Курсова - 1. Розкладання функцій у тригонометричний ряд Фур'є
Химия

Курсова — 1. Розкладання функцій у тригонометричний ряд Фур’є


Початкові дані :

Курсова - 1. Розкладання функцій у тригонометричний ряд Фур'є (Мал. 1)

Функція періодична з періодом
Курсова - 1. Розкладання функцій у тригонометричний ряд Фур'є.( f(x+T)=f(x) ) Функція має на проміжку
Курсова - 1. Розкладання функцій у тригонометричний ряд Фур'є кінцева кількість точок розриву першого роду.
Сума низки у точках функції сходиться до значення самої функції, а точках розриву до величині
Курсова - 1. Розкладання функцій у тригонометричний ряд Фур'є, де
Курсова - 1. Розкладання функцій у тригонометричний ряд Фур'є-Точки розриву.

Курсова - 1. Розкладання функцій у тригонометричний ряд Фур'є

Мал. 1

Похідна також безперервна скрізь, крім кінцевого числа точок розриву першого роду. Висновок: функція задовольняє умову розкладання до низки Фур’є.

1) F(x) — шматково-безперервна на інтервалі
Курсова - 1. Розкладання функцій у тригонометричний ряд Фур'є.
2) F(x) — шматково-монотонна.

Так як відсутня симетрія щодо OY, а також центральна симетрія — то функція, що розглядається, довільна.

Подання функції поруч Фур’є.

Курсова - 1. Розкладання функцій у тригонометричний ряд Фур'є
Курсова - 1. Розкладання функцій у тригонометричний ряд Фур'є
Курсова - 1. Розкладання функцій у тригонометричний ряд Фур'є

Курсова - 1. Розкладання функцій у тригонометричний ряд Фур'є

З розкладання бачимо, що при n непарному
Курсова - 1. Розкладання функцій у тригонометричний ряд Фур'є приймає значення рівні 0 і додатково треба розглянути випадок коли n=1.
Курсова - 1. Розкладання функцій у тригонометричний ряд Фур'є
Тому формулу для
Курсова - 1. Розкладання функцій у тригонометричний ряд Фур'є можна записати у вигляді:

Курсова - 1. Розкладання функцій у тригонометричний ряд Фур'є

Курсова - 1. Розкладання функцій у тригонометричний ряд Фур'є
( так як
Курсова - 1. Розкладання функцій у тригонометричний ряд Фур'є).

Окремо розглянемо випадок коли n=1:

Курсова - 1. Розкладання функцій у тригонометричний ряд Фур'є.

Підставимо знайдені коефіцієнти в
Курсова - 1. Розкладання функцій у тригонометричний ряд Фур'є отримаємо:

Курсова - 1. Розкладання функцій у тригонометричний ряд Фур'є
і взагалі
Курсова - 1. Розкладання функцій у тригонометричний ряд Фур'є.

Знайдемо перші п’ять гармонік для знайденого ряду:

1-а гармоніка
Курсова - 1. Розкладання функцій у тригонометричний ряд Фур'є,

Курсова - 1. Розкладання функцій у тригонометричний ряд Фур'є

Друга гармоніка
Курсова - 1. Розкладання функцій у тригонометричний ряд Фур'є,

Курсова - 1. Розкладання функцій у тригонометричний ряд Фур'є

3-я гармоніка
Курсова - 1. Розкладання функцій у тригонометричний ряд Фур'є,

Курсова - 1. Розкладання функцій у тригонометричний ряд Фур'є

4-а гармоніка
Курсова - 1. Розкладання функцій у тригонометричний ряд Фур'є,

Курсова - 1. Розкладання функцій у тригонометричний ряд Фур'є

5-а гармоніка
Курсова - 1. Розкладання функцій у тригонометричний ряд Фур'є,

Курсова - 1. Розкладання функцій у тригонометричний ряд Фур'є

і загальний графік F(x), сума вище за перераховані гармоніки. і самі гармоніки.

Курсова - 1. Розкладання функцій у тригонометричний ряд Фур'є

Запишемо комплексну форму отриманого ряду

Для ряду, що розглядається, отримуємо коефіцієнти (див. теорію)

Курсова - 1. Розкладання функцій у тригонометричний ряд Фур'є,

але при
Курсова - 1. Розкладання функцій у тригонометричний ряд Фур'є не існує, тому розглянемо випадок коли n= +1:

Курсова - 1. Розкладання функцій у тригонометричний ряд Фур'є(Т.к.
Курсова - 1. Розкладання функцій у тригонометричний ряд Фур'є див. розкладання вище)

і випадок коли n=-1:

Курсова - 1. Розкладання функцій у тригонометричний ряд Фур'є (Т.к.
Курсова - 1. Розкладання функцій у тригонометричний ряд Фур'є)

І взагалі комплексна форма:

Курсова - 1. Розкладання функцій у тригонометричний ряд Фур'є

або

Курсова - 1. Розкладання функцій у тригонометричний ряд Фур'є

або

Курсова - 1. Розкладання функцій у тригонометричний ряд Фур'є

Розкладання парної функції до ряду

Цю вище функцію зробимо парною (див. теорію), і розглянемо її на проміжку від 0 до
Курсова - 1. Розкладання функцій у тригонометричний ряд Фур'є дивись рис.2

Курсова - 1. Розкладання функцій у тригонометричний ряд Фур'є
Рис.2

тому розкладання по косинусу має вигляд:

Курсова - 1. Розкладання функцій у тригонометричний ряд Фур'є
Курсова - 1. Розкладання функцій у тригонометричний ряд Фур'є
Курсова - 1. Розкладання функцій у тригонометричний ряд Фур'є
Курсова - 1. Розкладання функцій у тригонометричний ряд Фур'є

З розкладання бачимо що при n=2 дріб втрачає сенс тому окремо розглянемо розкладання першого та другого коефіцієнта суми:

Курсова - 1. Розкладання функцій у тригонометричний ряд Фур'є
Курсова - 1. Розкладання функцій у тригонометричний ряд Фур'є

На основі даного розкладання запишемо функцію у вигляді ряду:

Курсова - 1. Розкладання функцій у тригонометричний ряд Фур'є

і взагалі
Курсова - 1. Розкладання функцій у тригонометричний ряд Фур'є.

Знайдемо перші п’ять гармонік для знайденого ряду:

1-а гармоніка
Курсова - 1. Розкладання функцій у тригонометричний ряд Фур'є

Курсова - 1. Розкладання функцій у тригонометричний ряд Фур'є

Друга гармоніка
Курсова - 1. Розкладання функцій у тригонометричний ряд Фур'є

Курсова - 1. Розкладання функцій у тригонометричний ряд Фур'є

3-я гармоніка
Курсова - 1. Розкладання функцій у тригонометричний ряд Фур'є

Курсова - 1. Розкладання функцій у тригонометричний ряд Фур'є

4-а гармоніка
Курсова - 1. Розкладання функцій у тригонометричний ряд Фур'є

Курсова - 1. Розкладання функцій у тригонометричний ряд Фур'є

5-а гармоніка
Курсова - 1. Розкладання функцій у тригонометричний ряд Фур'є

Курсова - 1. Розкладання функцій у тригонометричний ряд Фур'є

А тепер розглянемо суму цих гармонік F(x):

Курсова - 1. Розкладання функцій у тригонометричний ряд Фур'є

Комплексна форма ряду по косинусах

Для ряду, що розглядається, отримуємо коефіцієнти (див. гл.1)
Курсова - 1. Розкладання функцій у тригонометричний ряд Фур'є,
але при
Курсова - 1. Розкладання функцій у тригонометричний ряд Фур'є не існує, тому розглянемо випадок коли n= +2:
Курсова - 1. Розкладання функцій у тригонометричний ряд Фур'є(Т.к.
Курсова - 1. Розкладання функцій у тригонометричний ряд Фур'є див. розкладання вище)
і випадок коли n=-2:

Курсова - 1. Розкладання функцій у тригонометричний ряд Фур'є (т.к.
Курсова - 1. Розкладання функцій у тригонометричний ряд Фур'є)
Курсова - 1. Розкладання функцій у тригонометричний ряд Фур'є
І взагалі комплексна форма:

Курсова - 1. Розкладання функцій у тригонометричний ряд Фур'є

або

Курсова - 1. Розкладання функцій у тригонометричний ряд Фур'є

або

Курсова - 1. Розкладання функцій у тригонометричний ряд Фур'єКурсова - 1. Розкладання функцій у тригонометричний ряд Фур'є

Розкладання непарної функції в ряд

Аналогічним чином надаємо з цією функцією F(x), продовжуючи її як непарну, і розглядаємо на проміжку від 0 до
Курсова - 1. Розкладання функцій у тригонометричний ряд Фур'є дивись рис.3

Курсова - 1. Розкладання функцій у тригонометричний ряд Фур'є

Рис.3

тому розкладання за синусами має вигляд:

Курсова - 1. Розкладання функцій у тригонометричний ряд Фур'є
Курсова - 1. Розкладання функцій у тригонометричний ряд Фур'є
Курсова - 1. Розкладання функцій у тригонометричний ряд Фур'є

З цього розкладання видно, що за n=2 добуток невизначено (можна не врахувати частину суми), тому розглянемо два окремі випадки.

При n=1:
Курсова - 1. Розкладання функцій у тригонометричний ряд Фур'є,

і при n=2:
Курсова - 1. Розкладання функцій у тригонометричний ряд Фур'є

З огляду на дані коефіцієнти маємо розкладання у вигляді
Курсова - 1. Розкладання функцій у тригонометричний ряд Фур'є

і взагалі
Курсова - 1. Розкладання функцій у тригонометричний ряд Фур'є

Знайдемо перші п’ять гармонік для цього розкладання:
1-а гармоніка
Курсова - 1. Розкладання функцій у тригонометричний ряд Фур'є

Курсова - 1. Розкладання функцій у тригонометричний ряд Фур'є

Друга гармоніка
Курсова - 1. Розкладання функцій у тригонометричний ряд Фур'є

Курсова - 1. Розкладання функцій у тригонометричний ряд Фур'є

3-я гармоніка
Курсова - 1. Розкладання функцій у тригонометричний ряд Фур'є

Курсова - 1. Розкладання функцій у тригонометричний ряд Фур'є

4-а гармоніка
Курсова - 1. Розкладання функцій у тригонометричний ряд Фур'є

Курсова - 1. Розкладання функцій у тригонометричний ряд Фур'є

5-а гармоніка
Курсова - 1. Розкладання функцій у тригонометричний ряд Фур'є

Курсова - 1. Розкладання функцій у тригонометричний ряд Фур'є

І просумувавши вище перелічені гармоніки отримаємо графік функції F(x)

Курсова - 1. Розкладання функцій у тригонометричний ряд Фур'є

Висновок:

На підставі глави 2, розкладання функції в тригонометричний ряд (рис.1), розкладання в ряд по косинус (рис.2), розкладання по синусах (рис.3), можна укласти, що дана функція розкладається в тригонометричний ряд і це розкладання єдине . І проаналізувавши суми перших п’яти гармонік за кожним розкладанням можна сказати, що найшвидше до заданого графіка досягається при розкладанні за синусами.

Комплексна форма ряду за синусами

Ґрунтуючись на теорію (див. гл.1) для ряду отримуємо:

Курсова - 1. Розкладання функцій у тригонометричний ряд Фур'є ,
Курсова - 1. Розкладання функцій у тригонометричний ряд Фур'є (Т.к.
Курсова - 1. Розкладання функцій у тригонометричний ряд Фур'є)

тоді комплексний ряд має вигляд:

Курсова - 1. Розкладання функцій у тригонометричний ряд Фур'єКурсова - 1. Розкладання функцій у тригонометричний ряд Фур'єКурсова - 1. Розкладання функцій у тригонометричний ряд Фур'є

© Реферат плюс



Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *