Інтерферометр Фабрі-Перо.  Кутовий розподіл амплітуди хвилі, що проходить.
Химия

Інтерферометр Фабрі-Перо. Кутовий розподіл амплітуди хвилі, що проходить.


Лекція 11

8.6.5 Інтерферометр Фабрі-Перо.

Кутовий розподіл амплітуди хвилі, що проходить.

d

clip_image001

q q

1

2

3

4

На своєму шляху кожен наступний з пронумерованих променів зазнає двох додаткових відображень від внутрішніх поверхонь пластин. Отже, їх інтенсивності різняться в r2 разів. Інтенсивність пропорційна квадрату амплітуди і тому

clip_image003; clip_image005.

Різниця оптичних шляхів сусідніх променів дорівнює clip_image007 і різниця фаз їх коливань у віддаленій точці спостереження

clip_image009.

Таким чином, для амплітуди сумарних коливань ми маємо вираз:

clip_image011.

Початкову фазу коливань першого променя ми поклали рівною нулю.

Для складання цих коливань перейдемо до комплексних змінних – додамо уявну частину, пам’ятаючи, що фізичний сенс має лише реальна частина суми, яку ми отримаємо:

clip_image013

clip_image015.

Отже, нам треба знайти суму членів нескінченної геометричної прогресії, знаменник якої clip_image017. Таким чином,

clip_image019.

Амплітуда сумарних коливань дорівнює модулю комплексного значення clip_image021:

clip_image023.

Скориставшись формулою Ейлера, зробимо перемноження дужок під квадратним коренем у знаменнику:

clip_image025

clip_image027

clip_image029.

Згадаймо, що

clip_image030clip_image032

clip_image009[1].

Таким чином,

clip_image035.

Як і очікувалося, із збільшенням коефіцієнта відображення глибина мінімумів збільшується. Одночасно зменшується ширина інтерференційних смуг. Передбачати цей результат було не так просто.

9. Дифракція Фраунгофура

Дифракція розглядає процеси відхилення напряму поширення світла від прямолінійного при зустрічі з деякими перешкодами або відбиття від них. У разі дифракції Фраунгофера розглядається падіння на перешкоду плоскої хвилі (нескінченно віддалене джерело світла) і мається на увазі, що зона спостереження віддалена від перешкоди досить велика відстань (перебуває на нескінченності). Коротко кажучи, це “дифракція у паралельному промені”.

Як Ви побачите, основні завдання дифракції Фраунгофера ми вже вирішили. Просто ми говорили про хвилі взагалі, а словом дифракція зазвичай позначають саме оптичні явища, поведінка у тому чи іншому випадку світлової (електромагнітної) хвилі.

9.1. Дифракція на щілини

Раніше ми отримали такий вираз для кутового розподілу амплітуди від системи точкових джерел, від ланцюжка джерел довжиною b:

clip_image037.

З огляду на особливу важливість та й складність розуміння цього результату отримаємо його ще раз – іншим способом.

X

b

clip_image038

0 q

У зв’язку з розглядом явищ дифракції, формулюється принцип Гюйгенса-Френеля. Відповідно до цього принципу елементарний ділянку хвильового фронту вважається точковим джерелом вторинних хвиль, що оминає і є “новим” фронтом хвилі. У разі дифракції на щілини як такі джерела вибираються вузькі смужки (вздовж щілини), які є джерелами циліндричних когерентних хвиль. Електромагнітні коливання у віддаленій зоні спостереження підраховується як сума коливань хвиль, які від таких джерел.

На цей раз ми проведемо їх додавання за допомогою векторної діаграми. Амплітуда вторинної хвилі пропорційна ширині елементарної смужки: clip_image040, А початкова фаза коливань залежить від координати обраної смужки: clip_image042. Таким чином, різниця фаз коливань від сусідніх елементарних смужок шириною Dx складе clip_image044. На такий кут будуть повернені один до одного відповідні вектори на фазовій діаграмі.

При прагненні ширини смужки Dx до нуля утворена елементарними векторами ламана перетворюється на дугу кола радіусу. R, кутовий розмір дуги

clip_image049.

При зміні кута q кутові розміри дуги змінюються. Але довжина дуги, що дорівнює сумі модулів (довжин) елементарних векторів, вважається постійною:

clip_image051.

Це дозволяє нам визначити радіус дуги та амплітуду сумарних коливань (див. малюнок) при довільному q:

clip_image053; clip_image055.

Як бачите, ми отримали той самий вираз, що й раніше. Але векторна діаграма дозволяє нам наочніше уявити причини звернення амплітуди сумарних коливань на нуль і досягнення максимумів.

При j=2p дуга перетворюється на коло, амплітуда сумарних коливань дорівнює нулю. Максимуми досягаються за j=0 і, (приблизно) при j=(2k+1)p.

1

2

clip_image056 ES 3

ES= E0

ES=0

Ці ситуації показані малюнку. При q=0 всі елементарні вектори лежать на прямій, амплітуда сумарних коливань максимальна і дорівнює E0. У міру збільшення кута спостереження q і, відповідно, кута j амплітуда коливань зменшується і при j=2p звертається в нуль. Потім дуга скручується в спіраль і максимум досягається приблизно в той момент, коли вона являє собою півтора кола (2, j=3p). При цьому амплітуда коливань дорівнює приблизно діаметру кола: clip_image058. Потім спіраль стає «подвійним колом», амплітуда коливань знову звертається в нуль (3) і т.д.

9.2. Дифракційні грати

b

clip_image059 d q

clip_image061

Такі грати складаються з великої кількості щілин шириною b, розташованих на відстані d один від одного. Зрозуміло, b. Кожна щілина може розглядатися як джерело циліндричних хвиль, що викликають електромагнітні коливання у віддаленій зоні спостереження. У цьому випадку виявляється справедливим результат, який ми отримали для періодично розміщених точкових джерел:

clip_image063; clip_image065.

clip_image067

clip_image069

clip_image070 ES

0 q

ES

0 q

Але це результат ми отримали ізотропних точкових джерел, інтенсивність випромінювання яких залежить від напрями. Тепер джерелами є щілини, у яких амплітуда хвилі істотно залежить від напряму спостереження. Тому у вираз для кутового розподілу амплітуди хвилі, що народжується періодично розташованими джерелами, треба вставити кутовий розподіл амплітуди хвилі самих джерел, щілин:

clip_image072.

Це досить складне вираження, але сенс його має бути зрозумілим. Він пояснюється малюнком. Вгорі показано кутовий розподіл амплітуди хвилі, що випромінюється ізотропними джерелами. Внизу — кутовий розподіл амплітуди після проходження світлом грати. Там же показано кутовий розподіл амплітуди хвилі, що випромінюється щілиною. На малюнку можна оцінити відношення ширини щілини до періоду решітки b/d.

9.3. Дифракційні грати як спектральний прилад

Очевидно, що дифракційна решітка може бути використана для розгортання світла, що падає на неї, в спектр, коли кутове положення максимуму залежить від довжини хвилі l. При q=0 спостерігається максимум всім довжин хвиль. Але (кутові) положення максимумів k-того порядку при k>1 різні для різних довжин хвиль. Це випливає з умови максимуму clip_image074. Те, як «швидко» змінюється кут q, під яким спостерігається максимум при зміні довжини хвилі визначає кутову дисперсію грати (це визначення терміна)

clip_image076.

Як видно, дисперсія зростає зі зростанням порядку максимуму k та зі зменшенням періоду решітки d. Зверніть увагу, що у знаменнику стоїть clip_image078що зменшується зі збільшенням кута.

Природно, що більше кутова дисперсія, то успішніше можуть бути дозволені близькі по довжині лінії спектра, спостерігатися як окремі лінії. Спробуємо розібратися з питанням розв’язання ліній докладніше.

clip_image080

clip_image081

l

dl

q(l)

dq

clip_image082clip_image084

Нехай у спектрі є пара ліній з близькими довжинами хвиль l1 і l2, різниця довжин хвиль dl=l2l1. Будь-яка лінія має деяку «природну» ширину, яка передбачається менше різниці довжин віл самих ліній: dl1»dl2<dl.

Але навіть якби ширина кожної лінії дорівнювала нулю, при спостереженні випромінювання після дифракційної решітки кожної лінії відповідатиме деяка смуга (на малюнку внизу). Вона визначається властивостями самої решітки і для вирішення близьких по довжині хвилі ліній ця ширина повинна бути меншою або дорівнює clip_image086.

У фізиці вводиться величина, яка називається роздільною здатністю:

clip_image088.

У цьому виразі dl означає мінімальну різницю довжин хвиль ліній, які можуть спостерігатися в спектрі як окремі лінії, і величина R є характеристикою спектрального приладу (наприклад, дифракційної ґрати).

Підрахуємо роздільну здатність дифракційної решітки. Для цієї мети використовується критерій Релея: лінії вважаються дозволеними, спостерігаються як окремі лінії, якщо при розкладанні у спектр максимум однієї лінії збігається з мінімумом іншої. Ширина дифракційної смуги (що відповідає певній лінії) визначається положенням найближчих до максимуму мінімумів. Положення мінімумів, своєю чергою, визначається виразами

clip_image090; k’¹0,N,2N,...

Якщо k’ кратно кількості щілин N, то спостерігається максимум – знаменник другого співмножника виразу для розподілу амплітуди коливань у віддаленій зоні спостереження звертається до нуля:

clip_image072[1].

Таким чином, максимум першої хвилі спостерігається за умови clip_image092. Вимагаємо, щоб при цьому вугіллі спостерігався мінімум другої хвилі:

clip_image094;

clip_image096.

Вважаючи, що clip_image098 і тому нехтуючи останнім доданком у виписаному виразі, отримуємо:

clip_image100; clip_image102.

Таким чином, роздільна здатність тим вища, чим більший порядок інтерференційного максимуму, і чим більша кількість щілин решітки.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *