ГЕОМЕТРИЧНА ПРОГРЕСІЯ
Химия

ГЕОМЕТРИЧНА ПРОГРЕСІЯ


Ставропольський державний університет

РЕФЕРАТ

по темі:

ГЕОМЕТРИЧНА

ПРОГРЕСІЯ

роботу виконав:

студент Ставропольського

Державного Університету

IV курсу, Фіз-Мат Факультету,

відділення МІІТ, гр. ”Б”

ЗМІСТ:

Стор.

1. Вступне слово…………………………………………………………………………3

2. Визначення геометричної прогресії…………………………………………..3

3. Властивості геометричної прогресії…………………………………………………3

4. Сума геометричної прогресії…………………………………………………….4

5. Висновок……………………………………………………………………………………….5

6. Список використаної литературы……………………………………………………6

Геометрична прогресія відіграє велику і важливу роль не тільки в шкільному курсі алгебри, а й (як я міг переконатись) у подальшому навчанні у вищих навчальних закладах. Важливість цього на перший погляд невеликого розділу шкільного курсу полягає в його надзвичайно широких сферах застосування, зокрема він часто застосовується в теорії рядів, що розглядається на II-III курсах університету. Тому мені здається вкрай важливим дати тут повний опис цього курсу, щоб уважний читач міг повторити відомий йому (сподіваюся – прим. автора) зі шкільного курсу матеріал, або навіть почерпнути багато нового та цікавого.

Насамперед необхідно дати визначення геометричної прогресії, бо не визначившись про предмет розмови неможливо продовжувати саму розмову. Отже: числова послідовність, перший член якої відмінний від нуля, а кожен член, починаючи з другого, дорівнює попередньому члену, помноженому на одне і теж не рівне нулю число, називається геометричною прогресією.

Внесу деяку ясність у дане вище визначення: по-перше, ми вимагаємо від першого члена нерівності нулю для того, що при множенні його на будь-яке число ми знову отримаємо нуль, для третього члена знову нуль, і так далі. Виходить послідовність нулів, яка не підпадає під дане вище визначення геометричної прогресії і не буде предметом нашого подальшого розгляду.

По-друге, число на яке множаться члени прогресії знову ж таки не повинно бути рівне нулю, з вищевикладених причин.

По-третє, надаю можливість вдумливому читачеві самому знайти відповідь на питання, чому ми множимо всі члени прогресії на одне й те ж число, а не, скажімо, на різні. Відповідь не така проста, як може здатися спочатку.

Далі, з визначення геометричної прогресії слід, що відношення будь-якого її члена до попереднього дорівнює одному й тому ж числу, тобто b2:b1 = b3:b2 = … = bn:bn-1 = bn+1:bn = …. Це називається знаменником геометричної прогресії і зазвичай позначається буквою q.

Декілька слів необхідно сказати і про способи завдання геометричної прогресії. Для того, щоб задати геометричну прогресію (bn), достатньо знати її перший член b1 та знаменник q. Наприклад, умовами b1 = 2, q = -5 (q < 0) визначається геометрична прогресія 2, -10, 50, -250, … . Ця прогресія не є ні зростаючою ні спадною послідовністю.

Слід зазначити, що: послідовність називається зростаючою (убутною) якщо кожен наступний член послідовності більший (менший) попереднього.

Отже, якщо q > 0 (qclip_image0021), то прогресія є монотонною послідовністю. Нехай, наприклад, b1 = -3, q = 4, тоді геометрична прогресія -3, -12, -48, -192, … є монотонно спадаюча послідовність.

Проте, якщо q = 1, всі члени прогресії рівні між собою. І тут прогресія є постійної послідовністю.

Будь-яка геометрична прогресія має певну характеристичну властивість. Ця властивість є наслідком самого правила завдання геометричної прогресії: послідовність (bn) є геометричною прогресією тоді і лише тоді, коли кожен її член, починаючи з другого, є середнім геометричним сусіднім з ним членом, тобто.

clip_image004.

Користуючись цією властивістю можна знаходити будь-який член геометричної прогресії, якщо відомі два стоять.

Для знаходження n-ного члена геометричної прогресії є ще одна формула. Для того, щоб знайти будь-який член геометричної прогресії необхідно, щоб вона була задана, тобто були відомі значення b1 і q:

clip_image006.

Оскільки геометрична прогресія це числова послідовність, ми можемо знайти її суму. Для знаходження суми геометричної прогресії застосовують таку формулу:

clip_image008

Якщо в цю формулу підставити замість bn його вираз у вигляді b1qn-1, то отримаємо ще одну формулу для обчислення суми геометричної прогресії:

clip_image010

У геометричній прогресії є ще одна властивість, а саме: з визначення знаменника геометричної прогресії випливає, що b1bn = b2bn-1 = …, тобто твір членів, що віддаляються від кінців прогресії, є величина постійна.

Нарешті, не можна не торкнутися такого важливого з наукового погляду поняття, як нескінченної геометричної прогресії при clip_image012. Тут найважливішим поняттям є поняття суми нескінченної геометричної прогресії: хай (xn) – геометрична прогресія зі знаменником q, де clip_image014 Сумою нескінченної геометричної прогресії, знаменник якої задовольняє умові clip_image012[1], називається межа суми n перших її членів при clip_image016.

Знайти цю суму можна за такою формулою:

clip_image018

Закінчуючи опис геометричної прогресії, хочеться зайвий раз повторити, що за видимою простотою геометричної прогресії ховається великий прикладний потенціал цього розділу алгебри.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *