
Гамма функції — завантажити безкоштовно

Завантажити реферат: Гамма функції | |||
1. Бета-функції
Бета – функції визначаються інтегралом Ейлера першого роду:
=
(1.1)
сходяться при
.Вважаючи
=1 — t отримаємо:
= —
=
тобто. аргумент
і
входять до
симетрично. Беручи до уваги тотожність
за формулою інтегрування маємо почесті
Звідки
=
(1.2)
7
Загалом b = n послідовно застосовуючи(1.2)
Отримаємо
(1.3)
при цілих
= m,
= n, маємо
але B(1,1) = 1,отже:
Покладемо в (1.1)
.Оскільки графік функції
симетрична щодо прямої
,то
і в результаті підстановки
,отримуємо
вважаючи в(1.1)
звідки
,отримаємо
(1.4)
розділяючи інтеграл на два в межах від 0 до 1 та від 1 до
та застосування до другого інтегралу підстановки
,отримаємо
=
2. Гамма-функція
Гамма функцію визначає інтеграл Ейлера другого роду
G(a) =
(2.1)
схожий при
0.Покладемо
=ty, t > 0 маємо
G(a) =
та після заміни
, через
і t через 1+t отримаємо
Помножуючи цю рівність та інтегруючи по t та межах від 0 до, маємо:
або на підставі (1.4) і після зміни у правій частині порядку інтегрування, отримуємо:
звідки
(2.2)
замінюючи в (2,1)
,на
і інтегруємо частинами
отримуємо рекурентну формулу
(2.3)
так як
але загалом
маємо
(2.4)
тобто при цілих значеннях аргументу гамма-функція перетворюється на факторіал. Порядок якого на одиницю менший за взяте значення аргументу.
3. Похідна гама функції
Інтеграл
сходиться при кожному
,оскільки
,і інтеграл
при
сходиться.
В області
, де
— довільне позитивне число, цей інтеграл сходиться поступово, оскільки
і можна застосувати ознаку Веєрштраса. Схожим при всіх значеннях
є і весь інтеграл
так як і друге складене правої частини є інтегралом, свідомо схожим при будь-якому
.Легко бачити що інтеграл сходиться по
у будь-якій області
де
довільно.Дійсно для всіх зазначених значень
і для всіх
,і так як
сходиться, то виконані умови ознаки Веєрштраса. Таким чином, в області
інтеграл
сходиться рівномірно.
Звідси випливає безперервність гама функції при.Доведемо диференційність цієї функції при
.Зауважимо що функція
безперервна при
і
, і покажемо, що інтеграл:
сходиться рівномірно кожному сегменті
,
. Виберемо число
так щоб
; тоді
при
. Тому існує число
таке, що
і
на
.Але тоді на
справедлива нерівність
і тому що інтеграл
сходиться, то інтеграл
сходиться рівномірно щодо
на
. Аналогічно для
існує така кількість
, що для всіх
виконується нерівність
. За таких
і всіх
отримаємо
, звідки з ознаки порівняння випливає , що інтеграл
сходиться рівномірно щодо
на
. Нарешті, інтеграл
в якому підінтегральна функція безперервна в області
, Зрозуміло, сходиться поступово щодо
на
. Таким чином, на
інтеграл
сходиться рівномірно , а, отже , гамма функція нескінченно диференційована за будь-якого
і справедлива рівність
.
Щодо інтегралу
можна повторити теж міркування і зробити висновок, що
За індукцією доводиться, що Г-функція нескінченно диференційована приі для неї я
-ой похідної справедлива рівність
Вивчимо тепер поведінку
— функції та побудуємо ескіз її графіка.
З виразу для другої похідної
-функції видно, що
для всіх
. Отже,
зростає. Оскільки
, то за теоремою Роля на сегменті [1,2]похідна
при
і
при
, Т. е. Монотонно убуває на
і монотонно зростає на
. Далі, оскільки
, то
при
. При
із формули
випливає, що
при
.
Рівність
, справедливе за
, можна використовувати при розповсюдженні
— функції негативного значення
.
Покладемо для, що
. Права частина цієї рівності визначено для
з (-1,0). Отримуємо, що так продовжена функція
приймає на (-1,0) негативні значення і при
, а також при
функція
.
Визначивши таким чином
на
, ми можемо за тією самою формулою продовжити її на інтервал (-2,-1). На цьому інтервалі продовженням
виявиться функція, що набуває позитивних значень і така, що
при
і
. Продовжуючи цей процес, визначимо функцію
, що має розриви в цілісних точках
(Див. рис.1)
Зазначимо ще раз, що інтеграл
визначає Г-функцію лише за позитивних значень
, продовження на негативні значення
здійснено нами формально за допомогою формули приведення
.
(Рис.1)
4. Обчислення деяких інтегралів
Формула Стірлінга
Застосуємо гаму функцію для обчислення інтеграла:
де m > -1,n > -1.Вважаючи , що
маємо
та на підставі (2.2) маємо
(3.1)
В інтегралі
Де k > -1, n > 0, достатньо покласти
Інтеграл
Де s > 0, розкласти до ряду
=
де
дзетта функція Рімана
Розглянемо неповні гамма функції (функції Пріма)
пов’язані нерівністю
Розкладаючи, у ряд маємо
Переходячи до висновку формули Стірлінга, що дає зокрема наближене значення n! при великих значеннях n розглянемо попередньо допоміжну функцію
(3.2)
Безперервна на інтервалі (-1,) монотонно зростає від
до
при зміні
від
до
і звертаються до 0 при u = 0.Оскільки
то
при u > 0 і при u < 0 далі маємо
І так похідна безперервна та позитивна у всьому інтервалі
,задовольняє умові
З попереднього випливає, що існує зворотна функція,
визначена на інтервалі
безперервна та монотонно зростаюча в цьому інтервалі,
Звертається в 0 при v=0 і задовольняє умову
(3.3)
Формулу Стірлінга виведемо з рівності
гадаючи
маємо
Покладемо далі
введена вище зворотна функція, що задовольняє умовам u = -1при
,і
при
.Помічаючи що (див.3.2)
маємо
,
покладаючи на кінець ,,отримаємо
або
у межі при
тобто. при
(см3.3)
звідки випливає формула Стірлінга
яку можна взяти у вигляді
(3.4)
де
,при
для досить великих
вважають
(3.5)
обчислення ж провадиться за допомогою логарифмів
якщо
ціле позитивне число, то
і (3.5) перетворюється на наближену формулу обчислення факторіалів при великих значеннях n
наведемо без висновку більш точну формулу
де в дужках стоїть не схожий ряд.
5. Приклади обчислення інтегралів
Для обчислення необхідні формули:
Г()
Обчислити інтеграли
Список літератури
1. Спеціальні функції та їх додатки: Лебедєв І.І., М., Гостехтеріоздат, 1953
2. Математичний аналіз частина 2: Ільїн О.А., Садовничий В.А., Сенд Бл.Х., М., «Московський університет», 1987
3. Збірник завдань з математичного аналізу: Демидович Б.П., М., Наука, 1966
4. Інтеграли та ряди спеціальні функції: Прудніков А.П., Бричков Ю.А., М., Наука, 1983
5. Спеціальні функції: Кузнєцов, М., «Вища школа», 1965
© Реферат плюс

