Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно
Химия

Курсова — Третій етап — скачати безкоштовно


Частина 4

Доведемо, що рішення змішаної задачі зі спеціальною правою частиною сходяться до узагальненого рішення.
Здійснюється граничний перехід:
Оцінимо
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно та їх похідні:
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно
Доведемо, що послідовність є фундаментальною.
Нехай N>M ; розглянемо:
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно
Значить
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно -фундаментальна в
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно — Повному, тобто.
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно.
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно
Потрібно довести, що u — узагальнене рішення, якщо
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно -Узагальнене рішення.
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно ; при переході до межі отримаємо:
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно

Єдиність узагальненого рішення першої змішаної задачі хвильового рівняння.

Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно (1)
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно (2)
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно (3)
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно (4)
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно

Теорема 1.
Завдання (1) — (4) може мати не більше одного узагальненого рішення.
Доведення.
Досить переконається, що однорідне завдання матиме єдине рішення.
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно
Візьмемо:
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно
де:Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно — довільна,
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно.
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно
Інтегральна тотожність набуде наступного вигляду:
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовноТеорему доведено.

Анізотропні простори Соболєва.

Визначення.
Анізотропним простором Соболєва
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно називається безліч функцій
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно.
Вводиться скалярний твір:
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно (1)
Властивості просторів:
Теорема.
Простір
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно -Добре.
Доведення.
Фундаментальна послідовність, перехід до межі в інтегральному тотожності.
Нехай
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно через
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно.
Теорема 2.
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно

Теорема 3.
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно-сепарабельно.
Доведення — Продовження функції до фінітної.

Теорема 4.
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно всюди щільно в
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно. Візьмемо
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно
Теорема 5.
Для
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно можна визначити слід:
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовноКурсова - Третій етап - скачати безкоштовно і при цьому:
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно.

Узагальнені рішення змішаного завдання для
рівняння теплопровідності.
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно
Визначення.
Узагальнене рішення
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно— називається узагальненим розв’язанням задачі (1)-(3), якщо
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно:
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно виконується інтегральне тотожність (4).

Існування узагальненого рішення першого змішаного завдання рівняння теплопровідності (метод Фур’є, метод поділу змінних).

Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно— Власні значення;
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно — ортогональний базис у
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно;
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно — ортонормований базис у
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно.
Будемо рахувати:
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно
при багатьох t інтегрована з квадратом в
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно.
Рівність Парсеваля:
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно f-вимірна і
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно з нерівності Гельдера.
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно.
По теоремі Лебега можна ліворуч і праворуч проінтегрувати по t та поміняти місцями
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно.
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно
Рішення має вигляд:
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно
Треба довести збіжність у
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно.

Теорема.
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно ряд (6) сходиться у просторі
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно до деякої функції
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно, Яка є узагальненим рішенням задачі (1)-(3). При цьому:
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно
Доведення.
Перший етап.
Припустимо, що права частина рівняння має вигляд:
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно , А початкова функція:
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно.
Розглянемо:
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно
-Інтегральне тотожність виконується.

Другий етап.
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно
Третій етап. Доказ фундаментальності послідовності
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно. Оцінимо модуль:
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно
Інтегруємо ліворуч і праворуч:
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно
Значить: послідовність фундаментальна і вона сходиться:
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно
Переходимо до межі:
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно
Потрібно довести, що u — Задає рішення задачі.
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно
При переході до межі виконується інтегральна тотожність:
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно
Теорема доведена. З цієї теореми не випливає єдиність.

Єдиність узагальненого рішення змішаної задачі рівняння теплопровідності.

Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно
Теорема.
Завдання (1)-(3) може мати не більше одного узагальненого рішення.
Доведення.
Нехай
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно -узагальнені рішення, оцінимоКурсова - Третій етап - скачати безкоштовно.
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно — додано гладкість по t.
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно
Умови, що накладаються на v:
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно .
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно

Формула Кірхгофа.

Додаткові позначення:
нехай є
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно ,
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно — Фіксується. Позначимо:
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно— конус з вершиною в
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно .
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно
Візьмемо довільну
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно .
Позначимо:
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно.
Виберемо
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно і розглянемо:
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно — поза циліндром, але всередині конуса.
Позначимо через
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно — частина конічної поверхні, обмеженої
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно :
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно — Двічі безперервно диференційована у відкритому конусі. При цьому :
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно — Замикання конуса.
Примітка:
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно — хвильовий оператор.
Розглянемо допоміжну функцію:
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно.
Розглянемо:
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно . Зауважимо:
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно .
Надалі: x належить малому конусу із вирізаним циліндром.
Проінтегруємо ліву та праву частини тотожності по
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно :
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно ,
де: — Поодинокий вектор зовнішньої нормалі до межі області.
Розіб’ємо цей інтеграл на 3 інтеграли:
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно;
потім
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно .
Розглянемо на конічній поверхні
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно інтеграл
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно
Обчислимо всі приватні похідні функції v по
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно і за напрямом зовнішньої нормалі до поверхні:
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно
Знаючи, що
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно, Отримаємо:
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно,
де:
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно. Висновок:
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно.
Розглянемо
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно знаючи, що для
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно.
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно
Перехід до межі:
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно

Обчислимо:
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно — Внутрішня нормаль до циліндра.
Т.к. u — безперервно диференційована на поверхні, то:
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно
враховуючи:
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно на циліндричній поверхні.
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно
В силу оцінки:
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно
Отримаємо:
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовноКурсова - Третій етап - скачати безкоштовноКурсова - Третій етап - скачати безкоштовно
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно
Отримано формулу Кірхгофа: (1)

Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно

Заміна змінних (щоб легше було диференціювати за t):
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно

Продиференційований перший доданок:
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно
Геометричний зміст формули.
1. У перших двох інтегралах проводиться інтегрування по межі основи конуса – тривимірної сфери.
2. У третьому інтегралі проводиться інтегрування на основі конуса — тривимірному шару.
3. Значення даламберіана обчислюється інтегруванням по бічній поверхні конуса.
СПОСІБ. Двічі диференційована функція u(x,t) виражається через значення перших похідних на сфері (кордону основи конуса) та її даламберіан на бічній поверхні конуса.

Завдання Коші для хвильового рівняння.

Позначимо:
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно
Визначення.
Функція u(x,t) , Така, що:
1)
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно — двічі безперервно диференційована на
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно ;
2)
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно — один раз безперервно диференційована у замиканні цієї множини;
називається класичним рішенням задачі Коші для хвильового рівняння, якщо:
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно
Нехай n=3.
Позначимо:
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно
За формулою Кірхгофа функція u(x,t) виражається для будь-якого конуса
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно через функції
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно у цьому конусі. Функція u(x,t) однозначно визначається функціями
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно у будь-якому конусі і, отже, у напівпросторі.
Теорема єдиності.
Завдання Коші (2)-(3) не може мати більше одного рішення.
Питання існування.
Якщо класичне рішення існує, воно задається формулою Кірхгофа (4):
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно
Таким чином, питання про існування класичного рішення
зводиться до знаходження умов, що накладаються на функції
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно , При яких функція, що стоїть у правій частині формули (4), є розв’язанням цього завдання. Отримано лише достатню умову.
Попередні міркування.
Введемо функцію:
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно
Є
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно . Для кожного
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно визначається
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно як інтеграл.
Проводиться дослідження
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно .
Лемма 1.
Нехай функція g і її похідні по просторовим змінним безперервні до порядку k :
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно тоді:
1) функція і її похідні до порядку k по x і t безперервні на безлічі
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно :
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно
2) для
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно і
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно функція
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно задовольняє однорідному хвильовому рівнянню за умов і наступних умов:

Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно
Доведення.
У (5) перейдемо до нової змінної, тоді:
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно
Звідси випливає перше твердження леми.
Застосуємо
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно до
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно тоді:
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно
Підставимо t=0:
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно .
Візьмемо похідні за t від
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно :
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно .
Розглянемо похідну при t=0:
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно
Перетворимо другий доданок:
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно
позначимо:
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно
тоді (7) набуде вигляду:
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно .
Використовуємо його для обчислення другої похідної за часом:
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно
Представляючи цей об’ємний інтеграл у вигляді повторного інтегралу: спочатку у сфері, а потім від 0 до t, Отримаємо рівність:
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно — внаслідок формули (6) справедлива остання рівність.
Лемма доведена.
Теорема 2.
Нехай:
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно — тричі безперервно диференційована в
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно :
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно ;
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно — двічі безперервно диференційована в
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно :
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно ;
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно — безперервні:
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно ;
тоді: розв’язання задачі Коші (2)-(3) існує і дається формулою Кірхгофа (4).
Доведення.
Розглянемо другий доданок:
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно в силу леми 1 є:
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно
Розглянемо перший доданок
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно . T.к.
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно, то:
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно
Початкові умови:
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно ;
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно .
Розглянемо:
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно,
де:
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно — Позначення.
В силу леми 1 G і всі її похідні за x і t до другого порядку включно безперервні на безлічі
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно .
Функція G задовольняє:
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно
Перейдемо до F. F безперервна разом з усіма похідними по x до другого порядку включно в області
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно , та її перша похідна за часом безперервна у цій галузі.
Обчислимо похідну F по t:
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно але:
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно , і:
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно Слід:
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно .
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно — задовольняє хвильове рівняння:
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно — задовольняє однорідним початковим умовам:
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно
Остаточно:
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно — задовольняє хвильове рівняння
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно та початковим умовам:
Курсова - Третій етап - скачати безкоштовно .
Зауваження.
Доказ теореми про існування та єдиність класичного розв’язання задачі Коші у разі, коли n=3, спиралося на інтегральне уявлення функції як формули Кірхгофа. Формули, аналогічні формулі Кірхгофа, можна вивести довільного числа просторових змінних. Ці формули дають вираз досить гладкої функції u(x,t) через її перші похідні та даламберіан у конусі.
Користуючись цим уявленням, можна узагальнити ці теореми існування та єдиності для довільної кількості змінних (n>3).
Зауваження.
Формули, аналогічні формулам Кірхгофа для n=1 і n=2, можна отримати з n=3 шляхом спуску.

© Реферат плюс



Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *