Курсова - 4 Динамічні системи, що спостерігаються на тлі шумів

Одновимірні динамічні системи та фільтр Калмана

Шуми
— Називаються шумами спостереження (для активних перешкод). Завдання фільтрації вирішуватимемо методом найменших квадратів. Завдання фільтрації вимагає зменшити
.

Вводимо емпіричний ризик :

— Це є класичний запис методу найменших квадратів. Емпіричний ризик названий так тому, що на ризик
входять спостереження. Відповідно до формули (2) потрібно
мінімізувати ризик, а отже зменшити вплив шумів.

Якби не було придумано модель рівняння (1), тоді неможливо було б записати ризик
. Необхідно так вибрати
, щоб отримати мінімум по всій траєкторії
Ці
будемо позначати:
— оптимальна траєкторія

Вона виходить шляхом диференціювання
, i=1,2…n
Виконавши математичні операції отримуємо одновимірний фільтр Калмана.

Коментар до формули (3) :

Фільтр Калмана згладжує шуми та виявляється, якщо шуми
гауссівські, то цей фільтр є оптимальним.

Тобто. середньоквадратична помилка буде мінімізована.
Якщо шуми
не є гауссівськими, то така оцінка
є асимптотично мінімальною, тобто. (4) виконується коли n ® ? .
Формула (4) є критерієм мінімуму середньоквадратичної помилки.
Фільтр Калмана дає оцінку процесу
справжнього процесу
для гауссовских шумів, оптимальну за критерієм (4), тобто. за критерієм мінімуму середньоквадратичної помилки.

Зауваження 1 : Оптимальність означає, що не існує іншого фільтра, який міг би дати такі ж результати по середньоквадратичній помилці. (Інші фільтри дають велику помилку)

Зауваження 2 : Фільтр Калмана, на відміну від узгодженого фільтра, виділяє форму сигналу якнайкраще. (Узгоджений фільтр виявляє сигнал і дає максимум відношення сигнал/шум на виході і сильно спотворює сигнал) Для узгодженого фільтра все одно яка форма сигналу на виході, а фільтр Калмана видає той же сигнал, що і на вході. Тобто. узгоджений фільтр — виявлення сигналу, а фільтр Калмана — для фільтрації від шумів.

Примітка 3 : Фільтр Калмана записується у часовій області, а не в частотній, як фільтр Віннера.

Фільтр Віннера — реалізований у частотній області.

Аналіз фільтру Калмана

Фільтрування повільних процесів

Фільтрування швидких процесів

Тоді
, в цьому випадку
(Оцінка) дорівнює самим спостереженням. Це означає, що фільтр Калмана не довіряє попереднім оцінкам.

Висновок: Фільтр Калмана мінімізує і флуктуаційну та динамічну помилку.

Динамічною помилкою називається різниця між оцінкою
і справжнім значенням
процесу.
—= Динамічна помилка.
Флуктуаційна помилка – теж, але за рахунок шуму.
При швидкому процесі шуми практично не фільтруються.

Нев’язка
входить у фільтр Калмана і виконує роль коригуючого члена, який у формулі (3)
враховує ситуацію, що дають спостереження.
Оцінка на кроці ‘n’ дорівнює екстраполірованій оцінці плюс деякий член, що коригує, який є нев’язка, яка взята з вагою
. (Корегуючий член враховує спостереження на кроці ‘n’)
враховує апріорну динаміку системи (моделі).

Висновок (по одномірному фільтру Калмана):

1) Фільтр Калмана можна побудувати як реккурентного алгоритму лише тому випадку, якщо є модель випадкового процесу, що він фільтрує.
2) Фільтр Калмана є оптимальним для реального процесу тільки в тому випадку, якщо реальний процес близький до моделі, яку ми використовуємо.

Багатовимірний фільтр Калмана

Багатовимірний фільтр Калмана для моделі (1) :

Траєкторні зміни

Часто потрібно отримати оцінку траєкторії літального апарату. Літальний апарат може бути зафіксований за допомогою радіолокатора або деякою навігаційною системою.

Літальний апарат розглядається в деякій системі координат:

Траєкторний фільтр 2-го порядку

Перші два рядки (1) – це модель, останній рядок – спостереження.

Складемо багатовимірний фільтр Калмана, для цього за моделлю (1) складемо багатовимірну модель.

Траєкторний фільтр 3-го порядку

Теорія нелінійної фільтрації

Тут нелінійні моделі записуються у вигляді:

(1)
;

тут: верхня функція — нелінійна регресія, нижня — рівняння спостережень.
Функція
генерує на будь-якому інтервалі деякий випадковий процес
. Це модель деякого випадкового процесу, багатша, ніж усі попередні моделі.
Рівняння спостережень: спостерігається не сама
а деяка функція j(); спостереження ведуться на тлі шумів

— шум нелінійної динамічної системи (шум моделі)

1) Потрібно знайти оцінку
, Таку, щоб :
(2)

Формула (2) – критерій мінімуму середньоквадратичної помилки.
2) Потрібно отримати реккурентну оцінку, таку як у фільтрі Калмана.

У чистому вигляді одержати оптимальну оцінку не можна, є лише наближені рішення, коли функції f(x) і j(x) — лінеаризуються.

Тейлорівська лінеарізація — використовується ряд Тейлора, лінійна частина (1-а, 2-го
члена). (j(x) та f(x) — мають безперервні перші похідні).

Розкладання в ряд Тейлора в точці

де
— Оцінка, яку ми ще не знаємо, але збираємося знаходити.
Ці лінеаризовані функції підставимо в (1) і отримаємо лінійну систему:

(2)

Коефіцієнти a, b, c, d перебувають після підстановки.
і
мають довільний розподіл.
Будемо використовувати метод найменших квадратів для знаходження оцінок
.

;
;

Випишемо емпіричний ризик:

r – функціонал.

Після лінеаризації:

похідна з r береться легко

Продиференціювавши і скориставшись методом індукції отримуємо:

(3)

Висновки:
1. У зв’язку з тим, що початкова точка розкладання
в ряд Тейлора функції j(x) була обрана в точ-
ке
, то незважаючи на лінеаризацію, урівно-
нение (3) вийшло як нелінійне і воно по-
схоже на рівняння (1) моделі.
2. На відміну від фільтра Калмана,
, При рік-
курентне його обчислення входить
— Оцінка
‘x’ на першому кроці. Коефіцієнт посилення можна
обчислити заздалегідь за ‘n’ кроків (у фільтрі Кал-
мана). Але тут цього не можна зробити. Сущест-
е так звана зворотний зв’язок.

Приклад нелінійної фільтрації :

;

T — період коливання
t – період дискретизації
t – поточний час
— фаза гармонійного коливання з амплітудою 1

процес спостерігається на тлі шуму

— дискретна частота;

Відношення сигнал/шум може бути менше 1. Потрібно отримати оцінку фази, таку, щоб різниця у квадраті була мінімальною.

(5) — ФНЧ, фільтрує 2-ю гармоніку повністю (різницю у рівнянні)

Структурна схема ФАП

На вхід надходить адитивна суміш.

Принцип роботи ФАП

Вимірювач фази є системою, що стежить з негативним зворотним зв’язком. Опорне коливання
з фазою
— Екстраполірована фаза.
?. Чим точніше екстраполяція, тобто. чим менше
, Тим точніше буде оцінка.