Бінарна алгебраїчна операція
Химия

Криві та поверхні другого порядку.


Криві та поверхні другого порядку.

Завантажити реферат: Криві та поверхні другого порядку

План реферату

1. Криві другого порядку
1.1. Еліпс
1.2. Гіперболу
1.3. Парабола

1. Криві другого порядку

1.1. Еліпс

Еліпс – це геометричне місце точок, котрим сума відстаней від двох фіксованих точок площини, званих фокусами, є стала величина. Необхідно, щоб ця постійна була більшою за відстань між фокусами. Фокус еліпса прийнято позначати через F 1 і F 2.

Виведемо рівняння еліпса

Нехай М — довільна точка еліпса з фокусами F 1 і F 2. Відрізки F 1 М і F 2 М (як і довжини цих відрізків) називаються фокальними радіусами точки М. Постійну суму фокальних радіусів точки еліпса прийнято позначати через 2а. Таким чином, для будь-якої точки М еліпса маємо:

F 1 М + F 2 М = 2а

Відстань F1 і F2 між фокусами позначають через 2с. Нехай дано якийсь еліпс з фокусами F 1 , F 2.

Візьмемо на площині довільну точку М та позначимо її координати через х та у. Позначимо далі через r 1 і r 2 відстані від точки М до фокусів ( r 1 = F 1 М, r 2 = F 2 М). Точка М перебуватиме на даному еліпсі в тому і лише в тому випадку, коли

r 1 + r 2 = 2а

Щоб отримати шукане рівняння, потрібно рівності замінити змінні r 1 і r 2 їх виразами через координати х, у

Зауважимо, що оскільки F 1 F 2 = 2с і оскільки фокуси F 1 і F 2 розташовані на осі Ох симетрично щодо початку координат, то вони мають відповідно координати (-с; 0) і (+с; 0); прийнявши це до уваги знаходимо:

Замінюючи r 1 і r 2 отримуємо:

Це і є рівняння розглянутого еліпса, тому що йому задовольняють координати точки

М (х; у), коли точка М лежить на цьому еліпсі. Зведемо обидві частини рівності квадрат, отримаємо:

або

Зводячи в квадрат обидві частини останньої рівності, знайдемо:

а 2 х 2 — 2а 2 сх + а 2 с 2 + а 2 у 2 = а 4 — 2а 2 сх + с 2 х 2

звідки

(а 2 -з 2)х 2 + а 2 у 2 = а 2 (а 2 -з 2)

Тут ми введемо до розгляду нову величину

а>с, отже, а 2 -з 2> 0 і величина b -речова

b 2 = a 2 -c 2

тоді

b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 ,

або

Це рівняння називається канонічним рівнянням еліпса

Рівняння, що визначає еліпс в деякій системі декартових прямокутних координат, є рівняння другого ступеня; таким чином, еліпс є лінія другого порядку

Ексцентриситетом еліпса називається відношення відстані між фокусами цього еліпса до довжини великої осі; позначивши ексцентриситет буквою ε, отримуємо:

Оскільки з< a , то ε<1, тобто ексцентриситет кожного еліпса менше одиниці

Зауважимо, що c 2 = a 2 — b 2; тому

Отже, ексцентриситет визначається ставленням осей еліпса, а відношення осей, своєю чергою, визначається ексцентриситетом. Таким чином, ексцентриситет характеризує форму еліпса. Чим ближче ексцентриситет до одиниці, тим менше 1 — ε 2, тим менше, отже, відношення; отже, що більше ексцентриситет, то більше еліпс витягнутий. У разі кола b = a та ε=0

Розглянемо якийсь еліпс і введемо декартову прямокутну систему координат так, щоб цей еліпс визначався канонічним рівнянням

Припустимо, що аналізований еліпс не є колом, тобто а≠b і, отже, ε=0. Припустимо ще, що це еліпс витягнутий у бік осі Ох, т. е. що а> b

Дві прямі, перпендикулярні до великої осі еліпса та розташовані симетрично щодо центру на відстані від нього, називаються директрисами еліпса

Рівняння директрис у вибраній системі координат мають вигляд

Першу з них ми умовимося називати лівою, другу-правою. Оскільки для еліпса ε<1, то . Звідси випливає, що права директриса розташована правіше за праву вершину еліпса; аналогічно, ліва директриса розташована лівіше за його ліву вершину. Окремим випадком еліпса є коло. Її рівняння має вигляд:

х 2 + у 2 = R 2

1.2. Гіперболу

Гіпербола — це геометричне місце точок, для яких різниця відстаней від двох фіксованих точок площини, які називаються фокусами, є постійна величина; зазначена різниця береться за абсолютним значенням; крім того, потрібно, щоб вона була меншою за відстань між фокусами і відмінна від нуля. Фокус гіперболи прийнято позначати через F 1 і F 2 , а відстань між ними-через 2с

Нехай М — довільна точка гіперболи з фокусами F1 та F2. Відрізки F 1 М і F 2 М (як і довжини цих відрізків) називаються фокальними радіусами точки М і позначаються через r 1 і r 2 ( r 1 = F 1 М, r 2 = F 2 М). За визначенням гіперболи різницю фокальних радіусів її точки М є постійна величина; цю постійну прийнято позначати через 2а

Нехай дана якась гіпербола з фокусами F 1 і F 2 . Візьмемо на площині довільну точку М і позначимо її координати через х і у, а фокальні радіуси F 1 М та F 2 М через r 1 та r 2 . Точка М перебуватиме на (даній) гіперболі в тому і лише в тому випадку, коли

r 1 — r 2 = ±2а

Оскільки F 1 F 2 =2с і оскільки фокуси F 1 і F 2 розташовані на осі Ох симетрично щодо початку координат, всі вони мають відповідно координати (-с; 0) і (+с; 0); прийнявши це до уваги знаходимо:

Це і є рівняння аналізованої гіперболи, тому що йому задовольняють координати точки М (х; у), коли точка М лежить на гіперболі

Тут ми введемо на розгляд нову величину, що визначає гіперболу в деякій системі декартових прямокутних координат, є рівняння другого ступеня; таким чином, гіпербола є лінія другого порядку

Ексцентриситетом гіперболи називається відношення відстані між фокусами цієї гіперболи до відстані між її вершинами; позначивши ексцентриситет буквою ε, отримаємо:

Оскільки гіперболи з> a , то ε>1; тобто ексцентриситет кожної гіперболи більше одиниці. Помітивши, що c 2 = a 2 + b 2 знаходимо:

Отже, ексцентриситет визначається ставленням, а ставлення своєю чергою визначається ексцентриситетом. Таким чином, ексцентриситет гіперболи характеризує форму її основного прямокутника, а отже, і форму самої гіперболи.

Чим менший ексцентриситет, тобто чим ближче він до одиниці, тим менший ε 2 -1, тим менше, отже, відношення; отже, що менший ексцентриситет гіперболи, то більше витягнутий її основний прямокутник (у бік осі, що з’єднує вершини). У разі рівносторонньої гіперболи a = b та ε =√2

Розглянемо якусь гіперболу і введемо декартову прямокутну систему координат так, щоб ця гіпербола визначалася канонічним рівнянням

Дві прямі, перпендикулярні до тієї осі гіперболи, що її перетинає, та розташовані симетрично щодо центру на відстані від нього, називаються директорами гіперболи

Рівняння директрис у вибраній системі координат мають вигляд і

Першу з них ми умовимося називати лівою, другу правою

Оскільки для гіперболи ε >1, то

Звідси випливає, що права директриса розташована між центром та правою вершиною гіперболи; аналогічно, ліва директриса розташована між центром та лівою вершиною

1.3. Парабола

Параболою називається геометричне місце точок, для кожної з яких відстань до деякої фіксованої точки площини, званої фокусом, дорівнює відстані до деякої фіксованої прямої, званої директори (передбачається, що ця пряма не проходить через фокус)

Фокус параболи прийнято позначати буквою F, відстань від фокусу до директриси-буквою p. Величину р називають параметром параболи

Нехай дана якась парабола. Візьмемо на площині довільну точку М та позначимо її координати через х та у. Позначимо далі через відстань від точки М до фокусу (r = FM), через d — відстань від точки М до директриси. Точка М перебуватиме на (даній) параболі в тому і лише в тому випадку, коли

r = d

Щоб отримати шукане рівняння, потрібно замінити змінні r і d їх виразами через поточні координати х, у

Зауважимо, що фокус F має координати; прийнявши це до уваги, знаходимо:

Позначимо через Q основу перпендикуляра, опущеного з точки М директрису. Очевидно, точка Q має координати звідси, отримуємо: позитивне число; це випливає з того, що М (х; у) повинна знаходитися з того боку від директриси, де знаходиться фокус, тобто має бути, звідки

Замінюючи r і d, знайдемо

Це і є рівняння аналізованої параболи, тому що йому задовольняють координати точки

М (х; у), коли точка М лежить на даній параболі

Зведемо обидві частини рівності квадрат; отримаємо:

або

у 2 = 2рх

Це рівняння називається канонічним рівнянням параболи. Рівняння у 2 = 2рх, що визначає параболу в деякій системі декартових прямокутних координат є рівняння другого ступеня; таким чином, парабола є лінія другого порядку

2. Рівняння поверхонь другого порядку

2.1. Еліпсоід

2.2. Однопорожнинний гіперболоїд

2.3. Двопорожнинний гіперболоїд

2.4. Конус

2.5. Еліптичний параболоїд

2.6. Гіперболічний параболоїд

2.7. Еліптичний циліндр

2.8. Гіперболічний циліндр

2.9. Параболічний циліндр

© Реферат плюс



Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *