Історія відкриття комплексних чисел

	Завантажити реферат: Історія відкриття комплексних чисел

«Крім і навіть проти волі того чи іншого математика, уявні числа знову і знову з’являються на викладках, і лише поступово в міру того, як виявляється користь від їх вживання, вони набувають більш і більш широкого поширення» Ф. Клейн.
Автор: Соловйов Олексій 12а.

Давньогрецькі математики вважали «справжніми» лише натуральні числа. Поступово складалося уявлення про нескінченність множини натуральних чисел.
У III столітті Архімед розробив систему позначення аж до такого величезного, як
. Поряд із натуральними числами застосовували дроби — числа, складені з цілого числа часток одиниці. У практичних розрахунках дроби застосовувалися за дві тисячі років до зв. е. у стародавньому Єгипті та стародавньому Вавилоні. Довгий час вважали, що результат виміру завжди виражається у вигляді натурального числа, або у вигляді відношення таких чисел, тобто дробу. Давньогрецький філософ і математик Піфагор вчив, що “… елементи чисел є елементами всіх речей і весь світ у чолі є гармонією та числом. Найсильніший удар по цьому погляду було завдано відкриттям, зробленим одним із піфагорійців. Він довів, що діагональ квадрата непорівнянна зі стороною. Звідси випливає, що натуральних чисел і дробів недостатньо, щоб висловити довжину діагоналі квадрата зі стороною 1. Є підстави стверджувати, що саме з цього відкриття починається ера теоретичної математики: відкрити існування несумірних величин за допомогою досвіду, не вдаючись до абстрактного міркування, було неможливо.
p align=»justify»> Наступним важливим етапом у розвитку поняття про число було введення негативних чисел — це було зроблено китайськими математиками за два століття до н. е. Негативні числа застосовували в III столітті давньогрецький математик Діофант, який уже знав правила дії над ними, а в VII столітті ці числа вже докладно вивчили індійські вчені, які порівнювали такі числа з боргом. З допомогою негативних чисел можна було як описувати зміни величин. Вже у VIII столітті було встановлено, що квадратний корінь із позитивного числа має два значення – позитивне та негативне, а з негативних чисел квадратний корінь витягувати не можна: немає такого числа
, щоб
.
У XVI столітті у зв’язку з вивченням кубічних рівнянь виявилося необхідним витягувати квадратне коріння з негативних чисел. У формулі для розв’язання кубічних рівнянь виду
кубічні та квадратні корені:
.
Ця формула безвідмовно діє у разі, коли рівняння має один дійсний корінь (), а якщо воно має три дійсні корені (), то під знаком квадратного кореня виявлялося негативне число. Виходило, що шлях до цього коріння веде через неможливу операцію вилучення квадратного кореня з негативного числа. Після того, як були вирішені рівняння 4-го ступеня, математики посилено шукали формулу для вирішення рівняння 5-го ступеня. Але Руффіні (Італія) на рубежі XVIII і XIX століть довів, що буквене рівняння п’ятого ступеня
не можна вирішити алгебраїчну; точніше: не можна висловити його корінь через літерні величини a, b, c, d, e за допомогою шести алгебраїчних дій (складання, віднімання, множення, розподіл, зведення в ступінь, вилучення кореня).
У 1830 році Галуа (Франція) довів, що ніяке загальне рівняння, ступінь якого більш ніж 4, не можна вирішити алгебраїчно. Проте будь-яке рівняння n-го ступеня має (якщо розглядати і комплексні числа) n коріння (серед яких можуть бути і рівні). У цьому математики були переконані ще XVII столітті (на основі розборі численних окремих випадків), але лише межі XVIII і XIX століть згадана теорема була доведена Гауссом.
Італійський алгебраїст Дж. Кардано в 1545 запропонував ввести числа нової природи. Він показав, що система рівнянь
, що не має рішень у безлічі дійсних чисел, має рішення виду
,
, потрібно лише домовитися діяти над такими висловлюваннями за правилами звичайної алгебри і вважати що
. Кардано називав такі величини «чисто негативними» і навіть «софістично негативними», вважав їх марними і намагався їх не вживати. Справді, з допомогою таких чисел не можна висловити ні результат виміру якоїсь величини, ні зміна якоїсь величини. Але вже в 1572 вийшла книга італійського алгебраїста Р. Бомбеллі, в якій були встановлені перші правила арифметичних операцій над такими числами, аж до вилучення з них кубічних коренів. Назва «уявні числа» ввів у 1637 французький математик і філософ Р. Декарт, а в 1777 один з найбільших математиків XVIII століття — Л. Ейлер запропонував використовувати першу літеру французького слова imaginaire (уявний) для позначення числа
(Уявної одиниці). Цей символ увійшов у загальне вживання завдяки Гауссу. Термін «комплексні числа» так само був запроваджений Гаусом у 1831 році. Слово комплекс (від латинського complexus) означає зв’язок, поєднання, сукупність понять, предметів, явищ тощо. Утворюють єдине ціле.
Протягом XVII століття тривало обговорення арифметичної природи уявних чисел, можливість дати їм геометричне обґрунтування.
Поступово розвивалася техніка операцій над уявними числами. На рубежі XVII і XVIII століть була побудована загальна теорія коренів n-их ступенів спочатку з негативних, а за тим будь-яких комплексних чисел, заснована на наступній формулі англійського математика А. Муавра (1707):
. За допомогою цієї формули можна було також вивести формули для косінусів та синусів кратних дуг. Л. Ейлер вивів у 1748 році чудову формулу:
, яка пов’язувала воєдино показову функцію з тригонометричною. За допомогою формули Л. Ейлера можна було зводити число e будь-який комплексний ступінь. Цікаво, наприклад, що
. Можна шукати sin та cos від комплексних чисел, обчислювати логарифми таких чисел, тобто будувати теорію функцій комплексного змінного.
Наприкінці XVIII століття французький математик Ж. Лагранж зміг сказати, що математичний аналіз не ускладнюють уявні величини. За допомогою уявних чисел навчилися висловлювати рішення лінійних диференціальних рівнянь із постійними коефіцієнтами. Такі рівняння зустрічаються, наприклад, у теорії коливань матеріальної точки в опірному середовищі. Ще раніше швейцарський математик Я. Бернуллі застосовував комплексні числа на вирішення інтегралів.
Хоча протягом XVIII століття за допомогою комплексних чисел було вирішено багато питань, у тому числі й прикладні завдання, пов’язані з картографією, гідродинамікою тощо, проте ще не було суворо логічного обґрунтування теорії цих чисел. Тому французький учений П. Лаплас вважав, що результати, отримані за допомогою уявних чисел, — лише наведення, що набуває характеру справжніх істин лише після підтвердження прямими доказами.
«Але ніхто не сумнівається в точності результатів, одержуваних при обчисленнях з уявними кількостями, хоча вони являють собою лише алгебраїчні форми ієрогліфи безглуздих кількостей» Л. Карно.
Наприкінці XVIII століття, на початку XIX століття було одержано геометричне тлумачення комплексних чисел. Данець К. Вессель, француз Ж. Арган і німець К. Гаус незалежно один від одного запропонували зобразити комплексне число
точкою
на координатній площині. Пізніше виявилося, що ще зручніше зображувати число не тією точкою M, а вектором
, що йде в цю точку з початку координат. При такому тлумаченні додавання і віднімання комплексних чисел відповідають ці операції над векторами. Вектор
можна ставити як його координатами a і b, але як і довжиною r і кутом j, що він утворює з позитивним напрямом осі абсцис. При цьому
,
і число z набуває вигляду
, який називається тригонометричною формою комплексного числа Число r називають модулем комплексного числа z та позначають
. Число
називають аргументом z та позначають ArgZ. Зауважимо, що якщо
значення ArgZ не визначено, а при
воно визначено з точністю до кратного
. Згадана раніше формула Ейлера дозволяє записати число z як
(Показова форма комплексного числа).
Геометричне тлумачення комплексних чисел дозволило визначити багато понять, пов’язані з функцією комплексного змінного, розширило сферу їх застосування.
Стало ясно, що комплексні числа корисні у багатьох питаннях, де мають справу з величинами, що зображуються векторами на площині: щодо течії рідини, завдань теорії пружності.
Після створення теорії комплексних чисел постало питання про існування «гіперкомплексних» чисел — чисел з декількома «уявними» одиницями. Таку систему виду
, де
, Збудував у 1843 році ірландський математик У. Гамільтон, який назвав їх “кватерніонами”. Правила дії над кватерніонами нагадує правила звичайної алгебри, проте їх множення не має властивості комутативності (переміщуваності): наприклад,
, а
. Гіперкомплексні числа не є темою мого реферату, тому я лише згадую їх існування.
Великий внесок у розвиток теорії функцій комплексного змінного внесли російські та радянські вчені Н. І. Мусхелішвілі займався її застосуваннями до пружності, М. В. Келдиш та М. А. Лаврентьєв – до аеро- та гідродинаміки, Н. Н. Богомолов та Ст. С. Володимиров – до проблем квантової теорії поля.