Курсова - 4 Динамічні системи, що спостерігаються на тлі шумів
Химия

Курсова — 4 Динамічні системи, що спостерігаються на тлі шумів


Одновимірні динамічні системи та фільтр Калмана

Курсова - 4 Динамічні системи, що спостерігаються на тлі шумів

Шуми
Курсова - 4 Динамічні системи, що спостерігаються на тлі шумів— Називаються шумами спостереження (для активних перешкод). Завдання фільтрації вирішуватимемо методом найменших квадратів. Завдання фільтрації вимагає зменшити
Курсова - 4 Динамічні системи, що спостерігаються на тлі шумів.

Вводимо емпіричний ризик :

Курсова - 4 Динамічні системи, що спостерігаються на тлі шумів

— Це є класичний запис методу найменших квадратів. Емпіричний ризик названий так тому, що на ризик
Курсова - 4 Динамічні системи, що спостерігаються на тлі шумів входять спостереження. Відповідно до формули (2) потрібно
мінімізувати ризик, а отже зменшити вплив шумів.

Якби не було придумано модель рівняння (1), тоді неможливо було б записати ризик
Курсова - 4 Динамічні системи, що спостерігаються на тлі шумів. Необхідно так вибрати
Курсова - 4 Динамічні системи, що спостерігаються на тлі шумів, щоб отримати мінімум по всій траєкторії
Ці
Курсова - 4 Динамічні системи, що спостерігаються на тлі шумів будемо позначати:
Курсова - 4 Динамічні системи, що спостерігаються на тлі шумів— оптимальна траєкторія

Вона виходить шляхом диференціювання
Курсова - 4 Динамічні системи, що спостерігаються на тлі шумів , i=1,2…n
Виконавши математичні операції отримуємо одновимірний фільтр Калмана.

Курсова - 4 Динамічні системи, що спостерігаються на тлі шумів

Коментар до формули (3) :

Фільтр Калмана згладжує шуми та виявляється, якщо шуми
Курсова - 4 Динамічні системи, що спостерігаються на тлі шумів гауссівські, то цей фільтр є оптимальним.

Курсова - 4 Динамічні системи, що спостерігаються на тлі шумів

Тобто. середньоквадратична помилка буде мінімізована.
Якщо шуми
Курсова - 4 Динамічні системи, що спостерігаються на тлі шумів не є гауссівськими, то така оцінка
Курсова - 4 Динамічні системи, що спостерігаються на тлі шумів є асимптотично мінімальною, тобто. (4) виконується коли n ® ? .
Формула (4) є критерієм мінімуму середньоквадратичної помилки.
Фільтр Калмана дає оцінку процесу
Курсова - 4 Динамічні системи, що спостерігаються на тлі шумів справжнього процесу
Курсова - 4 Динамічні системи, що спостерігаються на тлі шумів для гауссовских шумів, оптимальну за критерієм (4), тобто. за критерієм мінімуму середньоквадратичної помилки.

Зауваження 1 : Оптимальність означає, що не існує іншого фільтра, який міг би дати такі ж результати по середньоквадратичній помилці. (Інші фільтри дають велику помилку)

Зауваження 2 : Фільтр Калмана, на відміну від узгодженого фільтра, виділяє форму сигналу якнайкраще. (Узгоджений фільтр виявляє сигнал і дає максимум відношення сигнал/шум на виході і сильно спотворює сигнал) Для узгодженого фільтра все одно яка форма сигналу на виході, а фільтр Калмана видає той же сигнал, що і на вході. Тобто. узгоджений фільтр — виявлення сигналу, а фільтр Калмана — для фільтрації від шумів.

Примітка 3 : Фільтр Калмана записується у часовій області, а не в частотній, як фільтр Віннера.

Фільтр Віннера — реалізований у частотній області.

Курсова - 4 Динамічні системи, що спостерігаються на тлі шумів

Аналіз фільтру Калмана

Курсова - 4 Динамічні системи, що спостерігаються на тлі шумів

Фільтрування повільних процесів

Курсова - 4 Динамічні системи, що спостерігаються на тлі шумів

Фільтрування швидких процесів

Курсова - 4 Динамічні системи, що спостерігаються на тлі шумів

Тоді
Курсова - 4 Динамічні системи, що спостерігаються на тлі шумів, в цьому випадку
Курсова - 4 Динамічні системи, що спостерігаються на тлі шумів (Оцінка) дорівнює самим спостереженням. Це означає, що фільтр Калмана не довіряє попереднім оцінкам.

Висновок: Фільтр Калмана мінімізує і флуктуаційну та динамічну помилку.

Динамічною помилкою називається різниця між оцінкою
Курсова - 4 Динамічні системи, що спостерігаються на тлі шумів і справжнім значенням
Курсова - 4 Динамічні системи, що спостерігаються на тлі шумів процесу.
Курсова - 4 Динамічні системи, що спостерігаються на тлі шумівКурсова - 4 Динамічні системи, що спостерігаються на тлі шумів= Динамічна помилка.
Флуктуаційна помилка – теж, але за рахунок шуму.
При швидкому процесі шуми практично не фільтруються.

Нев’язка
Курсова - 4 Динамічні системи, що спостерігаються на тлі шумів входить у фільтр Калмана і виконує роль коригуючого члена, який у формулі (3)
враховує ситуацію, що дають спостереження.
Оцінка на кроці ‘n’ дорівнює екстраполірованій оцінці плюс деякий член, що коригує, який є нев’язка, яка взята з вагою
Курсова - 4 Динамічні системи, що спостерігаються на тлі шумів. (Корегуючий член враховує спостереження на кроці ‘n’)
Курсова - 4 Динамічні системи, що спостерігаються на тлі шумів враховує апріорну динаміку системи (моделі).

Висновок (по одномірному фільтру Калмана):

1) Фільтр Калмана можна побудувати як реккурентного алгоритму лише тому випадку, якщо є модель випадкового процесу, що він фільтрує.
2) Фільтр Калмана є оптимальним для реального процесу тільки в тому випадку, якщо реальний процес близький до моделі, яку ми використовуємо.

Багатовимірний фільтр Калмана

Курсова - 4 Динамічні системи, що спостерігаються на тлі шумів

Багатовимірний фільтр Калмана для моделі (1) :

Курсова - 4 Динамічні системи, що спостерігаються на тлі шумів

Траєкторні зміни

Часто потрібно отримати оцінку траєкторії літального апарату. Літальний апарат може бути зафіксований за допомогою радіолокатора або деякою навігаційною системою.

Літальний апарат розглядається в деякій системі координат:

Курсова - 4 Динамічні системи, що спостерігаються на тлі шумів

Траєкторний фільтр 2-го порядку

Курсова - 4 Динамічні системи, що спостерігаються на тлі шумів

Перші два рядки (1) – це модель, останній рядок – спостереження.

Складемо багатовимірний фільтр Калмана, для цього за моделлю (1) складемо багатовимірну модель.

Курсова - 4 Динамічні системи, що спостерігаються на тлі шумів

Траєкторний фільтр 3-го порядку

Курсова - 4 Динамічні системи, що спостерігаються на тлі шумів

Теорія нелінійної фільтрації

Тут нелінійні моделі записуються у вигляді:

(1)
Курсова - 4 Динамічні системи, що спостерігаються на тлі шумів ;

тут: верхня функція — нелінійна регресія, нижня — рівняння спостережень.
Функція
Курсова - 4 Динамічні системи, що спостерігаються на тлі шумів генерує на будь-якому інтервалі деякий випадковий процес
Курсова - 4 Динамічні системи, що спостерігаються на тлі шумів. Це модель деякого випадкового процесу, багатша, ніж усі попередні моделі.
Рівняння спостережень: спостерігається не сама
Курсова - 4 Динамічні системи, що спостерігаються на тлі шуміва деяка функція j(Курсова - 4 Динамічні системи, що спостерігаються на тлі шумів); спостереження ведуться на тлі шумів
Курсова - 4 Динамічні системи, що спостерігаються на тлі шумів
Курсова - 4 Динамічні системи, що спостерігаються на тлі шумів — шум нелінійної динамічної системи (шум моделі)

1) Потрібно знайти оцінку
Курсова - 4 Динамічні системи, що спостерігаються на тлі шумів, Таку, щоб :
(2)
Курсова - 4 Динамічні системи, що спостерігаються на тлі шумів
Курсова - 4 Динамічні системи, що спостерігаються на тлі шумів
Формула (2) – критерій мінімуму середньоквадратичної помилки.
2) Потрібно отримати реккурентну оцінку, таку як у фільтрі Калмана.

У чистому вигляді одержати оптимальну оцінку не можна, є лише наближені рішення, коли функції f(x) і j(x) — лінеаризуються.
Курсова - 4 Динамічні системи, що спостерігаються на тлі шумів
Тейлорівська лінеарізація — використовується ряд Тейлора, лінійна частина (1-а, 2-го
члена). (j(x) та f(x) — мають безперервні перші похідні).

Розкладання в ряд Тейлора в точці
Курсова - 4 Динамічні системи, що спостерігаються на тлі шумів
Курсова - 4 Динамічні системи, що спостерігаються на тлі шумів
де
Курсова - 4 Динамічні системи, що спостерігаються на тлі шумів — Оцінка, яку ми ще не знаємо, але збираємося знаходити.
Ці лінеаризовані функції підставимо в (1) і отримаємо лінійну систему:

(2)
Курсова - 4 Динамічні системи, що спостерігаються на тлі шумів

Коефіцієнти a, b, c, d перебувають після підстановки.
Курсова - 4 Динамічні системи, що спостерігаються на тлі шумів і
Курсова - 4 Динамічні системи, що спостерігаються на тлі шумів мають довільний розподіл.
Будемо використовувати метод найменших квадратів для знаходження оцінок
Курсова - 4 Динамічні системи, що спостерігаються на тлі шумів.

Курсова - 4 Динамічні системи, що спостерігаються на тлі шумів ;
Курсова - 4 Динамічні системи, що спостерігаються на тлі шумів ;
Курсова - 4 Динамічні системи, що спостерігаються на тлі шумів
Випишемо емпіричний ризик:

Курсова - 4 Динамічні системи, що спостерігаються на тлі шумів

r – функціонал.

Після лінеаризації:
Курсова - 4 Динамічні системи, що спостерігаються на тлі шумів
похідна з r береться легко

Продиференціювавши і скориставшись методом індукції отримуємо:

(3)
Курсова - 4 Динамічні системи, що спостерігаються на тлі шумів

Курсова - 4 Динамічні системи, що спостерігаються на тлі шумів

Висновки:
1. У зв’язку з тим, що початкова точка розкладання
в ряд Тейлора функції j(x) була обрана в точ-
ке
Курсова - 4 Динамічні системи, що спостерігаються на тлі шумів, то незважаючи на лінеаризацію, урівно-
нение (3) вийшло як нелінійне і воно по-
схоже на рівняння (1) моделі.
2. На відміну від фільтра Калмана,
Курсова - 4 Динамічні системи, що спостерігаються на тлі шумів, При рік-
курентне його обчислення входить
Курсова - 4 Динамічні системи, що спостерігаються на тлі шумів — Оцінка
‘x’ на першому кроці. Коефіцієнт посилення можна
обчислити заздалегідь за ‘n’ кроків (у фільтрі Кал-
мана). Але тут цього не можна зробити. Сущест-
е так звана зворотний зв’язок.

Приклад нелінійної фільтрації :

Курсова - 4 Динамічні системи, що спостерігаються на тлі шумів ;
Курсова - 4 Динамічні системи, що спостерігаються на тлі шумів
T — період коливання
t – період дискретизації
t – поточний час
Курсова - 4 Динамічні системи, що спостерігаються на тлі шумів— фаза гармонійного коливання з амплітудою 1

Курсова - 4 Динамічні системи, що спостерігаються на тлі шумів процес спостерігається на тлі шуму

Курсова - 4 Динамічні системи, що спостерігаються на тлі шумів — дискретна частота;
Курсова - 4 Динамічні системи, що спостерігаються на тлі шумів

Курсова - 4 Динамічні системи, що спостерігаються на тлі шумів

Відношення сигнал/шум може бути менше 1. Потрібно отримати оцінку фази, таку, щоб різниця у квадраті була мінімальною.

Курсова - 4 Динамічні системи, що спостерігаються на тлі шумів

(5) — ФНЧ, фільтрує 2-ю гармоніку повністю (різницю у рівнянні)

Структурна схема ФАП

Курсова - 4 Динамічні системи, що спостерігаються на тлі шумів

На вхід надходить адитивна суміш.

Принцип роботи ФАП

Вимірювач фази є системою, що стежить з негативним зворотним зв’язком. Опорне коливання
Курсова - 4 Динамічні системи, що спостерігаються на тлі шумів з фазою
Курсова - 4 Динамічні системи, що спостерігаються на тлі шумів — Екстраполірована фаза.
Курсова - 4 Динамічні системи, що спостерігаються на тлі шумів?Курсова - 4 Динамічні системи, що спостерігаються на тлі шумів. Чим точніше екстраполяція, тобто. чим менше
Курсова - 4 Динамічні системи, що спостерігаються на тлі шумів, Тим точніше буде оцінка.

© Реферат плюс



Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *