Курсова - 3. Математична модель квазіперіодичної структури НВЧ ліній уповільнення

При статистичних дослідженнях геометричних розмірів елементів просторової структури ЛЗ встановлено, що з-за різних технологічних похибок, ці розміри є випадковими величинами з нормальним законом розподілу. Таким чином, просторова структура ЛЗ не є строго переодичною, а тому її енергетичний спектр відрізнятиметься від енергетичного спектра періодичних структур.
З скалярної теорії [7, 8] відомо, що оптичною системою КОС у площині спектрального аналізу формується дифракційне зображення просторового об’єкта, вміщеного у вхідній площині. Математичні залежності, що описують форму дифракційного зображення, можуть бути визначені лише шляхом вирішення задачі про дифракцію когерентної світлової хвилі на просторовій структурі об’єкта. Однак для просторової структури ЛЗ з флуктуаціями періодичності, вирішення такого завдання суто оптичними методами не може бути отримане через значну математичну складність її. Крім того, ці методи застосовні лише для вирішення дифракційних завдань на регулярних детермінованих просторових структурах і непридатні для випадкових просторових сигналів.
Тому в даний час такі завдання для випадкових оптичних сигналів вирішують в оптиці із застосуванням методів статистичної радіофізики в силу єдності фізичних процесів та математичних методів аналізу проходження електричних сигналів в електричних ланцюгах та розповсюдження просторових сигналів в оптичних системах. Це дозволяє визначити розподіл освітленості в дифракційному зображенні квазіперіодичної просторової структури ЛЗ (тобто її енергетичний спектр) шляхом обчислення усередненого квадрата перетворення Фур’є над її амплітудним коефіцієнтом пропускання.

Просторова штрихова структура ЛЗ є квазіперіодичним сигналом, у техніці ВСОІ, і складається з взаємонезалежних прозорих щілин та непрозорих стінок. До того ж період просторової структури ЛЗ також є випадковою величиною, оскільки він дорівнює сумі двох взаємонезалежних величин. Таким чином, просторова структура ЛЗ відноситься до класу випадкових квазіперіодичних сигналів.
Оскільки освітленість просторової структури ЛЗ, поміщеної у вхідній площині КОС, рівномірна по полю, її амплітудний коефіцієнт попускання
може бути описаний одинично-нульовою функцією. Тому, в межах ширини
прозорих щілин функція
, а в межах ширини
непрозорих стінок, відповідно, 0. Крім того, ширина щілин
та стінок
є величинами взаємонезалежними, оскільки при вигинах стінок товщина
їх не змінюється, а змінюється лише ширина
щілин. Взаємонезалежність цих величин також виникає і тому, що зуби у верхньому і нижньому гребінках нарізаються окремо на різних заготовках, після спаювання яких утворюються між зубами щілини, а ширина їх вже не залежить від товщини зубів, що підтверджується також дрібністю коефіцієнта кореляції.
для розмірів
і
.
Фрагмент квазіперіодичної просторової структури ЛЗ та відповідна йому функція пропускання
у перерізі у = 0 показані на рис.4 (а і б), де Рх — період просторової структури, що дорівнює
.
Оскільки ширина
щілин та
стінок є величинами випадковими та взаємонезалежними, то й період
Просторова структура ЛЗ буде також величиною випадковою. Період
є сумою двох випадкових величин з нормальними законами розподілу, отже, закон розподілу
також буде нормальним.
Таким чином, амплітудний коефіцієнт пропускання
просторової квазіперіодичної структури ЛЗ може бути описаний функцією виду
(2.4), де
— порядковий номер щілини,
— Просторова координата положення початку щілини,
— висота перекриття зубів у квазіперіодичній структурі ЛЗ.
З виразу (2.4) видно, що змінні х та у функції
взаємонезалежні, а тому ця функція є функцією з змінними, що розділяються, і може бути представлена у вигляді добутку функцій
і
, тобто.
(2.5).
У виразі (2.5) функція
є фінітною в межах висоти
перекриття зубів верхньої та нижньої гребінок просторової структури ЛЗ вздовж координати х, як показано на рис.4б.

Для оптичної системи КОС просторова структура ЛЗ є квазіперіодичним сигналом. Натомість, основними характеристиками такого сигналу, тобто. просторової структури ЛЗ, є:

Для опису спектральних та кореляційних функцій випадкових сигналів часто використовуються характеристичні функції. Характеристична функція
випадкової величини
є фур’єобразом її закону розподілу
, тобто.
, де
— Просторова частота, що вимірюється в [мм-1], оскільки в даному випадку координата
є просторовою та має розмірність [мм].
Тоді з урахуванням
отримаємо:
, а вводячи заміну змінних видів
. Цей інтеграл у нових межах інтегрування від
до
можна уявити через елементарні функції наступним виразом
(2.6) , та аналогічно
(2.7).
Отримані вирази (2.6) та (2.7) є характеристичними функціями квазіперіодичної просторової структури ЛЗ із нормальним законом розподілу ширини
стінок та
щілин.
Як в оптичних, так і в електронних пристроях спектрального аналізу сигналів існує можливість отримання як амплітудного, так і енергетичного спектрів. Однак у теорії спектрального аналізу просторових сигналів відомо, що при використанні квадратичних фотодетекторів для реєстрації параметрів дифракційного зображення, що формується оптичною системою КОС, на її виході автоматично формується енергетичний спектр досліджуваного сигналу. Параметри такого спектру можуть бути виміряні відповідними контрольно-вимірювальними приладами, а його форма визначена із застосуванням методів статистичної радіооптики шляхом інтегрального перетворення Вінера-Хінчина, або на основі теореми Хіллі.
Тому використовуючи аналогію математичних методів дослідження спектральних характеристик просторових та тимчасових сигналів, розподіл комплексних амплітуд спектру пропускання
у дифракційному зображенні просторової квазіперіодичної структури ЛЗ можна визначити як
, або з урахуванням (2.5)
.
Отримане вираз описує амплітудний спектр функції
пропускання квазіперіодичної просторової структури ЛЗ. Енергетичний спектр
цієї функції можна визначити за допомогою теореми Хіллі [3.11] як
, або ж
.
Однак у роботах [16, 17] показано, що для квазіперіодичного сигналу, що описується одинично-нульовою функцією виду (2.4)
(2.8), де
— дискретна складова спектру на нульовій частоті, яка для квазіперіодичної структури ЛЗ дорівнюватиме
(2.9), а
— безперервна складова спектру, рівна:
(2.10), що справедливо для
і
не рівних 1, згідно [3.35].
У виразах (2.9) та (2.10) параметр
є просторовою частотою енергетичного спектра досліджуваного сигналу, величина якої визначається коефіцієнтом
масштабу і залежить від схеми побудови та геометричних розмірів оптичної системи КОС.
Для визначення форми енергетичного спектру просторової структури ЛЗ розглянемо речовинну частину комплексного дробу у вираженні (2.10), позначивши її через, тобто.
(2.11). Підставивши в (2.11) вирази (2.6) та (2.7) характеристичних функцій
і
отримаємо:
(2.12).
Вираз (2.12) є комплексним дріб виду
, речова частина якої дорівнює
(2.13).
Тоді, виконавши алгебраїчні перетворення над (2.12) з використанням (2.13), речовинну частину виразу (2.12) можна представити у вигляді :
(2.14).
Підставивши (2.14) (2.10), отримаємо рівняння безперервної складової енергетичного спектру квазіперіодичної просторової структури ЛЗ:
(2.15), а енергетичний спектр просторової структури ЛЗ із нормальним законом розподілу ширини щілин та стінок може бути представлений наступним виразом:

(2.16).
Найбільший інтерес для практичної реалізації в оптичних системах КОС для автоматизації контролю статистичних характеристик просторової структури ЛЗ представляє друге доданок вирази (2.16), що містить функціональний взаємозв’язок цих характеристик. Оскільки це доданок містить гармонічні функції, що вказує на наявність частот
екстремальних амплітуд спектру. Величини екстремальних амплітуд спектру та їх частоти
повністю визначаються статистичними характеристиками геометричних розмірів елементів просторової структури ЛЗ.
Перше доданок (2.16) описує амплітуду спектра на нульовій частоті, а в оптичній системі КОС — інтенсивність недифрагованого світлового потоку, який фокусується оптичною системою на його осі в площині спектрального аналізу.