Курсова - 2 Математичний опис систем
Химия

Курсова — 2 Математичний опис систем


(детермінована терія) (ідеальний випадок)

Лінійні системи, що описуються диференціальними рівняннями, називаються динамічними системами.

Якщо система описується алгебраїчними рівняннями — це опис стану рівноваги (статичні системи)

Курсова - 2 Математичний опис систем

(1) — Лінійне диференціальне рівняння n-го порядку.
Права частина – це диференціальне рівняння впливу. Якщо Ly=0 (2) Ly = Px.

(2)- однорідне диференціальне рівняння — визначає лінійні динамічні системи без на них. Наприклад коливальний контур.

Права частина рівняння (1) описує вплив на лінійну систему або називається керуванням.

Ly = x — управління.
Якщо є частина Px — це складне управління, що враховує швидкість, прискорення.

Передатна функція лінійної системи

Від диференціального рівняння (1) можна перейти до лінійної системи, тобто. до деякого чотириполюсника.

Курсова - 2 Математичний опис систем

Цей чотириполюсник можна створити на елементній базі або змоделювати на ЕОМ.

Від диференціального рівняння (1) до W(p) можна перейти двома шляхами – використовуючи символічний метод та 2-ге перетворення Лапласа.

Курсова - 2 Математичний опис систем

Застосувавши символічний метод до (1) отримаємо:

Курсова - 2 Математичний опис систем

Формула (3) є відношенням двох поліномів — опис передавальної функції.

Використання перетворення Лапласа

Курсова - 2 Математичний опис систем

Якщо права частина передавальної функції найпростіша —
Курсова - 2 Математичний опис систем, то вплив звичайний. Передатна функція матиме вигляд:

Курсова - 2 Математичний опис систем

де знаменник дробу є характеристичним рівнянням.

приклад : Диференціальне рівняння 2-го порядку описується передатною функцією:

Курсова - 2 Математичний опис систем

Для знаходження рішення диференціального рівняння спочатку необхідно вирішити наступне рівняння:
Курсова - 2 Математичний опис систем
Відомо, що диференціальне рівняння 2-го порядку має рішення як комплексної експоненти чи дій з неї. (Це залежить від коренів характеристичного рівняння). Якщо коріння комплексне, тоді рішення буде :

Курсова - 2 Математичний опис систем

Якщо коріння ±a + jw рішення буде
Курсова - 2 Математичний опис систем (7)?

(7) і (7)’ — рішення у вигляді наростаючої або загасаючої синусоїди, або звичайної синусоїди, якщо a=0.

Стійкість лінійних систем

Лінійна система повністю описується передатною функцією, яка являє собою:
Курсова - 2 Математичний опис систем у комплескній площині p = s + jw. Ці поліноми одержані з диференціальних рівнянь шляхом перетворення Лапласа.
Ставиться проблема: як дослідити систему за допомогою W(p) Виявляється, що це простіше зробити, ніж досліджувати диференціальні рівняння. Дослідження по W(p) проводиться за допомогою аналізу полюсів та нулів.

Полюсом називається значення кореня рівняння в знаменнику, при якому Q(p)=0.

Кількість коренів визначається ступенем полінома. Якщо коріння комплексно-сполучені, то точці, де Q(Курсова - 2 Математичний опис систем)=0, W(p)=? — Полюс.

Нулями W(p) називаються точки на комплексній площині, де поліном P(p)=0.

Кількість нулів визначається порядком полінома.

Курсова - 2 Математичний опис систем

Курсова - 2 Математичний опис систем — Полюси (коріння характеристичного рівняння). Якщо коріння комплексне, то воно пов’язане.

Висновки:
1. Якщо коріння характеристичного рівняння Q(p)
знаходяться в лівій напівплощині, то система стійка.
Курсова - 2 Математичний опис систем(wt+j) — рішення для комплексного коріння.
2. Якщо s >0 , то рішення буде
Курсова - 2 Математичний опис систем(wt+j).

Система нестійка.

Розташування нулів визначає коригувальні властивості системи, тобто. надають вплив на перехідний процес Якщо нулі в лівій напівплощині, то така система називається мінімально фазовий.
Якщо нулі у правій напівплощині — нелінійно фазова система.

Якщо полюси уявної осі, тобто. s=0, система знаходиться в коливальному режимі (Система без втрат).

Передатна функція лінійної системи на уявній осі

У цьому випадку після перетворень отримаємо: W(jw)=A(w)+jB(w) —
Передаточна функція є комплексним числом.
Зауваження: Не плутати з корінням на уявній осі

Виявляється дуже зручно досліджувати W(jw)на уявній осі не за допомогою нулів та полюсів, а з використанням комплексної передавальної функції.

Комплексна функція:

Курсова - 2 Математичний опис систем

АЧХ показує селективність системи за амплітудним спектром.
ФЧХ показує — який зсув фаз одержує на виході фільтра кожна гармоніка.

Зауваження: Відомо, що спектр сигналу (Фур’є) зручно представляти в комплексній вигляді, тобто спектр має АЧХ (розподіл гармонік по амплітуді від частоти), і ФЧХ (розподіл фаз).

Висновки: Комплексне уявлення спектра або передавальної функції W(p) дуже зручне радіотехніці. Це дозволяє компактно записати АЧХ та ФЧХ.

Передатна функція систем радіоавтоматики

Курсова - 2 Математичний опис систем

Передатна функція послідовно з’єднаних ланок:
Курсова - 2 Математичний опис систем

Курсова - 2 Математичний опис систем

Типові ланки радіоавтоматики

1) Інерційна ланка
Передатна функція:

Курсова - 2 Математичний опис систем

2) Інтегруюча ланка

Курсова - 2 Математичний опис систем

3) Диференціююча ланка

Курсова - 2 Математичний опис систем

4) Форсувальна ланка

Курсова - 2 Математичний опис систем

5) Запізнювальна ланка

Курсова - 2 Математичний опис систем

Запізнювальна ланка називається лінією затримки, де
t=T — час запізнення ЛЗ. j(w)=wT;
Курсова - 2 Математичний опис систем

5) Коливальна ланка

Курсова - 2 Математичний опис систем

6) Немінімально фазова ланка

Курсова - 2 Математичний опис систем

Цифрові системи автоматичного керування

Курсова - 2 Математичний опис систем

Існують два типи процесу з дискретним часом:

1)Процесс з дискретним часом і безперервним безліччю станів. Це означає, що функція
Курсова - 2 Математичний опис систем є безперервною ( якщо це випадковий процес, то
Курсова - 2 Математичний опис систем безперервна в середньому квадратичному).

Курсова - 2 Математичний опис систем

ПЗЗ
ПЗЗ — прилад із зарядовим зв’язком
Курсова - 2 Математичний опис систем — інтервал дискретизації у часі (квантування за часом)

Для таких процесів складаються різницеві рівняння:

Курсова - 2 Математичний опис систем

2) Процес з дискретним часом та дискретним безліччю станів.

Курсова - 2 Математичний опис систем

Процес 2 відрізняється від процесу 1 тим, що
Курсова - 2 Математичний опис систем записи-
ється в цифровому вигляді — дискретна функція, вся база
досліджень інша. Квантування йде й у часу і
по рівнем.
Найчастіше виробляється бінарне квантування 0;1. В цьому
У разі апаратура сильно спрощується.

Зауваження:
1) У першому випадку (ПЗЗ) якщо y
Курсова - 2 Математичний опис систем , тобто. такий самий, але дискретний.
2)
Курсова - 2 Математичний опис систем — Біноміальний розподіл.
Виявляється, якщо кількість рівнів квантування? 8,то
їх можна ототожнити з безперервними системами.

Подання диференціальних рівнянь, що описують системи автоматичного керування кінцевих різниць

Курсова - 2 Математичний опис систем

Z -перетворення

Курсова - 2 Математичний опис систем

(4) — називається Z-перетворення, показує як перейти від функції з дискретним часом (X(n)) до спектру на Z-площині.

Стійкість систем із дискретним часом

Системи з безперервним часом характеризуються передатною функцією (відносини 2х поліномів), теж саме в Z-пре освіті, тільки змінна не p = s ± jw, a
Курсова - 2 Математичний опис систем,
Курсова - 2 Математичний опис системабо
Курсова - 2 Математичний опис систем (На лінійній осі)

Курсова - 2 Математичний опис систем

Курсова - 2 Математичний опис систем — коло, отже ліва комплексна підлозі площина легше перетворюється на нутро кола

Якщо полюси передавальної функції перебувають у нутрощі кола, то система стійка, якщо полюси перебувають у самому колі, буде коливальний процес, якщо поза кола — система нестійка.

Курсова - 2 Математичний опис систем

© Реферат плюс



Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *