Курсова — Формула інтегрування частинами

Частина 2

(1)
— обмежена,
.
(2)

У рівнянні (2) перейдемо до межі при
, Отримуємо рівняння (1).
Простір

Визначення.
Назвемо простором
замикання простору фінітних безперервно диференційованих функцій
.
— Замикання
в
.
Якщо є
, то :
.
Якщо
, то
. Справедливе та зворотне твердження.
Теорема.
.— обмежена,
.
Визначення.
Еквівалентні норми.
Нехай H — гільбертовий простір зі скалярним твором (…, .).
Скалярний твір
. , .
називається еквівалентним ( . , . ) , якщо :

.
З еквівалентності скалярних творів можна скористатися будь-яким.
Теорема 2.
В просторі
можна ввести скалярний твір за формулою:
(3)
Доведення.

Треба довести:
(4)
Доказ протилежного.


Вважатимемо, що
, а це означає :

(за теоремою Релліха-Гордінга)


Маємо протиріччя. Теорема доведена.

Узагальнене розв’язання задачі Діріхле для рівняння Пуассона.

Нехай
— Розв’язання задачі (1)-(2). Візьмемо
і помножимо (1) на
, проінтегруємо та отримаємо :
. Якщо
— Гладка, то :
(3)
Визначення.
Функція
називається узагальненим розв’язанням задачі (1)-(2), якщо для будь-якої функції
виконується тотожність (3).
При дослідженні узагальнених рішень
.
Лемма.
Існує лінійний обмежений оператор
, такий, що
.
При цьому
-Компактний самосполучений позитивний оператор.
За визначенням :
.
— антилінійний по
.
.
f-обмежений, отже застосуємо теорему Рисса:

F – лінійно залежить від u.
.
Компактність очевидна за теоремою Релліха-Гордінга.

Самосполучення доведено.

Теорема.
Для будь-якої функції
існує єдиний
крайового завдання (1) (2). При цьому
(4)
Завдання Дирихле рівняння Пуассона коректна, тобто. Існує єдине рішення безперервно залежить від правої частини.
Доведення.

Власні значення та власні функції оператора Лапласа.

Визначення.
Функція
називається узагальненою власною функцією оператора — з умовами Діріхле, що відповідає узагальненому власному значенню, якщо вона задовольняє наступному інтегральному тотожності:
(3)
Теорема.
1. Власні значення задачі (1) (2), є речовими, позитивними, ізольованими, мають кінцеву кратність, та :

2.Існує ортонормований базис у
що складається з власних функцій завдання (1) (2)
.
3.
складає ортонормований базис в
з еквівалентним скалярним твором:
(4)
Доведення.
Інтегральне тотожність (3) можна записати у вигляді:
,
,
.
Еквівалентне завдання:

Теорема 1.
Якщо
— Лінійний обмежений самосполучений оператор, тоді спектр
— речовий, і :

Теорема 2.
Нехай
— компактний, самосполучений оператор, тоді
складається з {0} і деякої (кінцевої або лічильної) множини ізольованих власних значень кінцевої кратності :

{0} завжди належить спектру компактного оператора.
Теорема 3.
Нехай
— Копактний, самосполучений оператор, тоді існує ортонормований базис у просторі
, що складається з власних функцій цього оператора:
.
Для зручності
,
.
Значить:
— ортонормована система в
.
Так як
всюди щільно в
, то
утворює ортонормований базис у
.

Значить:
утворює ортонормований базис у
.
Розглянемо завдання:
(1)
де

Крайові умови:
(2)
(3)
(4)

(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
Теорема 1.
Якщо однорідне крайове завдання має єдине тривіальне рішення, то неоднорідне крайове завдання (1) (2) має єдине рішення для
.
2. Якщо (3) (4) має нетривіальне рішення , то (1) (2) можна розв’язати тоді і тільки тоді, коли
для будь-якого w, що є рішенням (5) (6)
3. Завдання (3) (4) та (5) (6) мають однакову кількість лінійно незалежних рішень.

Теорема Фредґольма.
Розглянемо рівняння
(10)
(11)
(12)
де I — одиничний оператор H, C — компактний оператор H.
1. Якщо однорідне рівняння (11) має єдине тривіальне рішення, то для
Існує єдине рішення рівняння (10).
2. Якщо рівняння (11) має нетривіальне рішення, то рівняння (10) можна тоді і тільки тоді, коли
.
3.

Оцінимо член:



— компактно.
(13)
(14)
Вивчимо член:

Значить:
(15)
(1) (2)
(16)
(3) (4)
(17)
(5) (6)
(18)
Доведено першу частину теореми.
Нехай (3) (4) має нетривіальне рішення, тоді

Тобто.

Теорему доведено.

Розкладання розв’язання задачі Діріхле для рівняння Пуассона в ряд за власними функціями.

— обмежено (1)
(2)
(3)
в

Звісно різнисні оператори.

Мета : Апроксимація узагальнених похідних кінцевими операторами.

Нехай
— фінітна в Q:
(1)
Аналог формули інтегрування частинами:

Позначимо:
.
Теорема.
Нехай
тоді :
1) якщо
, де
, то :
(3)
і при цьому :
(4)
2) Якщо для
, то :

Доказ.(1а частина теореми)
З теорем про апроксимацію функції f та її узагальненої похідної опосередкуваннями функції f та її узагальненої похідної відповідно випливає, що достатньо довести частину теореми для фінітної функції, що нескінченно дифреренується.

(3)
(4)


— доведено (3)

(застосувавши нерівність Коші-Буняковського)


По теоремі Фубіні маємо нерівність:


Доведення. (Друга частина.)

Значить:

Доказ теореми 2.
Нехай
— Обмежена, однозв’язкова область.
.
Q — симетрично щодо
, тобто. якщо
, то
.

Позначимо:

Теорема 2.
Нехай
тоді :
1) якщо
, де
, то :

2) якщо
, то :

Вказівка. Для доказу розглянути:

За визначенням узагальненої похідної в (1) отримуємо:
тоді :

Локальна гладкість узагальнених рішень.

обмежена.
Узагальнене рішення:
,
(3)
Теорема 1.
Для будь-кого
узагальнене вирішення задачі (1) (2)

незалежно від гладкості кордону, якщо права частина з
, то узагальнене рішення також гладко.
Доведення.


Достатньо довести, що
у кожному з куль :
.
Позначимо
.
Як v для (3) візьмемо:

— Фінітна, нескінченно диференційована.
, v може бути використана як пробна:
Підставимо v в (3):

(множення u на функцію, що зрізає, для локалізації властивості в кулі)
(4)
Введемо звичайно різницевий оператор. Нехай
.
.
(5)
Представимо (5) у вигляді:
.
Оцінимо:

За нерівністю Коші-Буняковського:

,
де
.
Підставляємо в рішення як пробна функція :

Результат:

(6)
У силу 2-ої частини теореми 1 (див. стор. …):
.
u має узагальнені похідні
.

Узагальнення Теореми у разі довільної гладкості правої частини.

Теорема 2.
Нехай
— обмежена,
— узагальнене рішення задачі (1) (2), тоді:
.

Гладкість узагальнених розв’язків еліптичних завдань поблизу кордонів.

(1)
(2)

(3)
Теорема 1.
Нехай
— обмежена область:

— узагальнене рішення (1) (2), тоді
.
Доведення.


Довести, що
.
Нехай в околиці X і Y кордон створюється рівнянням:

Не обмежуючи спільності міркувань вважатимемо, що межа плоска.
Введемо функцію, що зрізає :


Підставимо v (3), отримаємо :
(4)
Введемо звичайно різницевий оператор. Нехай
.
.
При цьому :
.
(5)
Представимо (5) у вигляді:
.
Через нерівність Коші-Буняковського, отримаємо:
,
де
.
Підставляємо в рішення як пробна функція :


У силу 2-ої частини теореми 1 (див. стор. …):
.
u має узагальнені похідні
.
Лемма.
Нехай
— узагальнене рішення (1) (2), тоді:
— обмежена, отже u задовольняє рівняння (1) майже всюди Q.
Будемо рахувати :
.


Значить:
.
Теорема 2.
Нехай
— обмежена область,
— узагальнене рішення задачі (1) (2), тоді:
.
Теорема «вкладання» Соболєва.
— обмежена область,
, отже
-Безперервно вкладено.
Визначення.
Безперервність оператора накладання — це
майже всюди Q .
(1)
Доказ (теореми).
, де
,
якщо
, і :
(2)
Доказ (1) випливатиме з доказу (2) та
(3)
Нехай (3) доведено для будь-якої фінітної, гладкої
, то цьому випадку теорема справедлива для
.
;
; слід фундаментальність:


(4)
(Зауваження. Межа в сенсі майже всюди:
п.в.
Залишається довести (3) для будь-яких фінітних, які нескінченно диференціюються у функцій.

Перетворення Фур’є:
,
де
.

помножимо і розділимо на
і застосуємо нерівність Коші-Буняковського.


Доведемо, що інтеграл кінцевий:


Де
.
Теорему повністю доведено.

© Реферат плюс