Бінарна алгебраїчна операція
Химия

Гамма функції — завантажити безкоштовно


Гамма функції - завантажити безкоштовно

Завантажити реферат: Гамма функції

1. Бета-функції

Бета – функції визначаються інтегралом Ейлера першого роду:

Гамма функції - завантажити безкоштовно=Гамма функції - завантажити безкоштовноГамма функції - завантажити безкоштовноГамма функції - завантажити безкоштовно (1.1)

сходяться при
Гамма функції - завантажити безкоштовно.Вважаючи
Гамма функції - завантажити безкоштовно=1 — t отримаємо:

Гамма функції - завантажити безкоштовно= —Гамма функції - завантажити безкоштовно =Гамма функції - завантажити безкоштовно

тобто. аргумент
Гамма функції - завантажити безкоштовно і
Гамма функції - завантажити безкоштовно входять до
Гамма функції - завантажити безкоштовно симетрично. Беручи до уваги тотожність

Гамма функції - завантажити безкоштовно

за формулою інтегрування маємо почесті

Гамма функції - завантажити безкоштовно

Звідки

Гамма функції - завантажити безкоштовно=Гамма функції - завантажити безкоштовно (1.2)

7

Загалом b = n послідовно застосовуючи(1.2)

Отримаємо

Гамма функції - завантажити безкоштовно (1.3)

при цілих
Гамма функції - завантажити безкоштовно= m,Гамма функції - завантажити безкоштовно= n, маємо

Гамма функції - завантажити безкоштовно

але B(1,1) = 1,отже:

Гамма функції - завантажити безкоштовно

Покладемо в (1.1)
Гамма функції - завантажити безкоштовно .Оскільки графік функції
Гамма функції - завантажити безкоштовносиметрична щодо прямої
Гамма функції - завантажити безкоштовно,то

Гамма функції - завантажити безкоштовно

і в результаті підстановки
Гамма функції - завантажити безкоштовно,отримуємо

Гамма функції - завантажити безкоштовно

вважаючи в(1.1)
Гамма функції - завантажити безкоштовнозвідки
Гамма функції - завантажити безкоштовно,отримаємо

Гамма функції - завантажити безкоштовно
(1.4)

розділяючи інтеграл на два в межах від 0 до 1 та від 1 до
Гамма функції - завантажити безкоштовно та застосування до другого інтегралу підстановки
Гамма функції - завантажити безкоштовно,отримаємо

Гамма функції - завантажити безкоштовно=Гамма функції - завантажити безкоштовно

2. Гамма-функція

Гамма функцію визначає інтеграл Ейлера другого роду

G(a) =Гамма функції - завантажити безкоштовноГамма функції - завантажити безкоштовно
Гамма функції - завантажити безкоштовно (2.1)

схожий при
Гамма функції - завантажити безкоштовно 0.Покладемо
Гамма функції - завантажити безкоштовно=ty, t > 0 маємо

G(a) =Гамма функції - завантажити безкоштовно

та після заміни
Гамма функції - завантажити безкоштовно, через
Гамма функції - завантажити безкоштовно і t через 1+t отримаємо

Гамма функції - завантажити безкоштовно

Помножуючи цю рівність та інтегруючи по t та межах від 0 доГамма функції - завантажити безкоштовно, маємо:

Гамма функції - завантажити безкоштовно

або на підставі (1.4) і після зміни у правій частині порядку інтегрування, отримуємо:

Гамма функції - завантажити безкоштовно

звідки

Гамма функції - завантажити безкоштовно (2.2)

замінюючи в (2,1)
Гамма функції - завантажити безкоштовно,на
Гамма функції - завантажити безкоштовно і інтегруємо частинами

Гамма функції - завантажити безкоштовно

отримуємо рекурентну формулу

Гамма функції - завантажити безкоштовно
Гамма функції - завантажити безкоштовно (2.3)

так як

Гамма функції - завантажити безкоштовно

але загалом
Гамма функції - завантажити безкоштовно маємо

Гамма функції - завантажити безкоштовно (2.4)

тобто при цілих значеннях аргументу гамма-функція перетворюється на факторіал. Порядок якого на одиницю менший за взяте значення аргументу.

Гамма функції - завантажити безкоштовно

3. Похідна гама функції

Інтеграл

Гамма функції - завантажити безкоштовно

сходиться при кожному
Гамма функції - завантажити безкоштовно,оскільки
Гамма функції - завантажити безкоштовно,і інтеграл
Гамма функції - завантажити безкоштовноГамма функції - завантажити безкоштовно при
Гамма функції - завантажити безкоштовносходиться.

В області
Гамма функції - завантажити безкоштовно, де
Гамма функції - завантажити безкоштовно— довільне позитивне число, цей інтеграл сходиться поступово, оскількиГамма функції - завантажити безкоштовно і можна застосувати ознаку Веєрштраса. Схожим при всіх значеннях
Гамма функції - завантажити безкоштовно є і весь інтеграл
Гамма функції - завантажити безкоштовно так як і друге складене правої частини є інтегралом, свідомо схожим при будь-якомуГамма функції - завантажити безкоштовно.Легко бачити що інтеграл сходиться поГамма функції - завантажити безкоштовноу будь-якій області
Гамма функції - завантажити безкоштовно де
Гамма функції - завантажити безкоштовно довільно.Дійсно для всіх зазначених значень
Гамма функції - завантажити безкоштовноі для всіх
Гамма функції - завантажити безкоштовно Гамма функції - завантажити безкоштовно,і так як
Гамма функції - завантажити безкоштовносходиться, то виконані умови ознаки Веєрштраса. Таким чином, в області
Гамма функції - завантажити безкоштовноінтеграл
Гамма функції - завантажити безкоштовносходиться рівномірно.Гамма функції - завантажити безкоштовно

Звідси випливає безперервність гама функції приГамма функції - завантажити безкоштовно.Доведемо диференційність цієї функції при
Гамма функції - завантажити безкоштовно.Зауважимо що функціяГамма функції - завантажити безкоштовно безперервна при
Гамма функції - завантажити безкоштовно іГамма функції - завантажити безкоштовно, і покажемо, що інтеграл:

Гамма функції - завантажити безкоштовно

сходиться рівномірно кожному сегменті
Гамма функції - завантажити безкоштовно ,
Гамма функції - завантажити безкоштовно . Виберемо числоГамма функції - завантажити безкоштовно так щоб
Гамма функції - завантажити безкоштовно; тоді
Гамма функції - завантажити безкоштовно при
Гамма функції - завантажити безкоштовно. Тому існує число
Гамма функції - завантажити безкоштовно таке, що
Гамма функції - завантажити безкоштовно і
Гамма функції - завантажити безкоштовно наГамма функції - завантажити безкоштовно.Але тоді на
Гамма функції - завантажити безкоштовно справедлива нерівність

Гамма функції - завантажити безкоштовно

і тому що інтеграл
Гамма функції - завантажити безкоштовно сходиться, то інтеграл
Гамма функції - завантажити безкоштовно сходиться рівномірно щодо
Гамма функції - завантажити безкоштовно на
Гамма функції - завантажити безкоштовно. Аналогічно для
Гамма функції - завантажити безкоштовно існує така кількість
Гамма функції - завантажити безкоштовно, що для всіх
Гамма функції - завантажити безкоштовно виконується нерівність
Гамма функції - завантажити безкоштовно. За таких
Гамма функції - завантажити безкоштовно і всіх
Гамма функції - завантажити безкоштовно отримаємо
Гамма функції - завантажити безкоштовно, звідки з ознаки порівняння випливає , що інтеграл
Гамма функції - завантажити безкоштовно сходиться рівномірно щодо
Гамма функції - завантажити безкоштовно на
Гамма функції - завантажити безкоштовно. Нарешті, інтеграл

Гамма функції - завантажити безкоштовно

в якому підінтегральна функція безперервна в області

Гамма функції - завантажити безкоштовно, Зрозуміло, сходиться поступово щодо
Гамма функції - завантажити безкоштовнона
Гамма функції - завантажити безкоштовно. Таким чином, на
Гамма функції - завантажити безкоштовно інтеграл

Гамма функції - завантажити безкоштовно

сходиться рівномірно , а, отже , гамма функція нескінченно диференційована за будь-якого
Гамма функції - завантажити безкоштовно і справедлива рівність

Гамма функції - завантажити безкоштовноГамма функції - завантажити безкоштовно.

Щодо інтегралу
Гамма функції - завантажити безкоштовноможна повторити теж міркування і зробити висновок, що

Гамма функції - завантажити безкоштовно

За індукцією доводиться, що Г-функція нескінченно диференційована приГамма функції - завантажити безкоштовноі для неї я
Гамма функції - завантажити безкоштовно-ой похідної справедлива рівність

Гамма функції - завантажити безкоштовно

Вивчимо тепер поведінку
Гамма функції - завантажити безкоштовно— функції та побудуємо ескіз її графіка.

З виразу для другої похідної
Гамма функції - завантажити безкоштовно-функції видно, що
Гамма функції - завантажити безкоштовно для всіх
Гамма функції - завантажити безкоштовно. Отже,
Гамма функції - завантажити безкоштовно зростає. Оскільки
Гамма функції - завантажити безкоштовно, то за теоремою Роля на сегменті [1,2]похідна
Гамма функції - завантажити безкоштовно при
Гамма функції - завантажити безкоштовно іГамма функції - завантажити безкоштовно при
Гамма функції - завантажити безкоштовно, Т. е. Монотонно убуває на
Гамма функції - завантажити безкоштовноі монотонно зростає на
Гамма функції - завантажити безкоштовно. Далі, оскільки
Гамма функції - завантажити безкоштовно, то
Гамма функції - завантажити безкоштовнопри
Гамма функції - завантажити безкоштовно. При
Гамма функції - завантажити безкоштовно із формули
Гамма функції - завантажити безкоштовновипливає, що
Гамма функції - завантажити безкоштовно при
Гамма функції - завантажити безкоштовно.

Рівність
Гамма функції - завантажити безкоштовно, справедливе за
Гамма функції - завантажити безкоштовно, можна використовувати при розповсюдженні
Гамма функції - завантажити безкоштовно— функції негативного значення
Гамма функції - завантажити безкоштовно.

Покладемо дляГамма функції - завантажити безкоштовно, що
Гамма функції - завантажити безкоштовно. Права частина цієї рівності визначено для
Гамма функції - завантажити безкоштовно з (-1,0). Отримуємо, що так продовжена функція
Гамма функції - завантажити безкоштовно приймає на (-1,0) негативні значення і при
Гамма функції - завантажити безкоштовно, а також при
Гамма функції - завантажити безкоштовно функція
Гамма функції - завантажити безкоштовно.

Визначивши таким чином
Гамма функції - завантажити безкоштовнона
Гамма функції - завантажити безкоштовно, ми можемо за тією самою формулою продовжити її на інтервал (-2,-1). На цьому інтервалі продовженням
Гамма функції - завантажити безкоштовно виявиться функція, що набуває позитивних значень і така, що
Гамма функції - завантажити безкоштовноГамма функції - завантажити безкоштовноГамма функції - завантажити безкоштовнопри
Гамма функції - завантажити безкоштовно і
Гамма функції - завантажити безкоштовно. Продовжуючи цей процес, визначимо функцію
Гамма функції - завантажити безкоштовно, що має розриви в цілісних точках
Гамма функції - завантажити безкоштовно(Див. рис.1)

Зазначимо ще раз, що інтеграл

Гамма функції - завантажити безкоштовно

визначає Г-функцію лише за позитивних значень
Гамма функції - завантажити безкоштовно, продовження на негативні значення
Гамма функції - завантажити безкоштовноздійснено нами формально за допомогою формули приведення
Гамма функції - завантажити безкоштовноГамма функції - завантажити безкоштовно.

Гамма функції - завантажити безкоштовно

(Рис.1)

4. Обчислення деяких інтегралів

Формула Стірлінга

Застосуємо гаму функцію для обчислення інтеграла:

Гамма функції - завантажити безкоштовно

де m > -1,n > -1.Вважаючи , що
Гамма функції - завантажити безкоштовномаємо

Гамма функції - завантажити безкоштовноГамма функції - завантажити безкоштовно

та на підставі (2.2) маємо

Гамма функції - завантажити безкоштовно (3.1)

В інтегралі

Гамма функції - завантажити безкоштовно

Де k > -1, n > 0, достатньо покласти
Гамма функції - завантажити безкоштовно

Гамма функції - завантажити безкоштовноГамма функції - завантажити безкоштовно

Інтеграл

Гамма функції - завантажити безкоштовно

Де s > 0, розкласти до ряду

Гамма функції - завантажити безкоштовноГамма функції - завантажити безкоштовноГамма функції - завантажити безкоштовно

=Гамма функції - завантажити безкоштовно

де
Гамма функції - завантажити безкоштовнодзетта функція Рімана

Розглянемо неповні гамма функції (функції Пріма)

Гамма функції - завантажити безкоштовно

пов’язані нерівністю

Гамма функції - завантажити безкоштовно

Розкладаючи,Гамма функції - завантажити безкоштовно у ряд маємо

Гамма функції - завантажити безкоштовно

Гамма функції - завантажити безкоштовно

Переходячи до висновку формули Стірлінга, що дає зокрема наближене значення n! при великих значеннях n розглянемо попередньо допоміжну функцію

Гамма функції - завантажити безкоштовно (3.2)

Безперервна на інтервалі (-1,Гамма функції - завантажити безкоштовно) монотонно зростає від
Гамма функції - завантажити безкоштовно доГамма функції - завантажити безкоштовно при зміні
Гамма функції - завантажити безкоштовно від
Гамма функції - завантажити безкоштовно доГамма функції - завантажити безкоштовно і звертаються до 0 при u = 0.Оскільки

Гамма функції - завантажити безкоштовно

то
Гамма функції - завантажити безкоштовнопри u > 0 і при u < 0 далі маємо

Гамма функції - завантажити безкоштовно

І так похідна безперервна та позитивна у всьому інтервалі
Гамма функції - завантажити безкоштовно,задовольняє умові

Гамма функції - завантажити безкоштовно

З попереднього випливає, що існує зворотна функція,
Гамма функції - завантажити безкоштовно визначена на інтервалі
Гамма функції - завантажити безкоштовно безперервна та монотонно зростаюча в цьому інтервалі,

Звертається в 0 при v=0 і задовольняє умову

Гамма функції - завантажити безкоштовноГамма функції - завантажити безкоштовно
(3.3)

Формулу Стірлінга виведемо з рівності

Гамма функції - завантажити безкоштовно

гадаючи
Гамма функції - завантажити безкоштовномаємо

Гамма функції - завантажити безкоштовно

Покладемо далі
Гамма функції - завантажити безкоштовновведена вище зворотна функція, що задовольняє умовам u = -1при
Гамма функції - завантажити безкоштовно
Гамма функції - завантажити безкоштовно при
Гамма функції - завантажити безкоштовно .Помічаючи що (див.3.2)

Гамма функції - завантажити безкоштовно

маємо

Гамма функції - завантажити безкоштовно,

покладаючи на кінець ,Гамма функції - завантажити безкоштовно,отримаємо

Гамма функції - завантажити безкоштовно

або

Гамма функції - завантажити безкоштовно

у межі при
Гамма функції - завантажити безкоштовнотобто. при
Гамма функції - завантажити безкоштовно(см3.3)

Гамма функції - завантажити безкоштовно

звідки випливає формула Стірлінга

Гамма функції - завантажити безкоштовно

яку можна взяти у вигляді

Гамма функції - завантажити безкоштовно
(3.4)

де
Гамма функції - завантажити безкоштовно ,при
Гамма функції - завантажити безкоштовноГамма функції - завантажити безкоштовно

для досить великих
Гамма функції - завантажити безкоштовно вважають

Гамма функції - завантажити безкоштовно (3.5)

обчислення ж провадиться за допомогою логарифмів

Гамма функції - завантажити безкоштовно

якщо
Гамма функції - завантажити безкоштовно ціле позитивне число, то
Гамма функції - завантажити безкоштовно і (3.5) перетворюється на наближену формулу обчислення факторіалів при великих значеннях n

Гамма функції - завантажити безкоштовно

наведемо без висновку більш точну формулу

Гамма функції - завантажити безкоштовно

де в дужках стоїть не схожий ряд.

5. Приклади обчислення інтегралів

Для обчислення необхідні формули:

Гамма функції - завантажити безкоштовно

Г(Гамма функції - завантажити безкоштовно)Гамма функції - завантажити безкоштовно

Обчислити інтеграли

Гамма функції - завантажити безкоштовно

Гамма функції - завантажити безкоштовно

Гамма функції - завантажити безкоштовноГамма функції - завантажити безкоштовно

Гамма функції - завантажити безкоштовно

Гамма функції - завантажити безкоштовно

Список літератури

1. Спеціальні функції та їх додатки: Лебедєв І.І., М., Гостехтеріоздат, 1953

2. Математичний аналіз частина 2: Ільїн О.А., Садовничий В.А., Сенд Бл.Х., М., «Московський університет», 1987

3. Збірник завдань з математичного аналізу: Демидович Б.П., М., Наука, 1966

4. Інтеграли та ряди спеціальні функції: Прудніков А.П., Бричков Ю.А., М., Наука, 1983

5. Спеціальні функції: Кузнєцов, М., «Вища школа», 1965

© Реферат плюс



Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *