням
Математична модель спливання підводного човна. А це означає, що при даному значенні параметра вона спливе з певної глибини за мінімальний час.

При негативному значенні параметра траєкторія практично співпадатиме з траєкторією
Математична модель спливання підводного човнаАле в цьому випадку завдання втрачає фізичний сенс.

Висновок

Ми розглянули лише окремі випадки вирішення завдання. Вихідну систему неможливо вирішити у загальному вигляді, без використання ЕОМ, чи чисельних методів вирішення задачі.

Але вже за окремими випадками рішень можна побачити деяку закономірність, на підставі яких вже можна робити якісь висновки.

Сам процес спливання підводного човна – досить складний фізичний процес. На випливання човна впливають не тільки кілька сил, що діють на нього. Велике значення мають гідродинамічні параметри, які у побудові цієї моделі не враховувалися. Для чисельних рішень системи та побудови графіків були взяті реальні розміри та початкова швидкість підводного човна, що дозволило якнайбільше наблизити розглянутий процес до реального.

бібліографічний список

  1. Агафонов С. А., Герман А. Д., Муратова Т. В. Диференціальні рівняння М: Вид-во МДТУ імені Н. Е. Баумана, 2000 — 347 с
  2. Степанов В. В. Курс диференціальних рівнянь М: Вид-во техніко-теоретичної літератури, 1950. — 467 с
  3. Осипенко Л., Жильцов Л., Мормуль Н. Атомна підводна епопея М.: «Боргес», 1994. — 350 c

© Реферат плюс



Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *