Курсова — Третій етап — скачати безкоштовно

Частина 4

Доведемо, що рішення змішаної задачі зі спеціальною правою частиною сходяться до узагальненого рішення.
Здійснюється граничний перехід:
Оцінимо
та їх похідні:


Доведемо, що послідовність є фундаментальною.
Нехай N>M ; розглянемо:



Значить
-фундаментальна в
— Повному, тобто.
.

Потрібно довести, що u — узагальнене рішення, якщо
-Узагальнене рішення.

; при переході до межі отримаємо:

Єдиність узагальненого рішення першої змішаної задачі хвильового рівняння.

(1)
(2)

(3)

(4)

Теорема 1.
Завдання (1) — (4) може мати не більше одного узагальненого рішення.
Доведення.
Досить переконається, що однорідне завдання матиме єдине рішення.

Візьмемо:

де: — довільна,
.

Інтегральна тотожність набуде наступного вигляду:

Теорему доведено.

Анізотропні простори Соболєва.

Визначення.
Анізотропним простором Соболєва
називається безліч функцій
.
Вводиться скалярний твір:
(1)
Властивості просторів:
Теорема.
Простір
-Добре.
Доведення.
Фундаментальна послідовність, перехід до межі в інтегральному тотожності.
Нехай
через
.
Теорема 2.

Теорема 3.
-сепарабельно.
Доведення — Продовження функції до фінітної.

Теорема 4.

всюди щільно в
. Візьмемо



Теорема 5.
Для
можна визначити слід:
і при цьому:
.

Узагальнені рішення змішаного завдання для
рівняння теплопровідності.


Визначення.
Узагальнене рішення
— називається узагальненим розв’язанням задачі (1)-(3), якщо
:
виконується інтегральне тотожність (4).

Існування узагальненого рішення першого змішаного завдання рівняння теплопровідності (метод Фур’є, метод поділу змінних).

— Власні значення;
— ортогональний базис у
;
— ортонормований базис у
.
Будемо рахувати:


при багатьох t інтегрована з квадратом в
.
Рівність Парсеваля:
f-вимірна і
з нерівності Гельдера.
.
По теоремі Лебега можна ліворуч і праворуч проінтегрувати по t та поміняти місцями
.

Рішення має вигляд:

Треба довести збіжність у
.

Теорема.
ряд (6) сходиться у просторі
до деякої функції
, Яка є узагальненим рішенням задачі (1)-(3). При цьому:

Доведення.
Перший етап.
Припустимо, що права частина рівняння має вигляд:
, А початкова функція:
.
Розглянемо:



-Інтегральне тотожність виконується.

Другий етап.

Третій етап. Доказ фундаментальності послідовності
. Оцінимо модуль:

Інтегруємо ліворуч і праворуч:


Значить: послідовність фундаментальна і вона сходиться:


Переходимо до межі:

Потрібно довести, що u — Задає рішення задачі.

При переході до межі виконується інтегральна тотожність:

Теорема доведена. З цієї теореми не випливає єдиність.

Єдиність узагальненого рішення змішаної задачі рівняння теплопровідності.

Теорема.
Завдання (1)-(3) може мати не більше одного узагальненого рішення.
Доведення.
Нехай
-узагальнені рішення, оцінимо.

— додано гладкість по t.

Умови, що накладаються на v:
.

Формула Кірхгофа.

Додаткові позначення:
нехай є
,
— Фіксується. Позначимо:
— конус з вершиною в
.

Візьмемо довільну
.
Позначимо:

.
Виберемо
і розглянемо:
— поза циліндром, але всередині конуса.
Позначимо через
— частина конічної поверхні, обмеженої
:



— Двічі безперервно диференційована у відкритому конусі. При цьому :
— Замикання конуса.
Примітка:
— хвильовий оператор.
Розглянемо допоміжну функцію:
.
Розглянемо:
. Зауважимо:
.
Надалі: x належить малому конусу із вирізаним циліндром.
Проінтегруємо ліву та праву частини тотожності по
:
,
де: — Поодинокий вектор зовнішньої нормалі до межі області.
Розіб’ємо цей інтеграл на 3 інтеграли:
;
потім
.
Розглянемо на конічній поверхні
інтеграл

Обчислимо всі приватні похідні функції v по
і за напрямом зовнішньої нормалі до поверхні:



Знаючи, що
, Отримаємо:
,
де:
. Висновок:
.
Розглянемо
знаючи, що для
.

Перехід до межі:

Обчислимо:
— Внутрішня нормаль до циліндра.
Т.к. u — безперервно диференційована на поверхні, то:


враховуючи:
на циліндричній поверхні.

В силу оцінки:

Отримаємо:





Отримано формулу Кірхгофа: (1)

Заміна змінних (щоб легше було диференціювати за t):

Продиференційований перший доданок:


Геометричний зміст формули.
1. У перших двох інтегралах проводиться інтегрування по межі основи конуса – тривимірної сфери.
2. У третьому інтегралі проводиться інтегрування на основі конуса — тривимірному шару.
3. Значення даламберіана обчислюється інтегруванням по бічній поверхні конуса.
СПОСІБ. Двічі диференційована функція u(x,t) виражається через значення перших похідних на сфері (кордону основи конуса) та її даламберіан на бічній поверхні конуса.

Завдання Коші для хвильового рівняння.

Позначимо:

Визначення.
Функція u(x,t) , Така, що:
1)
— двічі безперервно диференційована на
;
2)
— один раз безперервно диференційована у замиканні цієї множини;
називається класичним рішенням задачі Коші для хвильового рівняння, якщо:

Нехай n=3.
Позначимо:

За формулою Кірхгофа функція u(x,t) виражається для будь-якого конуса
через функції
у цьому конусі. Функція u(x,t) однозначно визначається функціями
у будь-якому конусі і, отже, у напівпросторі.
Теорема єдиності.
Завдання Коші (2)-(3) не може мати більше одного рішення.
Питання існування.
Якщо класичне рішення існує, воно задається формулою Кірхгофа (4):

Таким чином, питання про існування класичного рішення
зводиться до знаходження умов, що накладаються на функції
, При яких функція, що стоїть у правій частині формули (4), є розв’язанням цього завдання. Отримано лише достатню умову.
Попередні міркування.
Введемо функцію:

Є
. Для кожного
визначається
як інтеграл.
Проводиться дослідження
.
Лемма 1.
Нехай функція g і її похідні по просторовим змінним безперервні до порядку k :
тоді:
1) функція і її похідні до порядку k по x і t безперервні на безлічі
:

2) для
і
функція
задовольняє однорідному хвильовому рівнянню за умов і наступних умов:

Доведення.
У (5) перейдемо до нової змінної, тоді:

Звідси випливає перше твердження леми.
Застосуємо
до
тоді:

Підставимо t=0:
.
Візьмемо похідні за t від
:
.
Розглянемо похідну при t=0:

Перетворимо другий доданок:

позначимо:

тоді (7) набуде вигляду:
.
Використовуємо його для обчислення другої похідної за часом:


Представляючи цей об’ємний інтеграл у вигляді повторного інтегралу: спочатку у сфері, а потім від 0 до t, Отримаємо рівність:
— внаслідок формули (6) справедлива остання рівність.
Лемма доведена.
Теорема 2.
Нехай:
— тричі безперервно диференційована в
:
;
— двічі безперервно диференційована в
:
;
— безперервні:
;
тоді: розв’язання задачі Коші (2)-(3) існує і дається формулою Кірхгофа (4).
Доведення.
Розглянемо другий доданок:
в силу леми 1 є:

Розглянемо перший доданок
. T.к.
, то:



Початкові умови:
;
.
Розглянемо:
,
де:
— Позначення.
В силу леми 1 G і всі її похідні за x і t до другого порядку включно безперервні на безлічі
.
Функція G задовольняє:

Перейдемо до F. F безперервна разом з усіма похідними по x до другого порядку включно в області
, та її перша похідна за часом безперервна у цій галузі.
Обчислимо похідну F по t:
але:
, і:
Слід:
.
— задовольняє хвильове рівняння:

— задовольняє однорідним початковим умовам:

Остаточно:
— задовольняє хвильове рівняння
та початковим умовам:
.
Зауваження.
Доказ теореми про існування та єдиність класичного розв’язання задачі Коші у разі, коли n=3, спиралося на інтегральне уявлення функції як формули Кірхгофа. Формули, аналогічні формулі Кірхгофа, можна вивести довільного числа просторових змінних. Ці формули дають вираз досить гладкої функції u(x,t) через її перші похідні та даламберіан у конусі.
Користуючись цим уявленням, можна узагальнити ці теореми існування та єдиності для довільної кількості змінних (n>3).
Зауваження.
Формули, аналогічні формулам Кірхгофа для n=1 і n=2, можна отримати з n=3 шляхом спуску.

© Реферат плюс