Курсова - 1. Розкладання функцій у тригонометричний ряд Фур'є

Початкові дані :

(Мал. 1)

Функція періодична з періодом
.( f(x+T)=f(x) ) Функція має на проміжку
кінцева кількість точок розриву першого роду.
Сума низки у точках функції сходиться до значення самої функції, а точках розриву до величині
, де
-Точки розриву.

Мал. 1

Похідна також безперервна скрізь, крім кінцевого числа точок розриву першого роду. Висновок: функція задовольняє умову розкладання до низки Фур’є.

1) F(x) — шматково-безперервна на інтервалі
.
2) F(x) — шматково-монотонна.

Так як відсутня симетрія щодо OY, а також центральна симетрія — то функція, що розглядається, довільна.

Подання функції поруч Фур’є.

З розкладання бачимо, що при n непарному
приймає значення рівні 0 і додатково треба розглянути випадок коли n=1.

Тому формулу для
можна записати у вигляді:

( так як
).

Окремо розглянемо випадок коли n=1:

Підставимо знайдені коефіцієнти в
отримаємо:

і взагалі
.

Знайдемо перші п’ять гармонік для знайденого ряду:

1-а гармоніка
,

Друга гармоніка
,

3-я гармоніка
,

4-а гармоніка
,

5-а гармоніка
,

і загальний графік F(x), сума вище за перераховані гармоніки. і самі гармоніки.

Запишемо комплексну форму отриманого ряду

Для ряду, що розглядається, отримуємо коефіцієнти (див. теорію)

але при
не існує, тому розглянемо випадок коли n= +1:

(Т.к.
див. розкладання вище)

і випадок коли n=-1:

(Т.к.
)

І взагалі комплексна форма:

або

Розкладання парної функції до ряду

Цю вище функцію зробимо парною (див. теорію), і розглянемо її на проміжку від 0 до
дивись рис.2

Рис.2

тому розкладання по косинусу має вигляд:

З розкладання бачимо що при n=2 дріб втрачає сенс тому окремо розглянемо розкладання першого та другого коефіцієнта суми:

На основі даного розкладання запишемо функцію у вигляді ряду:

і взагалі
.

Знайдемо перші п’ять гармонік для знайденого ряду:

1-а гармоніка

Друга гармоніка

3-я гармоніка

4-а гармоніка

5-а гармоніка

А тепер розглянемо суму цих гармонік F(x):

Комплексна форма ряду по косинусах

Для ряду, що розглядається, отримуємо коефіцієнти (див. гл.1)
,
але при
не існує, тому розглянемо випадок коли n= +2:
(Т.к.
див. розкладання вище)
і випадок коли n=-2:

(т.к.
)

І взагалі комплексна форма:

або

Розкладання непарної функції в ряд

Аналогічним чином надаємо з цією функцією F(x), продовжуючи її як непарну, і розглядаємо на проміжку від 0 до
дивись рис.3

Рис.3

тому розкладання за синусами має вигляд:

З цього розкладання видно, що за n=2 добуток невизначено (можна не врахувати частину суми), тому розглянемо два окремі випадки.

При n=1:
,

і при n=2:

З огляду на дані коефіцієнти маємо розкладання у вигляді

і взагалі

Знайдемо перші п’ять гармонік для цього розкладання:
1-а гармоніка

Друга гармоніка

3-я гармоніка

4-а гармоніка

5-а гармоніка

І просумувавши вище перелічені гармоніки отримаємо графік функції F(x)

Висновок:

На підставі глави 2, розкладання функції в тригонометричний ряд (рис.1), розкладання в ряд по косинус (рис.2), розкладання по синусах (рис.3), можна укласти, що дана функція розкладається в тригонометричний ряд і це розкладання єдине . І проаналізувавши суми перших п’яти гармонік за кожним розкладанням можна сказати, що найшвидше до заданого графіка досягається при розкладанні за синусами.

Комплексна форма ряду за синусами

Ґрунтуючись на теорію (див. гл.1) для ряду отримуємо:

,
(Т.к.
)