Коріння багаточленів. Похідні та кратні корені

Допустимо p = деякий многочлен над k і. Значенням многочлена p у точці a називається елемент поля k, що дорівнює . Він позначається p(a) є гомоморфізмом Ядро цього гомоморфізму складається з усіх багаточленів, для яких p(a) = 0, тобто a є їх коренем

Якщо | p a називається коренем кратності не нижче n. Введемо поняття похідної многочлена p. За визначенням це багаточлен. Мають місце звичайні правила обчислення похідної: ;

Зокрема, якщо p (a) = 0, але корінь a — простий (тобто не кратний). наявність у многочлена кореня a кратності не нижче n тягне наявність у його похідної того ж кореня кратності не нижче (n -1)

Елемент буде корінням багаточлена p тоді і лише тоді, коли (x — a) | p. Звідси безпосередньо випливає, що неприводимый багаточлен ступеня більше не має коріння. Оскільки ядро ​​I — ідеал, що містить (xa) і не збігається з k [ x ] ( x — a + ), а кожен ідеал у k[x]
— Головний, то I = (xa)

Багаточлен ступеня n має трохи більше n коренів з урахуванням їх кратності. Число n називається кратністю кореня a якщо | p, але не ділить p. Припустимо, що — безліч всіх коренів многочлена p із зазначеними кратностями. При ab НОД( , ) =1, многочлен p ділиться і тому deg ( p )

Подільність багаточленів

Спосіб розподілу «кутом» використовується в арифметичних діях над коефіцієнтами. Він застосовується до багаточленів над будь-яким полем.

Ділімість багаточленів дозволяє для двох ненульових багаточленів p , sk [ x ] отримати такі многочлени q і r =0( s ділить p ), або deg ( r )< deg ( s ), що p = q * s + r

Багаточлен називається унітарним, якщо його старший коефіцієнт дорівнює 1

Для будь-яких двох ненульових многочленів p і q над полем k можна знайти такі многочлени u і v над тим самим полем, що ОНД( p , q )= u * p + v * q

Візьмемо багаточлени u і v такі, що сума w = u*p+v*q мала найменший ступінь. Можна при цьому вважати w унітарним багаточленом

Виробляємо розподіл із залишком: p = s * w + r. Після чого знаходимо: r = p — s * w = p — s * (u * p + v * q) = (1 — s * u) * p + (- s * v) q = U * p + V * q

R має дорівнювати нулю

Доведемо, що w | q. Оскільки W = ОНД( p , q )., за визначенням w | W. Також W | p, W | q W | w. Значить багаточлени w і W унітарні. Тому W = w

Для будь-якого числа багаточленів ОНД можна довести, що для відповідних багаточленів

Ця формула зберігається для нескінченної множини багаточленів. У зв’язку з тим, що їх ОНД є ОНД деякого їх кінцевого підмножини

ОНД ненульових багаточленів p і s називається такий унітарний багаточлен ОНД( p , s ), що виконуються такі умови:

q | p, q | s q | ОНД (p, s)

ОНД (p, s) | p; ОНД (p, s) | s

Кожен ідеал у кільці багаточленів над полем є основним. Справді, нехай p — ОНД всіх многочленів, що входять до ідеалу I. Тоді , де . За визначенням ідеалу звідси випливає, що , отже, I = (p)

Для ненульового багаточлена р зі старшим коефіцієнтом а ОНД (р, 0) = ОНД (0, р) = р/а; ОНД (0, 0) = 0

Розкладання на множники

Неприведений багаточлен у кільці k [ x ] є аналогом простого числа в кільці Z. Кожен ненульовий многочлен p = можна розкласти на твір: p = * , де всі багаточлени неприведені над k і мають старший коефіцієнт 1

Припустимо, що деяке поле, p , q , s — багаточлени над k . Якщо p = q * s , причому обидва многочлени q і s мають ступінь менший, ніж p , то багаточлени p називається наведеним. Інакше ненаводимо

Кратними називаються однакові множники. Поєднуючи кратні множники отримаємо: p =

Властивості ненаведених багаточленів.

1 . Якщо p | і p ненаводимо, або p | або p | . Справді, інакше НОД(p, ) = НОД(p, ) =1 і тому з основний теоремі теорії подільності ; , звідки: і отже, тобто НОД(p, )=1 і, отже, deg (p )=0

2. Якщо p-неприводимий багаточлен і d = ОНД (p, q) 1, то p | q

Справді, p = d*s і якщо deg(s )>0, це суперечить неприводимости p, і якщо deg(s )=0, то d | qp | q

Наведемо кілька прикладів

Багаточлен не наводиться над полем Q раціональних чисел. Багаточлен над полем R речових чисел наводимо, якщо . У цьому виразі другий множник має негативний дискримінант. Тому неможливо розкласти його над R . Отримуємо над полем C комплексних чисел: , де = — кубічний корінь із 1

Поняття приводності істотно залежить від того над яким полем розглядається багаточлен

Множник х є кратним, інші — прості. Слід зазначити, що за визначенням багаточлени першого ступеня не наводяться над будь-яким полем

© Реферат плюс