Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно
Химия

Курсова — Частина 5 — скачати безкоштовно


Частина 5

Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно
Треба одержати формулу Кірхгофа для n=2 — формулу Пуассона.
Позначення:
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно
Перетворюємо інтеграли:
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно
Розглянемо:
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно
Замінимо
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно .
Отримаємо формулу:
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно
Отримано формулу Пуассона:
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно
Формула Даламбера:
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно
Позначимо:
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно.
Введемо фундаментальне рішення рівняння теплопровідності:
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно
Властивості U для рівняння теплопровідності.
1.Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно
2.Якщо U продовжити тотожним 0 при
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно, то така функція
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно — нескінченно диференційована.
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно
Доведення.

Якщо виписувати похідні функції U, то вийде раціональна функція, помножена на експоненту, експонента прагне до 0 швидше за будь-яку раціональну функцію, значить, межі всі рівні 0, і отримана нескінченна гладкість.
3.Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно
Доведення.
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно
Як вправа:
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно.
4.Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно
де
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно — Формула подання рішення задачі Коші для рівняння теплопровідності.
Додаткові позначення.
Нехай
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно, нехай u, Lu — Обмежені в смузі.
Введемо
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно, Що володіє властивістю:
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно — використовуються зрізні функції.
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно
n — Розмірність постранства
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно.
N — Визначає область інтегрування.
Будемо рахувати:
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно
— Інтегрування по циліндру.
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно
Спочатку розглянемо інтеграл:
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно
Можна застосувати теорему Лебега про граничний перехід під знаком інтеграла:
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно
Т.к.
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно, то
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно
зробимо заміну
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно тоді
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно.
Якщо доведемо, що решта межі дають 0.
Формула Пуассона:
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно
Можна знайти рішення задачі Коші для рівняння теплопровідності:
Розглядається завдання:
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно
(1)
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно
(2)
Якщо рішення з класу існує, то воно представляється формулою:
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно.
У аналізованому класі рішень завдання Коші рівняння теплопровідності може мати трохи більше 1 решения.
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовноКурсова - Частина 5 - скачати безкоштовно
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно
Застосуємо теорему Лебега про граничний перехід під знаком інтеграла
(необхідно, щоб усі елементи послідовності були обмежені інтегральною функцією).
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно
де :
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно.
Підінтегральна функція обмежена.
Так як :
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно, то :
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно
Заміна:Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно.
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно, а інтеграл
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно — схожий.
Зроблено обмеження функцією, що інтегрується.
Можна застосовувати теорему Лебега про граничний перехід.

Теорія Фредґольма.

(у Гільбертовому чи Банаховому просторі).
Розглянемо компактний оператор
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно гільбертовий простір.
Вивчаємо рівняння:

Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно (1)
однорідне рівняння
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно (2)
однорідне сполучене рівняння
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно
(3)

Теорема Фредґольма.

Теорема.
1. Якщо однорідне рівняння (2) має єдине тривіальне рішення, то неоднорідне рівняння (1) має єдине рішення для будь-якої правої частини гільбертового простору H.
2. Якщо рівняння (2) має нетривіальне рішення, то тоді неоднорідне рівняння (1) можна розв’язати тоді і тільки тоді, коли права частина рівняння (1) ортогональна всім рішенням рівняння (3) :
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно.
3. Розмірність ядра оператора
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно дорівнює розмірності оператора
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно та кінцева.
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно.
Введемо:
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовнотоді
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно.
Лемма 1.
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно,
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно.
Доведення.
Припустимо неприємне :
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно.
Ядро – замикає лінійний підпростір.
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно
Отже, одинична куля відображається на себе (у некомпактне безліч), а оператор компактний.
Ядро — замикання нескінченномірного підпростору простору Гільберта.
Маємо протиріччя, що доводить теорему.
Лемма 2.
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно,
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно — Замкнуті в підпросторі.
Доведення.
Нехай
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно. Доведемо, що
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно.
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно.
Розкладемо
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно на ортогональні складові.
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовноКурсова - Частина 5 - скачати безкоштовно, де
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно.
Значить:
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно .
1).
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно — обмежена послідовність, отже можна вибрати підпослідовність
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно таку, що
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно— схожа.
Тоді:
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно. В цьому випадку
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно сходить у H.
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно.
2).
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно — Необмежена. Можна вибрати підпослідовність
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно таку, що:
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовнотоді :
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно,
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно.
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно,
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно,
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно
Зі збіжності випливає, що ненульові елементи належать ядру та ортогональному доповненню:
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно.
Лемма 3.
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно
Доведення.(перша частина)
Нехай
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовнотоді :
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно.
Отримали:
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно.
Нехай
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовнотоді :
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно.
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно.
Значить:
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно.
Введемо позначення:
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно
Лемма 4.
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно.
Доведення.
Припустимо неприємне: нехай такого k не існує.
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно.
Візьмемо n.
При цьому
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно.
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно.
З підпослідовності
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно не можна вибрати фундаментальну підпослідовність:
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно — фундаментальна.
Набули протиріччя.
Лемма 5.
Нехай
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно тоді
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно.
Доведення. (Збігається з доказом 1-ої частини теореми).
Припустимо неприємне :
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно.
Припустили:
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно, тобто. :
Для
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно.
Одночасно: для
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно.
Нехай
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно
За індукцією:
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно.
Отримано протиріччя. Лемма 5 доведена.
Лемма 6.
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно.
Доведення.
Припустимо неприємне, тобто.
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно.
Позначимо через
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно — ортонормований базис у
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно.
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно.
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно.
Якщо доведемо, що оператор S має тривіальне ядро, то по лемі 5 отримаємо:
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно.
Нехай
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно. По лемі 3 отримуємо
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно.
Якщо x ортогональний
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно для будь-якого i , то :
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно.
Можна вибрати
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно.
Помножимо ліву та праву частини рівності на
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно :
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно
Значить: n = m.
Підтвердження теореми Фредгольма.
1) доведено по лемі 5;
2) доведено по лемі 6 та по лемі 3;
3) доведено по лемі 1 та 6.
Теорему доведено.

Тема. Теорема Гільберта-Шмідта.

Нехай
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно ,
A
— самосполучений, обмежений оператор; H — унітарний, нескінченномірний повний сепарабельний простір.
Лемма 1.
Нехай
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно — самосполучений, лінійний, обмежений оператор, тоді всі власні значення – речові.
Доведення.
Нехай
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно — Власне значення оператора A, що відповідає власній функції
x
тоді:
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно
Лемма 2.
Нехай
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно — самосполучений, лінійний, обмежений оператор, тоді власні функції, що відповідають різним власним значенням, ортогональні.
Доведення.
Нехай
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно — різні власні значення оператора A, що відповідають різним власним функціям
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно тоді:
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно
Значить, власні функції ортогональні.
Додаткові позначення.
Розглянемо квадратичну форму
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно — ермітова і набуває лише речових значень. Позначимо через
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно .
Лемма 3.
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно — Норма оператора дорівнює супренуму від модуля квадратичної форми.
Пояснення:
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно ,
тобто.
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно
Доведення.
1) доведемо, що:
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно.
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно; звідси:
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно.
2) доведемо, що:
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно.
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно
Лемма доведена.
Позначимо через
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно .
Лемма 4.
Нехай
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно — Обмежений, самосполучений оператор в Hтоді: m і M
належать спектру оператора A:
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно.
Доведення.
Замість A розглянемо A-mE (спектр зрушить на m, і оператор стане невід’ємним):
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно
Не обмежуючи спільності міркувань: оператор A — Невід’ємний.
2.
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно — Доведемо.
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно, та послідовність
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно , що:
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно . Розглянемо:
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно (Т.к.
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно, Член обмежений:
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно )
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно.
Отримано:
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно та норма образу
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно .
A-ME — не може мати обмежений зворотний оператор.
Визначення.
Підпростір
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно називається інваріантним підпростором оператора A, якщо з
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно слід
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно .
Лемма 5.
Нехай
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно — інваріантний підпростір обмеженого самосполученого оператора Aтоді:
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно — ортогональне доповнення до цього підпростору — теж інваріантний підпростір того самого оператора A.
Доведення.
Нехай
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно ; доведемо, що
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно .
Розглянемо:
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно , де:
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно ,
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно .
Лемма доведена.
Лемма 6.
Спектр компактного, самосполученого оператора складається з 0 та ізольованих власних значень кінцевої кратності.
Доведення.
1. Доведемо, що
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно завжди.
Нехай
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно тоді існує обмежений зворотний оператор
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно .
Візьмемо
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно .
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно переводить кулю (не компактне безліч) у себе. Отримано протиріччя.
2. Розглянемо
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно
Якщо
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно — Власне значення оператора A, то (2) — має нетривіальне рішення, і (1) — завжди можна розв’язати. За теоремою Банаха – оператор A має обмежений зворотний оператор.
Випадок 1: (2) має нетривіальне рішення, і (1) має рішення не для всіх правих частин, а тільки для тих, які є ортогональними рішенням (2).
Випадок 2:
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно ; інших ненульових точок, крім власного значення, не може.
3. Доведемо: усі власні значення обмежені.
Розглянемо
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно , де:
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно — Власний вектор, що відповідає власному значенню
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно ,
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно — Власний вектор, що відповідає власному значенню
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно ,
тоді:
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно .
Отримано протиріччя.
Коментарі:
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно
— 0 то, можливо власним значенням нескінченної кратності, а решта спектра — з кінцевого числа власних значень.
— 0 може бути власним значенням, але тоді він — точка безперервного спектра.
Остаточно: спектр складається із ізольованих власних значень кінцевої кратності та 0.

Теорема Гільберта-Шмідта.

Нехай
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно — компактний самосполучений оператор, тоді існує ортонормований базис
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно , що складається з власних функцій оператора A.
Доведення.
Оператор A — ненульовий, отже:
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно і
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно .
Значить,
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно можна визначити як максимум, і m , M— Власні значення. Можна знайти найбільше за модулем власне значення
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно . Воно має кінцеву кратність, йому відповідає кілька власних векторів.
Проведемо процес ортогоналізації і отримаємо
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно — підпростір власних векторів оператора A, що відповідають власному значенню
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно . Далі розглянемо
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно — теж інваріантний підпростір, і на ньому A — компактний, самосполучений. Якщо A на
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно не дорівнює 0, на ньому розглянемо
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно . Знайдемо аналогічно
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно і відповідне йому
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно . Розглянемо
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно і знайдемо власне значення, якщо оператор — не 0. У результаті отримано
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно.
Кінець:
на якомусь ортогональному підпросторі оператор A звертається до 0, і отримана кінцева сума , тобто.
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно .
інакше:
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно — ортогональна сума підпросторів збігається з H , т.к. інакше на ортогональній сумі розглядається ортогональне доповнення, і є ще одне власне значення.
Можливі 2 випадки:
1) ортонормований базис з елементів підпросторів (у цьому випадку система власних векторів доповнюється до ортонормованого базису елементами ядра оператора A):
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно ;
2) нескінченний ортонормований базис:
Курсова - Частина 5 - скачати безкоштовно .

© Реферат плюс



Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *