Курсова - Формула інтегрування частинами
Химия

Курсова — Формула інтегрування частинами


Частина 2

Курсова - Формула інтегрування частинами (1)
Курсова - Формула інтегрування частинамиКурсова - Формула інтегрування частинами— обмежена,
Курсова - Формула інтегрування частинами.
Курсова - Формула інтегрування частинами (2)
Курсова - Формула інтегрування частинами
У рівнянні (2) перейдемо до межі при
Курсова - Формула інтегрування частинами, Отримуємо рівняння (1).
Простір
Курсова - Формула інтегрування частинами

Визначення.
Назвемо простором
Курсова - Формула інтегрування частинамиКурсова - Формула інтегрування частинами замикання простору фінітних безперервно диференційованих функцій
Курсова - Формула інтегрування частинами.
Курсова - Формула інтегрування частинами— Замикання
Курсова - Формула інтегрування частинами в
Курсова - Формула інтегрування частинами.
Якщо є
Курсова - Формула інтегрування частинами, то :
Курсова - Формула інтегрування частинами.
Якщо
Курсова - Формула інтегрування частинами, то
Курсова - Формула інтегрування частинами. Справедливе та зворотне твердження.
Теорема.
Курсова - Формула інтегрування частинами.Курсова - Формула інтегрування частинами— обмежена,
Курсова - Формула інтегрування частинами.
Визначення.
Еквівалентні норми.
Нехай H — гільбертовий простір зі скалярним твором (…, .).
Скалярний твір
Курсова - Формула інтегрування частинами. , .
Курсова - Формула інтегрування частинами називається еквівалентним ( . , . ) , якщо :
Курсова - Формула інтегрування частинами
Курсова - Формула інтегрування частинами.
З еквівалентності скалярних творів можна скористатися будь-яким.
Теорема 2.
В просторі
Курсова - Формула інтегрування частинами можна ввести скалярний твір за формулою:
Курсова - Формула інтегрування частинами (3)
Доведення.
Курсова - Формула інтегрування частинами
Треба довести:
Курсова - Формула інтегрування частинами (4)
Доказ протилежного.
Курсова - Формула інтегрування частинами
Курсова - Формула інтегрування частинами
Вважатимемо, що
Курсова - Формула інтегрування частинами, а це означає :
Курсова - Формула інтегрування частинами
Курсова - Формула інтегрування частинамиКурсова - Формула інтегрування частинами (за теоремою Релліха-Гордінга)
Курсова - Формула інтегрування частинами
Курсова - Формула інтегрування частинами
Маємо протиріччя. Теорема доведена.

Узагальнене розв’язання задачі Діріхле для рівняння Пуассона.

Курсова - Формула інтегрування частинами
Нехай
Курсова - Формула інтегрування частинами— Розв’язання задачі (1)-(2). Візьмемо
Курсова - Формула інтегрування частинами і помножимо (1) на
Курсова - Формула інтегрування частинами, проінтегруємо та отримаємо :
Курсова - Формула інтегрування частинами. Якщо
Курсова - Формула інтегрування частинами— Гладка, то :
Курсова - Формула інтегрування частинами (3)
Визначення.
Функція
Курсова - Формула інтегрування частинами називається узагальненим розв’язанням задачі (1)-(2), якщо для будь-якої функції
Курсова - Формула інтегрування частинами виконується тотожність (3).
При дослідженні узагальнених рішень
Курсова - Формула інтегрування частинами.
Лемма.
Існує лінійний обмежений оператор
Курсова - Формула інтегрування частинами, такий, що
Курсова - Формула інтегрування частинами.
При цьому
Курсова - Формула інтегрування частинами -Компактний самосполучений позитивний оператор.
За визначенням :
Курсова - Формула інтегрування частинами.
Курсова - Формула інтегрування частинами — антилінійний по
Курсова - Формула інтегрування частинами.
Курсова - Формула інтегрування частинами.
f-обмежений, отже застосуємо теорему Рисса:
Курсова - Формула інтегрування частинами
F – лінійно залежить від u.Курсова - Формула інтегрування частинамиКурсова - Формула інтегрування частинами
Курсова - Формула інтегрування частинами.
Компактність очевидна за теоремою Релліха-Гордінга.
Курсова - Формула інтегрування частинами
Самосполучення доведено.
Курсова - Формула інтегрування частинами
Теорема.
Для будь-якої функції
Курсова - Формула інтегрування частинами існує єдиний
Курсова - Формула інтегрування частинами крайового завдання (1) (2). При цьому
Курсова - Формула інтегрування частинами (4)
Завдання Дирихле рівняння Пуассона коректна, тобто. Існує єдине рішення безперервно залежить від правої частини.
Доведення.
Курсова - Формула інтегрування частинами

Власні значення та власні функції оператора Лапласа.

Курсова - Формула інтегрування частинами
Визначення.
Функція
Курсова - Формула інтегрування частинами називається узагальненою власною функцією оператора — з умовами Діріхле, що відповідає узагальненому власному значенню, якщо вона задовольняє наступному інтегральному тотожності:
Курсова - Формула інтегрування частинамиКурсова - Формула інтегрування частинами (3)
Теорема.
1. Власні значення задачі (1) (2), є речовими, позитивними, ізольованими, мають кінцеву кратність, та :
Курсова - Формула інтегрування частинами
2.Існує ортонормований базис у
Курсова - Формула інтегрування частинами що складається з власних функцій завдання (1) (2)
Курсова - Формула інтегрування частинами.
3.
Курсова - Формула інтегрування частинами складає ортонормований базис в
Курсова - Формула інтегрування частинами з еквівалентним скалярним твором:
Курсова - Формула інтегрування частинами (4)
Доведення.
Інтегральне тотожність (3) можна записати у вигляді:
Курсова - Формула інтегрування частинами ,
Курсова - Формула інтегрування частинами ,
Курсова - Формула інтегрування частинами.
Еквівалентне завдання:
Курсова - Формула інтегрування частинами
Теорема 1.
Якщо
Курсова - Формула інтегрування частинами — Лінійний обмежений самосполучений оператор, тоді спектр
Курсова - Формула інтегрування частинами — речовий, і :
Курсова - Формула інтегрування частинами
Теорема 2.
Нехай
Курсова - Формула інтегрування частинами — компактний, самосполучений оператор, тоді
Курсова - Формула інтегрування частинами складається з {0} і деякої (кінцевої або лічильної) множини ізольованих власних значень кінцевої кратності :
Курсова - Формула інтегрування частинами
{0} завжди належить спектру компактного оператора.
Теорема 3.
Нехай
Курсова - Формула інтегрування частинами — Копактний, самосполучений оператор, тоді існує ортонормований базис у просторі
Курсова - Формула інтегрування частинами, що складається з власних функцій цього оператора:
Курсова - Формула інтегрування частинами.
Для зручності
Курсова - Формула інтегрування частинамиКурсова - Формула інтегрування частинами ,
Курсова - Формула інтегрування частинами.
Значить:
Курсова - Формула інтегрування частинами — ортонормована система в
Курсова - Формула інтегрування частинами.
Так як
Курсова - Формула інтегрування частинами всюди щільно в
Курсова - Формула інтегрування частинами, то
Курсова - Формула інтегрування частинами утворює ортонормований базис у
Курсова - Формула інтегрування частинами.
Курсова - Формула інтегрування частинами
Значить:
Курсова - Формула інтегрування частинами утворює ортонормований базис у
Курсова - Формула інтегрування частинами.
Розглянемо завдання:
Курсова - Формула інтегрування частинами (1)
де
Курсова - Формула інтегрування частинами
Крайові умови:
Курсова - Формула інтегрування частинами (2)
Курсова - Формула інтегрування частинами (3)
Курсова - Формула інтегрування частинами (4)
Курсова - Формула інтегрування частинами
Курсова - Формула інтегрування частинами (5)
Курсова - Формула інтегрування частинами (6)
Курсова - Формула інтегрування частинами (7)
Курсова - Формула інтегрування частинами (8)
Курсова - Формула інтегрування частинами (9)
Теорема 1.
Якщо однорідне крайове завдання має єдине тривіальне рішення, то неоднорідне крайове завдання (1) (2) має єдине рішення для
Курсова - Формула інтегрування частинами.
2. Якщо (3) (4) має нетривіальне рішення , то (1) (2) можна розв’язати тоді і тільки тоді, коли
Курсова - Формула інтегрування частинами для будь-якого w, що є рішенням (5) (6)
3. Завдання (3) (4) та (5) (6) мають однакову кількість лінійно незалежних рішень.

Теорема Фредґольма.
Розглянемо рівняння
Курсова - Формула інтегрування частинами (10)
Курсова - Формула інтегрування частинами (11)
Курсова - Формула інтегрування частинами (12)
де I — одиничний оператор H, C — компактний оператор H.
1. Якщо однорідне рівняння (11) має єдине тривіальне рішення, то для
Курсова - Формула інтегрування частинами Існує єдине рішення рівняння (10).
2. Якщо рівняння (11) має нетривіальне рішення, то рівняння (10) можна тоді і тільки тоді, коли
Курсова - Формула інтегрування частинами.
3.
Курсова - Формула інтегрування частинами

Оцінимо член:
Курсова - Формула інтегрування частинами
Курсова - Формула інтегрування частинами
Курсова - Формула інтегрування частинами
Курсова - Формула інтегрування частинами — компактно.
Курсова - Формула інтегрування частинами (13)
Курсова - Формула інтегрування частинами (14)
Вивчимо член:
Курсова - Формула інтегрування частинами
Значить:
Курсова - Формула інтегрування частинами (15)
(1) (2)
Курсова - Формула інтегрування частинами (16)
(3) (4)
Курсова - Формула інтегрування частинами (17)
(5) (6)
Курсова - Формула інтегрування частинами (18)
Доведено першу частину теореми.
Нехай (3) (4) має нетривіальне рішення, тоді
Курсова - Формула інтегрування частинами
Тобто.
Курсова - Формула інтегрування частинами
Теорему доведено.

Розкладання розв’язання задачі Діріхле для рівняння Пуассона в ряд за власними функціями.


Курсова - Формула інтегрування частинами
— обмежено (1)
Курсова - Формула інтегрування частинами (2)
Курсова - Формула інтегрування частинами (3)
Курсова - Формула інтегрування частинами в
Курсова - Формула інтегрування частинами
Курсова - Формула інтегрування частинами
Курсова - Формула інтегрування частинами

Звісно різнисні оператори.

Мета : Апроксимація узагальнених похідних кінцевими операторами.
Курсова - Формула інтегрування частинами
Нехай
Курсова - Формула інтегрування частинами— фінітна в Q:
Курсова - Формула інтегрування частинами (1)
Аналог формули інтегрування частинами:
Курсова - Формула інтегрування частинами
Позначимо:
Курсова - Формула інтегрування частинами.
Теорема.
Нехай
Курсова - Формула інтегрування частинамитоді :
1) якщо
Курсова - Формула інтегрування частинами, де
Курсова - Формула інтегрування частинами, то :
Курсова - Формула інтегрування частинами (3)
і при цьому :
Курсова - Формула інтегрування частинами (4)
2) Якщо для
Курсова - Формула інтегрування частинами, то :
Курсова - Формула інтегрування частинами
Доказ.(1а частина теореми)
З теорем про апроксимацію функції f та її узагальненої похідної опосередкуваннями функції f та її узагальненої похідної відповідно випливає, що достатньо довести частину теореми для фінітної функції, що нескінченно дифреренується.
Курсова - Формула інтегрування частинами
Курсова - Формула інтегрування частинами (3)
Курсова - Формула інтегрування частинами (4)
Курсова - Формула інтегрування частинами
Курсова - Формула інтегрування частинами
Курсова - Формула інтегрування частинами — доведено (3)
Курсова - Формула інтегрування частинами
(застосувавши нерівність Коші-Буняковського)
Курсова - Формула інтегрування частинами
Курсова - Формула інтегрування частинами
По теоремі Фубіні маємо нерівність:
Курсова - Формула інтегрування частинами
Курсова - Формула інтегрування частинами
Доведення. (Друга частина.)
Курсова - Формула інтегрування частинами
Значить:
Курсова - Формула інтегрування частинами
Доказ теореми 2.
Нехай
Курсова - Формула інтегрування частинамиКурсова - Формула інтегрування частинами— Обмежена, однозв’язкова область.
Курсова - Формула інтегрування частинами.
Q — симетрично щодо
Курсова - Формула інтегрування частинами, тобто. якщо
Курсова - Формула інтегрування частинами, то
Курсова - Формула інтегрування частинами.
Курсова - Формула інтегрування частинами
Позначимо:
Курсова - Формула інтегрування частинами
Теорема 2.
Нехай
Курсова - Формула інтегрування частинамитоді :
1) якщо
Курсова - Формула інтегрування частинами, де
Курсова - Формула інтегрування частинами, то :
Курсова - Формула інтегрування частинами
2) якщо
Курсова - Формула інтегрування частинами, то :
Курсова - Формула інтегрування частинами
Вказівка. Для доказу розглянути:
Курсова - Формула інтегрування частинами
За визначенням узагальненої похідної в (1) отримуємо:
Курсова - Формула інтегрування частинами тоді :
Курсова - Формула інтегрування частинами

Локальна гладкість узагальнених рішень.

Курсова - Формула інтегрування частинами
Курсова - Формула інтегрування частинами обмежена.
Узагальнене рішення:
Курсова - Формула інтегрування частинами,
Курсова - Формула інтегрування частинами (3)
Теорема 1.
Для будь-кого
Курсова - Формула інтегрування частинами узагальнене вирішення задачі (1) (2)
Курсова - Формула інтегрування частинами
незалежно від гладкості кордону, якщо права частина з
Курсова - Формула інтегрування частинами , то узагальнене рішення також гладко.
Доведення.
Курсова - Формула інтегрування частинамиКурсова - Формула інтегрування частинами
Курсова - Формула інтегрування частинами
Достатньо довести, що
Курсова - Формула інтегрування частинами у кожному з куль :
Курсова - Формула інтегрування частинами.
Позначимо
Курсова - Формула інтегрування частинами.
Як v для (3) візьмемо:
Курсова - Формула інтегрування частинами
— Фінітна, нескінченно диференційована.
Курсова - Формула інтегрування частинами, v може бути використана як пробна:
Підставимо v в (3):
Курсова - Формула інтегрування частинами
(множення u на функцію, що зрізає, для локалізації властивості в кулі)
Курсова - Формула інтегрування частинами (4)
Введемо звичайно різницевий оператор. Нехай
Курсова - Формула інтегрування частинами.
Курсова - Формула інтегрування частинами.
Курсова - Формула інтегрування частинами (5)
Представимо (5) у вигляді:
Курсова - Формула інтегрування частинами.
Оцінимо:
Курсова - Формула інтегрування частинами
За нерівністю Коші-Буняковського:
Курсова - Формула інтегрування частинами
Курсова - Формула інтегрування частинами,
де
Курсова - Формула інтегрування частинами.
Підставляємо в рішення як пробна функція :
Курсова - Формула інтегрування частинами
Результат:
Курсова - Формула інтегрування частинами
Курсова - Формула інтегрування частинами (6)
У силу 2-ої частини теореми 1 (див. стор. …):
Курсова - Формула інтегрування частинами.
u має узагальнені похідні
Курсова - Формула інтегрування частинами.

Узагальнення Теореми у разі довільної гладкості правої частини.

Теорема 2.
Нехай
Курсова - Формула інтегрування частинами — обмежена,
Курсова - Формула інтегрування частинами — узагальнене рішення задачі (1) (2), тоді:
Курсова - Формула інтегрування частинами.

Гладкість узагальнених розв’язків еліптичних завдань поблизу кордонів.


Курсова - Формула інтегрування частинами
(1)
Курсова - Формула інтегрування частинами (2)
Курсова - Формула інтегрування частинами
Курсова - Формула інтегрування частинами (3)
Теорема 1.
Нехай
Курсова - Формула інтегрування частинами — обмежена область:
Курсова - Формула інтегрування частинами
Курсова - Формула інтегрування частинами — узагальнене рішення (1) (2), тоді
Курсова - Формула інтегрування частинами.
Доведення.
Курсова - Формула інтегрування частинами
Курсова - Формула інтегрування частинами
Довести, що
Курсова - Формула інтегрування частинами.
Нехай в околиці X і Y кордон створюється рівнянням:
Курсова - Формула інтегрування частинами
Не обмежуючи спільності міркувань вважатимемо, що межа плоска.
Введемо функцію, що зрізає :
Курсова - Формула інтегрування частинами
Курсова - Формула інтегрування частинами
Підставимо v (3), отримаємо :
Курсова - Формула інтегрування частинами (4)
Введемо звичайно різницевий оператор. Нехай
Курсова - Формула інтегрування частинами.
Курсова - Формула інтегрування частинами.
При цьому :
Курсова - Формула інтегрування частинами.
Курсова - Формула інтегрування частинами(5)
Представимо (5) у вигляді:
Курсова - Формула інтегрування частинами.
Через нерівність Коші-Буняковського, отримаємо:
Курсова - Формула інтегрування частинами,
де
Курсова - Формула інтегрування частинами.
Підставляємо в рішення як пробна функція :
Курсова - Формула інтегрування частинами
Курсова - Формула інтегрування частинами
У силу 2-ої частини теореми 1 (див. стор. …):
Курсова - Формула інтегрування частинами.
u має узагальнені похідні
Курсова - Формула інтегрування частинами.
Лемма.
Нехай
Курсова - Формула інтегрування частинами — узагальнене рішення (1) (2), тоді:
Курсова - Формула інтегрування частинами — обмежена, отже u задовольняє рівняння (1) майже всюди Q.
Будемо рахувати :
Курсова - Формула інтегрування частинами.
Курсова - Формула інтегрування частинами
Курсова - Формула інтегрування частинами
Значить:
Курсова - Формула інтегрування частинами.
Теорема 2.
Нехай
Курсова - Формула інтегрування частинами — обмежена область,
Курсова - Формула інтегрування частинами — узагальнене рішення задачі (1) (2), тоді:
Курсова - Формула інтегрування частинами.
Теорема «вкладання» Соболєва.
Курсова - Формула інтегрування частинами— обмежена область,
Курсова - Формула інтегрування частинами, отже
Курсова - Формула інтегрування частинами -Безперервно вкладено.
Визначення.
Безперервність оператора накладання — це
Курсова - Формула інтегрування частинами майже всюди Q .
Курсова - Формула інтегрування частинами (1)
Доказ (теореми).
Курсова - Формула інтегрування частинами, де
Курсова - Формула інтегрування частинами,
якщо
Курсова - Формула інтегрування частинами, і :
Курсова - Формула інтегрування частинами (2)
Доказ (1) випливатиме з доказу (2) та
Курсова - Формула інтегрування частинами (3)
Нехай (3) доведено для будь-якої фінітної, гладкої
Курсова - Формула інтегрування частинами , то цьому випадку теорема справедлива для
Курсова - Формула інтегрування частинами.
Курсова - Формула інтегрування частинами;
Курсова - Формула інтегрування частинами; слід фундаментальність:
Курсова - Формула інтегрування частинами
Курсова - Формула інтегрування частинами
Курсова - Формула інтегрування частинами (4)
(Зауваження. Межа в сенсі майже всюди:
Курсова - Формула інтегрування частинами п.в.
Залишається довести (3) для будь-яких фінітних, які нескінченно диференціюються у функцій.
Курсова - Формула інтегрування частинами
Перетворення Фур’є:
Курсова - Формула інтегрування частинами,
де
Курсова - Формула інтегрування частинами.
Курсова - Формула інтегрування частинами
помножимо і розділимо на
Курсова - Формула інтегрування частинами і застосуємо нерівність Коші-Буняковського.
Курсова - Формула інтегрування частинами
Курсова - Формула інтегрування частинами
Доведемо, що інтеграл кінцевий:
Курсова - Формула інтегрування частинами
Курсова - Формула інтегрування частинами
Де
Курсова - Формула інтегрування частинами.
Теорему повністю доведено.

© Реферат плюс



Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *