Гармонічні коливання та їх характеристики

Коливаннями називаються рухи чи процеси, які характеризуються певною повторюваністю у часі. Коливальні процес широко поширені в природі та техніці, наприклад коливання маятника годинника, змінний електричний струм і т.д. При коливальному русі маятника змінюється координата його центру мас, у разі змінного струму коливаються напруга та струм у ланцюзі. Фізична природа коливань може бути різною, тому розрізняють коливання механічні, електромагнітні та інші. Однак різні коливальні процеси описуються однаковими характеристиками та однаковими рівняннями. Звідси випливає доцільність єдиного підходу до вивчення коливань різної фізичної природи. Наприклад, єдиний підхід до вивчення механічних та електромагнітних коливань застосовувався англійським фізиком Д. У. Релеєм (1842-1919), а А.Г. Столетовим, російським інженером-експериментатором П.М. Лебедєвим (1866-1912). Великий внесок у розвиток теорії коливань зробили: Л.І. Мандельштам (1879-1944) та її учні.

Коливання називаються вільними (або власними), якщо вони здійснюються за рахунок спочатку досконалої енергії за подальшої відсутності зовнішніх впливів на коливальну систему (систему, що здійснює коливання). Найпростішим типом коливань є гармонійні коливання — коливання, при яких величина, що коливається, зміняться з часом за законом синуса (косинусу). Розгляд гармонійних коливань важливий з двох причин:

1. Коливання, що зустрічаються в природі та техніці, часто мають характер, близький до гармонійного;

2. Різні періодичні процеси (процеси, що повторюються через рівні проміжки часу) можна як накладання гармонійних коливань.

Гармонійні коливання величини s описуються рівнянням типу

s=Acos(w0 t +j) , (1)

де

n А — максимальне значення коливається величини, зване амплітудою коливання,

n w0 — кругова (циклічна) частота,

n j — початкова фаза коливання у момент часу t=0,

n (w0 t +j) — фаза коливання у час t.

Фаза коливання визначає значення коливається величини в даний момент часу. Оскільки косинус змінюється не більше від 1 до -1, то sможе набувати значень від +А до —А.

Певні стани системи, що здійснює гармонічні коливання, повторюються через проміжок часу Т, що називається періодом коливання, За який фаза коливання отримує збільшення дорівнює 2p, тобто.

w0(t+T)+j=(w0t+j)+2p

звідки

T=2p/w0 (2)

Величина, зворотна до періоду коливань,

n=1/T (3)

т. е. число повних коливань, що здійснюються в одиницю часу, називається частотою коливань. Порівнюючи (2) та (3), отримаємо

w0 = 2pn.

Одиниця частоти — герц (Гц): 1 Гц – частота періодичного процесу, при якій за 1 секунду відбувається 1 цикл процесу.

Запишемо першу і другу похідні за часом від величини, що гармонічно коливається. s:

(4)

(5)

тобто маємо гармонійні коливання з тією самою циклічною частотою. Амплітуди величин (5) та (4) відповідно рівні і
.Фаза величини (4) відрізняється від фази величини (1) на p/2, а фаза величини (5) відрізняється від фази величини (1) на p. Отже, моменти часу, коли s=0,
набуває найбільших значень; коли ж s досягає максимального негативного значення, то
набуває найбільшого позитивного значення (див. рисунок 1).

З виразу (5) випливає диференціальне рівняння гармонійних коливань

(6)

де s=Acos(w0t+j). Вирішенням цього рівняння є вираз (1).

Гармонічні коливання зображаються графічно методом вектора, що обертається, амплітуди, або методом векторних діаграм.

Для цього з довільної точки, обраної на осі x під кутом j, рівним початковій фазі коливання, відкладається вектор А, модуль якого дорівнює амплітуді А розглянутого коливання (див. рисунок 2).

Якщо цей вектор привести у обертання з кутовою швидкістю w0, що дорівнює циклічній частоті коливань, то проекція кінця вектора переміщатиметься по осі xі приймати значення від —А до +А , А величина, що коливається, буде змінюватися з часом за законом s=Acos(w0 t +j). Отже, гармонійне коливання можна представити проекцією на деяку довільно
обрану вісь вектора амплітуди А, відкладеного з довільної точки осі під кутом j, рівним початковій фазі, і обертається з кутовою швидкістю w0 навколо цієї точки.

У фізиці часто застосовується інший метод, який відрізняється від методу вектора амплітуди, що обертається, лише за формою. У цьому методі величину, що коливається, представляють комплексним числом. Згідно з формулою Ейлера, для комплексних чисел

(7)

де
— уявна одиниця. Тому рівняння гармонійного коливання (1) можна записати у комплексній формі:

(8)

речовинна частина виразу (8)

є гармонійне коливання. Позначення Re речовинної частини опускають і записують як

У теорії коливань приймається, що величина, що коливається, s дорівнює речовинної частини комплексного виразу, що стоїть у цій рівності праворуч.

Завдання.

1.Амплітуда гармонійних коливань матеріальної точки дорівнює 5 см. Маса матеріальної точки 10 г та повна енергія коливань
дж. Написати рівняння гармонійних коливань цієї точки (з числовими коефіцієнтами), якщо початкова фаза коливань дорівнює
.

Рішення

Загальне рівняння гармонічних коливань має вигляд

(1)

У нас А=5 см,
. Період Т коливань невідомий, але його можна знайти з умови
. Звідси

(2)

У нас
м, m= кг та
. Підставляючи ці дані (2), отримаємо Т=4
сік. Тоді
, і рівняння (1) набуде вигляду
див. Відзначимо, що оскільки
— величина безрозмірна, то А не обов’язково підставляти в метрах; найменування x буде відповідати найменуванню А.

© Реферат плюс